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1、专题02 二次函数与将军饮马最值问题（知识解读）【专题说明】 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等 一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。【知识点梳理】考点1：两条线段和最小值问题一）、已知两个定点一个动点：（对称轴为：动点所在的直线上）1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： A、 A 是关于直线m的对称点。考点2：三条线段和最小值问题在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个
2、点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.考点3：两条线段差最大值问题求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧：解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，PAPBAB，而PAPB=AB此时最大，因此点P为所求的
3、点。（2）点A、B在直线m异侧：解析：过B作关于直线m的对称点B,连接AB交点直线m于P,此时PB=PB，PA-PB最大值为AB【典例分析】【考点1 两条线段和最小值问题】【典例1】（2019秋东莞市校级期末）已知，抛物线yax2+bx+c，过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），M为顶点（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，并求出P的坐标；【变式1】（2019赤峰）如图，直线yx+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线yx2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最
4、小，求EC+ED的最小值；【考点2两条线段和最小值问题】【典例2】（2022恩施州模拟）如图1，已知抛物线点A（1，2）在抛物线的对称轴上，是抛物线与y轴的交点，D为抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C（1）直接写出h，k的值；（2）如图1，若点D的坐标为（3，m），点Q为y轴上一动点，直线QK与抛物线对称轴垂直，垂足为点K探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由；【变式2】（2022桂林）如图，抛物线yx2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点
5、P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；【考点3两条线段差最大值问题】【典例3】（2020秋椒江区校级月考）如图，已知抛物线yax2+bx+3（a0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（1）求此抛物线的解析式；（2）若点T为对称轴直线x2上一点，则TCTB的最大值为多少？【变式1】（2020连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”如图，抛物线L1：yx2x2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P
6、（1）若抛物线L2经过点（2，12），求L2对应的函数表达式；（2）当BPCP的值最大时，求点P的坐标；专题02 二次函数与将军饮马最值问题（知识解读）【专题说明】 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等 一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。【知识点梳理】考点1：两条线段和最小值问题一）、已知两个定点一个动点：（对称轴为：动点所在的直线上）1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： B、 A 是关于直线m
7、的对称点。考点2：三条线段和最小值问题在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.考点3：两条线段差最大值问题求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧：解析：延长
8、AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，PAPBAB，而PAPB=AB此时最大，因此点P为所求的点。（2）点A、B在直线m异侧：解析：过B作关于直线m的对称点B,连接AB交点直线m于P,此时PB=PB，PA-PB最大值为AB【典例分析】【考点1 两条线段和最小值问题】【典例1】（2019秋东莞市校级期末）已知，抛物线yax2+bx+c，过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），M为顶点（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，并求出P的坐标；【解答】解：（1）设抛物线解析式为ya（x+1）（x3），把C（0，3）代入得a（0+1）（03）3
9、，解得a1，抛物线解析式为y（x+1）（x3），即yx22x3；（2）抛物线的对称轴为直线x1，点A与点B关于直线x1对称，连接BC交直线x1于P点，则PAPB，PA+PCPB+PCBC，此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为ymx+n，把B（3，0），C（0，3）代入得，解得，直线BC的解析式为yx3，当x1时，yx32，则满足条件的P点坐标为（1，2）；【变式1】（2019赤峰）如图，直线yx+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线yx2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；【
10、解答】解：（1）直线yx+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：yx2+2x+3，令y0，则x1或3，故点A（1，0）；（2）如图1中，作点C关于x轴的对称点C，连接CD交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，函数顶点D坐标为（1，4），点C（0，3），将C、D的坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD的表达式为：y7x3，当y0时，x，故点E（，0），则EC+ED的最小值为DC；【考点2两条线段和最小值问题】【典例2】（2022恩施州模拟）如图1，已知抛物线点A（1，2）在抛物线的对称轴上
11、，是抛物线与y轴的交点，D为抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C（1）直接写出h，k的值；（2）如图1，若点D的坐标为（3，m），点Q为y轴上一动点，直线QK与抛物线对称轴垂直，垂足为点K探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由；【解答】解：（1）点A（1，2）在抛物线的对称轴上，抛物线的对称轴为直线x1，h1，y（x+1）2+k，是抛物线与y轴的交点，+k，k1；（2）存在最小值，理由如下：由（1）可知y（x+1）2+1，作C点关于直线x的对称点C，连接CD交抛物线对称轴于点K，连接CQ，由对称性可知CKCQ，CQ+KQ+KD
12、CK+KD+KQCD+KQ，当C、K、D三点共线时，CQ+KQ+KD的值最小，抛物线的对称轴为直线x1，KQ1，D（3，5），CDx轴，C（3，0），C（4，0），CD，CQ+KQ+KD的最小值为+1，设直线CD的解析式为ykx+b，解得，yx+，K（1，），Q（0，）；【变式2】（2022桂林）如图，抛物线yx2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；【解答】解：（1）在yx2+3x+4中，令x
13、0得y4，令y0得x1或x4，A（1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）将C（0，4）向下平移至C，使CCPQ，连接BC交抛物线的对称轴l于Q，如图：CCPQ，CCPQ，四边形CCQP是平行四边形，CPCQ，CP+PQ+BQCQ+PQ+BQBC+PQ，B，Q，C共线，此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC+PQ的值，C（0，4），CCPQ1，C（0，3），B（4，0），BC5，BC+PQ5+16，CP+PQ+BQ最小值为6【考点3两条线段差最大值问题】【典例3】（2020秋椒江区校级月考）如图，已知抛物线yax2+bx+3（a0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（1）求
14、此抛物线的解析式；（2）若点T为对称轴直线x2上一点，则TCTB的最大值为多少？【解答】解：（1）设抛物线的表达式为ya（xx1）（xx2）a（x1）（x3）a（x24x+3）ax2+bx+3，解得a1，故抛物线的表达式为yx24x+3；（2）点B关于函数对称轴的对称点为点A，连接CA交函数对称轴于点T，则点T为所求点，则TCTBTCTAAC为最大，故TCTB的最大值为AC，故答案为；【变式1】（2020连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”如图，抛物线L1：yx2x2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C抛物线L2与L1是“共
15、根抛物线”，其顶点为P（1）若抛物线L2经过点（2，12），求L2对应的函数表达式；（2）当BPCP的值最大时，求点P的坐标；【解答】解：（1）当y0时，x2x20，解得x1或4，A（1，0），B（4，0），C（0，2），由题意设抛物线L2的解析式为ya（x+1）（x4），把（2，12）代入ya（x+1）（x4），126a，解得a2，抛物线的解析式为y2（x+1）（x4）2x26x8（2）抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（1，0），B（4，0），抛物线L1，L2的对称轴是直线x，点P在直线x上，BPAP，如图1中，当A，C，P共线时，BPPC的值最大，此时点P为直线AC与直线x的交点，直线AC的解析式为y2x2，P（，5）