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1、 专题01 线段周长面积最大值（专项训练）1（2022春丰城市校级期末）如图，已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHx轴于点H，与BC交于点M，连接PC求线段PM的最大值；【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式得，解得，这个二次函数的表达式yx22x3；（2）设BC的解析式为ykx+b，将B，C的坐标代入函数解析式得，解得，BC的解析式为yx3，设M（n，n3），P（n，n22n3），PM（n3）（n22n3）n2+3n（n）2+，当n
2、时，PM最大，线段PM的最大值；2（2022玉州区一模）如图，抛物线yx2x+4交x轴于A，B两点（点B在A的右边），与y轴交于点C，连接AC，BC点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q（1）求A、B两点坐标；（2）过点P作PN上BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？【解答】解：（1）当y0，x2+x+40，解得x13，x24，A（3，0），B（4，0），（2）设点P（m，m2+m+4），则点 Q（m，m+4），OBOC，ABCOCB45PQN，PNPQsinPQN（m2+
3、m+4+m4）（m2）2+，0，PN有最大值，当m2时，PN的最大值为3（2022怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线yax2+2x+c经过点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PEBC于点E，作PFAB交BC于点F（1）求抛物线和直线BC的函数表达式（2）当PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和PEF的周长【解答】解：（1）抛物线yax2+2x+c经过点A（1，0）、B（3，0），解得，抛物线的解析式为yx2+2x+3，令x0，可得y3，C（0，3），设直线BC的解析式为ykx+b，则，直线BC的解析式为yx+3；（2）如图
4、一中，连接PC，OP，PB设P（m，m2+2m+3），B（3，0），C（0，3），OBOC3，OBC45，PFAB，PFEOBC45，PEBC，PEF是等腰直角三角形，PE的值最大时，PEF的周长最大，SPBCSPOB+SPOCSOBC3（m2+2m+3）+3m33m2+m（m）2+，0，m时，PBC的面积最大，面积的最大值为，此时PE的值最大，3PE，PE，PEF的周长的最大值+，此时P（，）；4（2022黄冈模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+2与x轴交点为A（4，0）、B（1，0），与y轴交于点C，P为抛物线上一点，过点P作PDAC于D（1）求抛物线的解析式；（2）如图
5、1，若P在直线AC上方，PEx轴于E，交AC于F求sinPFD的值；求线段PD的最大值【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+2与x轴交点为A（4，0）、B（1，0），与y轴交于点C，令x0，则c2，C（0.2），设抛物线的解析式为ya（x+4）（x1），将点（0，2）代入得，24a，解得：a，y（x+4）（x1）x2x+2，抛物线的解析式为yx2x+2；（2）PEx轴，AFEACO，又PFDAFE，PFDACO，sinPFDsinACO，A（4，0），C（0，2），AO4，OC2，AC2sinPFDsinACO；设过A（4，0）C（0，2）的直线解析式为ykx+b，则，解得：，直线AC解析式
6、为yx+2，设P（m，m2m+2），则F（m，m+2），PFm+2m2m22m（m+2）2+2，当m2时，PF有最大值2，PDPFsinPFD，PF取最大值时，PD取最大值，PD最大值为2；5（2022齐齐哈尔模拟）综合与探究如图，抛物线yax2+bx+3（a0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线BC上方抛物线上一点（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上找一点P，作PGBC，求线段PG的最大值；【解答】解：（1）将点A（1，0），B（3，0）代入yax2+bx+3，解得，yx2+2x+3；（2）如图1，过P点作PHy轴交B
7、C于点H，令x0，则y3，C（0，3），设直线BC 的解析式为ykx+b，解得，yx+3，设P（t，t2+2t+3），则H（t，t+3），PHt2+3t，C（0，3），B（3，0），BC3，SPBCBCPGBOPH，PG33（t2+3t），PG（t）+，点P是直线BC上方抛物线上，0t3，当t时，PG有最大值；6（2022习水县模拟）如图，已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，且C（1，0），OAOB3（1）求二次函数的解析式；（2）若点P是抛物线位于第二象限上的点，过点P作PQy轴，交直线AB于点Q，交x轴于点H，过点P作PDA
8、B于点D求线段PD的最大值；【解答】解：（1）OAOB3，A（3，0），B（0，3），C（1，0），二次函数的解析式为yx22x+3；（2）OAOB，AOB90，ABOBAO45，PQy轴，PHOA，QHA90，PQDAQH45，PQD是等腰直角三角形，PDPQ，当PQ取得最大值时，PD的值最大，设AB的解析式为ykx+n，yx+3，设P（m，m22m+3），PQy轴，Q（m，m+3），PQm22m+3（m+3）m23m（m+）2+，m时，PQ最长为，线段PD的最大值为7（2022覃塘区三模）如图，已知抛物线yx2+bx+c经过点A（0，1）和点B（5，4），P是直线AB下方抛物线上的一个动点
9、，PCy轴与AB交于点C，PDAB于点D，连接PA（1）求抛物线的表达式；（2）当PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和PCD周长的最大值；【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：yx24x1；（2）设直线AB的表达式为：ykx+a（k0），A（0，1），B（5，4），解得：，直线AB的表达式为：yx1，设直线AB交x轴于点M，当y0时，x1，OAOM1，AOM90，OAB45，CPy轴，DCPOAB45，PDAB，PCD是等腰直角三角形，即CDPD，PCCD，即CDPDPC，PCD的周长为：PC+PD+CD（+1）PC，设点P的坐标为（x，x24x1），则点C的坐标为（x
10、，x1），（+1）PC（+1）（x1）（x24x1）（+1）（x）2，（+1）0，当x时，PCD周长取得最大值，最大值为（+1），此时点P的坐标为（，）；8（2022大同三模）综合与实践如图，二次函数yx2x3的图象与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C（1）求直线BC的函数解析式；（2）如图2，点D在直线BC下方的抛物线上运动，过点D作DMy轴交BC于点M，作DNBC于点N，当DMN的周长最大时，求点D的坐标及DMN周长的最大值；【解答】解：（1）由抛物线yx2x3，x0时，y3，C（0，3），y0时，x2x30，解得x13，x24，A（3，0），B（4，0），设直线BC的解析
11、式为ykx+b（k0），将B（4，0），C（0，3）代入，解得，直线BC的解析式为yx3；（2）DMy轴，OCBCMD，B（4，0），C（0，3），BC，sinOCB，cosOCB，DNBC，sinDMN，cosDMN，DN，MN，设DMN的周长为L，LDM+DN+MN，设D（x，x2x3），则M（x，），DM，L，即L，开口向下，顶点（2，）最高，x2时，D（2，），DMN的周长最大时，D点的坐标（2，），DMN的周长最大值为；9（2022春浦江县期末）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，9），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（2，0）（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函
12、数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；【解答】解：（1）设抛物线的解析式为ya（x1）2+9，将点B（2，0）代入，9a+90，a1，y（x1）2+9x2+2x+8；（2）设M（m，m2+2m+8），则N（2m，m2+2m+8），MN2m2，MGm2+2m+8，矩形MNHG的周长2（MN+MG）2（m2+4m+6）2（m2）2+20，当m2时，矩形MNHG的周长有最大值20； 10.（娄底）如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点
13、D（2，3）点P、Q是抛物线yax2+bx+c上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求POD面积的最大值【答案】（1）：yx22x3 （2） m2+m+3 【解答】解：（1）函数的表达式为：ya（x+1）（x3），将点D坐标代入上式并解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22x3；（2）设点P（m，m22m3），当点P在第三象限时，设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m22m3），将点P、D的坐标代入一次函数表达式：ysx+t并解得：直线PD的表达式为：ymx32m，则OG3+2m，SPODOG（xDxP）（3+2m）（2m）m2+m+3，当点P在第四象限时，设PD交y
14、轴于点M，同理可得：SPODOM（xDxP）m2+m+3，综上，SPODm2+m+3，10，故SPOD有最大值，当m时，其最大值为；11（2022春青秀区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c，与y轴交于点A，与x轴交于点E、B且点A（0，5），B（5，0），抛物线的对称轴与AB交于点M（1）求二次函数的解析式；（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，连接PB，PM，求PMB面积的最大值；【解答】解：（1）点A（0，5），B（5，0）在抛物线yx2+bx+c上，二次函数的解析式为yx2+4x+5；（2）如图，A（0，5），B（5，0），直线AB的解析式为yx+5，点M是
15、抛物线的对称轴与直线AB的交点，M（2，3），由（1）知，二次函数的解析式为yx2+4x+5，过点P作PHy轴交AB于H，设P（m，m2+4m+5）（0m5），H（m，m+5），PHm2+4m+5（m+5）m2+5m，SPMBPH（xBxM）（m2+5m）（52）（x）2+，当x时，SPMB最大，即PMB面积的最大值为；12直线l：y3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与抛物线yax22ax+a+4（a0）交于点B，如图所示（1）求该抛物线的解析式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，四边形OAMB的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；【解答】解：（1）直线l：y3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，A（1，0）、B（0，3）；抛物线yax22ax+a+4（a0）经过点B，a+43，a1，该抛物线的解析式为yx2+2x+3；（2）过点M作MHx轴于点H，如图所示：设点M（m，m2+2m+3），则SS梯形BOHMSAMH（3m2+2m+3）m（m1）（m2+2m+3）m2+m+，0，S有最大值，当m时，S的最大值是S与m的函数表达式为Sm2+m+，S的最大值是；