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1、第四节相似三角形【课标要求】掌握比例的基本性质、线段的比、成比例线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例掌握相似三角形的性质定理和判定定理通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形的相似比会利用图形的相似解决一些简单的实际问题了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小【教材对接】人教：九下第二十七章P2359；冀教：九上第二十五章P57102；北师：九上第四章P75123.成比例线段、平行线分线段成比例1线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比(注：两条线段的长度单位需统一；线段的比是一个不带单位的数)2成比例线段在四条线
2、段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即(或abcd)，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段特别地，如果，即b2ac，我们就把b叫做a，c的比例中项3比例的性质基本性质：adbc(b，d0).合(分)比性质：若，则等比性质：若(bdn0)，则【温馨提示】如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.4平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例【基础练1】(1)如图1，ABCDEF
3、，则有，等； 图1图2 图3(2)如图2，DEBC，则有，等；(3)如图3，DEBC，则有等相似三角形5相似三角形：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形对应边的比叫做它们的相似比6相似三角形的性质与判定性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比；(3)相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等的两个三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(4)三条边
4、对应成比例的两个三角形相似；(5)对于两个直角三角形，可以通过一个锐角相等；两组直角边对应成比例；斜边和一直角边对应成比例来判定这两个直角三角形相似【方法点拨】(1)判定两个三角形相似的思路条件中有平行线被第三条直线所截用平行线的性质找等角；条件中有一对等角，找条件中有两边对应成比例，找条件中有直角三角形，找条件中有等腰三角形，找(2)在网格中判定三角形是否相似，可根据“相似三角形的对应角相等”，利用特殊角度排除不相似的三角形，也可根据勾股定理求出各三角形的边长，利用“三边对应成比例的三角形相似”进行判断7常见相似三角形的基本模型(1)A字模型(2)8字模型(3)母子模型(4)一线三等角模型特
5、殊情形，三垂直模型【方法点拨】只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形，就能使问题得以解决证明三角形相似时，常考虑证明角相等；求线段长度时，可通过证明三角形相似来求得结果【基础练2】(1)(2021保定定兴县一模)如图，EF是ABC纸片的中位线，将AEF沿EF所在的直线折叠，点A落在BC边上的点D处，已知AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为(B)A.7B14C21D28(2)(2021河北一模)已知图(1)，(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB，CD交于点O，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是(C)A只
6、有(1)相似 B只有(2)相似C都相似 D都不相似相似多边形及其性质8相似多边形：一般地，如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形就叫做相似多边形相似多边形对应边的比叫做它们的相似比9相似多边形的性质(1)相似多边形的对应角相等；(2)相似多边形的对应边成比例；(3)相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方位似图形10位似图形：不仅相似，而且经过每对对应顶点的直线相交于一点，对应边互相平行(或在同一条直线上)我们把这样的两个图形称为位似图形，对应顶点所在直线的交点称为位似中心，这时的相似比又称位似比【温馨提示】(1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等
7、于相似比(2)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，原图形上点的坐标为(x，y)，那么相应位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(kx，ky).11位似图形的性质(1)位似图形是相似图形，具有相似图形的一切性质；(2)对应点的连线都经过同一点；(3)对应边互相平行或在同一条直线上12确定位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的连线或延长线相交于一点，则该点就是位似中心13位似作图的步骤(1)确定位似中心、原图形的关键点、相似比(即要将图形放大或缩小的倍数)；(2)作出原图形中各关键点的对应点；(3)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.【基础练3】(
8、1)(2021温州中考)如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为23，点A，B的对应点分别为点A，B.若AB6，则AB的长为(B)A8 B9 C10 D15(2)(2021石家庄一模)在平面直角坐标系中，ABC和A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A1的坐标是(D)A(4，8) B(1，2)C(1，2)或(1，2) D(4，8)或(4，8)比例的性质与平行线分线段成比例【例1】(2021唐山路北区三模)如图，直线abc，ABBC，若DF9，则EF的长度为(B)A9 B5 C4 D3【解题思路】根据平行线分线段成比例可得，再根据
9、DE与EF之间的比例关系以及DF的长度可求得EF的长度1(2021哈尔滨中考)如图，在ABC中，DEBC，AD2，BD3，AC10，则AE的长为(B)A3 B4 C5 D62(2021邢台模拟)如图，ABC沿AC边平移到ABC，AB交BC于点D，若AC6，D是BC的中点，则CC33(2021大庆中考)已知0，则.【例2】(2021廊坊安次区二模)如图，点E是ABCD的边AD上的一点，且 ，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE3，DF4，则ABCD的周长为(C)A21 B28C34 D42【解题思路】由平行四边形的性质可以得到ABEDFE，进而得出.由已知DE3，DF4，可以求AE和AB的
10、长度，进而可以求得AD的长度，即可求解ABCD的周长4(2021雅安中考)如图，将ABC沿BC边向右平移得到DEF，DE交AC于点G.若BCEC31，SADG16，则SCEG的值为(B)A2 B4 C6 D85(2021唐山遵化市模拟)如图，ABC中，BC6，BD是中线， E 是BD上一点，作射线AE，交BC于点F，若BE2DE，则 FC等于(C)A2 B2.5 C3 D3.56(2021无锡中考)下列命题中，正确命题的个数为1.所有的正方形都相似；所有的菱形都相似；边长相等的两个菱形都相似；对角线相等的两个矩形都相似【例3】(2021邯郸模拟)下列各选项中的两个图形不是位似图形的是(D)【解
11、题思路】本题考查的是位似图形的定义，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或在同一条直线上，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键,7(2021重庆中考B卷)如图，在平面直角坐标系中，将OAB以原点O为位似中心放大后得到OCD，若B(0，1)，D(0，3)，则OAB与OCD的相似比是(D)A21 B12 C31 D138(2021嘉兴中考)如图，在平面直角坐标系中，ABC与ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是(4，2).利用相似三角形的判定与性质解题时，找错比例线段或对判定的条件理解不透彻而出错【例1】如图，在ABC中，B70，AB4，BC6，将A
12、BC沿图示中的虚线DE剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是()【错解分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可解题时易因出现凭感觉对图形进行判断而出错【正确解答】C1如图，在ABC中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作EFBC，交AD于点F，过点E作EGAB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是(C)A BC D2(2021唐山路北区二模)如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与ABC相似的是(C)3(2021淄博中考)如图，AB，CD相交于点E，且ACEFDB，点 C，F，B在同一条直线上已知ACp，EFr，DBq，则p
13、，q，r之间满足的数量关系式是(C)A. BC D没有指明相似三角形对应的顶点(或边)而未进行分类讨论出现漏解或错解【例2】(2021河北一模)如图，在RtABC的直角边AC上有一任意点P(不与点A，C重合)，过点P作一条直线，将ABC分成一个三角形和一个四边形，则所得到的三角形与原三角形相似的直线最多有_条【错解分析】本题考查的是相似三角形的判定与作图，掌握相似三角形的判定是解题的关键可以分为以下四种情况进行分类讨论：过点P作AB的垂线段PD；过点P作BC的平行线PE，交AB于点E；过点P作AB的平行线PF，交BC于点F；作PGCA.【正确解答】44一个三角形支架三条边长分别是75 cm，1
14、10 cm，120 cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60 cm，120 cm的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有(B)A一种 B两种C三种 D四种相似三角形的判定及性质(5年5考)1(2017河北中考)若ABC的每条边长增加各自的10%得ABC，则B的度数与其对应角B的度数相比(D)A增加了10% B减少了10%C增加了(110%) D没有改变2(2021河北中考)如图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB等于(C)A1 cm B2 cm C3 cm D4 cm3(2016河北中考)如图，ABC中，A78，AB4，AC6.将ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C) 位似图形(5年1考)4(2020河北中考)在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形 ABCD的位似图形是(A)A四边形NPMQ B四边形NPMRC四边形NHMQ D四边形NHMR