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1、第三节等腰三角形与直角三角形【课标要求】了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形相关的性质定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理探索等边三角形的性质定理及等边三角形的判定定理了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形相关的性质定理探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题了解垂直平分线的概念，熟练掌握并运用垂直平分线的性质定理和判定定理，熟练掌握并运用角平分线的性质定理和判定定理【教材对接】人教：八上第十三章P7584，八下第十七章P2232；冀教：八上第十六章P112123，第十七章P139158；北师：八下第一章P135.等腰三角形及其性质与判定1等腰三角形相关概念有两边相
2、等的三角形叫做等腰三角形在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角性质(1)等腰三角形两腰相等(图中ABAC)；(2)等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”，图中BC)；(3)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”)；(4)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴；(5)面积：图中SABCBCAD注：等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行判定(1)有两边相等的三角形是等腰三角形(定义)；(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形其中，两个相等的角所对的边相等(简称“等角对等边”)【方法点拨】当已
3、知等腰三角形的一个角时，要先确定该角是顶角还是底角，分情况进行讨论；当已知等腰三角形的两边时，除了确定哪条边作为腰或底边外，一定不要忽视三角形的三边关系2等边三角形定义三边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形)性质(1)等边三角形三边相等(图中ABBCAC)；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质；(3)等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60(图中BACBC60)；(4)等边三角形三条角平分线的交点、三条高线的交点、三条中线的交点重合；(5)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；(6)面积：图中SABCBCADAB2判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形(
4、定义)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形【基础练1】(1)(2021保定定兴县一模)嘉嘉和淇淇玩一个游戏，他们同时从点B出发，嘉嘉沿正西方向行走，淇淇沿北偏东30方向行走，一段时间后，嘉嘉恰好在淇淇的南偏西60方向上若嘉嘉行走的速度为1 m/s，则淇淇行走的速度为(C)A0.5 m/s B0.8 m/sC1 m/s D1.2 m/s(2)(2021益阳中考)如图，ABCD，ACE为等边三角形，DCE40，则EAB等于(C)A40 B30C20 D15直角三角形及其性质与判定3直角三角形定义有一个角等于90的三角形叫做直角三角形性质(1) 直
5、角三角形的两个锐角互余(图中AB90)；(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(图中中线CDAB)；(3)在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半(图中ACAB)；(4)勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2c2；(5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30；(6)面积：图中SABCabch(h为斜边c上的高) 公式应用：一般已知直角三角形的三边，求斜边上的高时，常用面积法，利用公式h进行求解判定(1)有一个角等于90的三角形是直角三角形(定义)；(2)如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形；(3
6、)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；(4)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形(且边c所对的角为直角)【方法点拨】一个直角三角形的五种证明方法如图1，已知ABC，AD为BC边上的中线且ADBC.求证：ABC为直角三角形方法一：等腰三角形BDA和等腰三角形ADC结合三角形内角和定理可证得BAC90.方法二：在等腰三角形BDA中作DEAC，结合等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质可证得BACBED90(如图2)方法三：延长AD使DEAD，连接BE，利用三角形全等证得BEAC，结合平行线、等腰三角形的性质可证得BACABE90(如
7、图3)方法四：在方法三的基础上再连接EC，由对角线相等且互相平分证得矩形ABEC，从而可证BAC 90(如图4)方法五：由DBDADC可知B，A，C三点共圆且点D为圆心，BC为直径，结合圆周角定理可证得BAC90(如图5)4等腰直角三角形定义顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形性质等腰直角三角形两直角边相等，两锐角相等且都为45判定(1)顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形(定义)；(2)有两个角是45的三角形是等腰直角三角形；(3)有一个角是45的直角三角形是等腰直角三角形；(4)有两边相等的直角三角形是等腰直角三角形【基础练2】过三角形一个顶点的直线，把原三角形分割成两个三角形，要求
8、分得的两个三角形中至少有一个是等腰三角形(1)如果原三角形是顶点为108的等腰三角形，这样的直线有2条；(2)如果原三角形是等腰直角三角形，这样的直线有3条；(3)如果原三角形是有一个锐角为30的直角三角形，这样的直线有4条【知识拓展】三角形中“中点”问题的四种常见模型及辅助线作法(1)单个中点首先考虑倍长中线(如图1)；图1图2(2)多个中点首先考虑中位线(平行四边形中连接两条对角线即可产生中点)(如图2)；(3)等腰三角形底边上出现中点考虑“三线合一”(如图3)；图3图4(4)直角三角形斜边出现中点考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，另外还产生了两组相等的角(如图4)线段的垂直平分线
9、、角平分线的性质与判定5线段的垂直平分线(1)定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(2)性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等如图，若OP垂直平分AB，则PAPB.(3)判定(性质定理的逆定理)：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上6角平分线(1)性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等如图，若12，PAOA，PBOB，则PAPB.(2)判定(性质定理的逆定理)：(角的内部)到角的两边距离相等的点在角平分线上(3)与角平分线(图中OC均为AOB的平分线)有关的模型与作辅助线有关的模型过OC上点C向两边作垂线CD，CE，则有OCDO
10、CE点D为OA上任意一点，在OB上截取OEOD，连接CD，CE，则有OCDOCE过OC上点C作DEOC，则有OCDOCE，ODE为等腰三角形过OC上点C作CDOB，则有OCD为等腰三角形“平行线角平分线”产生的等腰三角形如图1，ABC中，EFBC，BD平分ABC，CD平分ACB，则BED和CFD均为等腰三角形，且AEF的周长为AEAF EF AB AC；如图2，ABC中，DEAB，DFAC，DB平分ABC，CD平分ACB，则BED和CFD均为等腰三角形，且DEF的周长为DEDFEFBC.【口诀记忆】图中有角平分线，可向两边作垂线也可将图对折看，对称以后关系现角平分线加垂线，三线合一试试看角平分
11、线加平行线，等腰三角形必呈现【基础练3】如图，已知ABAC，A36，AB的垂直平分线MD交AC于点D，交AB于点M，以下结论：BCD是等腰三角形；BD是ABC的角平分线；BCD的周长为ACBC；ADMBCD.其中正确的有(C)A.BCD【例1】如图，ABC中，ABC与ACB的平分线交于点F，过点F作DEBC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：BDF是等腰三角形；DEBDCE；若A50，则BFC105；BFCF.其中正确的有(B)A1个 B2个 C3个 D4个【解题思路】本题考查等腰三角形的判定、角平分线的性质及平行线的性质DEBC，DFBFBC.BF平分ABC，DBFFBC.DBFDFB
12、.BDF是等腰三角形BDDF.同理可得CEEF.DEDFEFBDCE.A50，BFC90A9025115.ABC不一定等于ACB，FBC不一定等于FCB.BF与CF不一定相等1(2021本溪中考)如图，在ABC中，ABBC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD 与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BEAC2，则CEF的周长为(C)A1 B3 C1 D42如图，ABC中，点D在BC边上，BDADAC，点E为CD的中点若CAE16，则B37.3(2021娄底中考)如图，ABC中，ABAC2，P是BC上任意一点，PEAB于点E，PFAC于点F，若SABC1，则PEPF1【例2】(2021保定
13、顺平县二模)如图，每个小三角形都是边长为1的正三角形，D，E，F，G四点中有一点是ABC的外心，该点到线段AB的距离是(D)A B C D1【解题思路】由等边三角形的性质和图形可以得到ABC为直角三角形，通过观察可以知道GE所在的直线和ABC相交所形成的线段是中位线，从而可以得到点E是斜边AC的中点，则RtABC的外心问题即可得解4(2021唐山迁安市二模)如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AEAD，则EDC 等于(D)A30 B20 C25 D155(2021保定竞秀区一模)如图，已知MAN60，AB6.依据尺规作图的痕迹可求出AD 的长为(C)A2 B3 C3 D66如图，
14、ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PDAB，PEBC，PFAC.若ABC的周长为12，则PDPEPF等于(C)A12 B8 C4 D3直角三角形的性质与判定及勾股定理【例3】如图，在RtABC中，ABAC，A90，D为BC上任意一点，DFAB于点F，DEAC于点E，M为BC的中点，连接EM，FM，给出以下5个结论：AFCE；AEBF；EFM是等腰直角三角形；S四边形AEMFSABC；EFBMMC.当点D在BC上运动时(点D不与点B，C重合)，上述结论中始终正确的有(C)A.2个B3个C4个D5个【解题思路】连接AM，证明AMEBMF，可得MEMF，AMEBMF，可证EFM是等腰直角
15、三角形易得S四边形AEMFSAFMSAEMSAFMSBFMSABMSABC.由M为BC的中点，可得BMMC，但EF与BM不一定相等，只有四边形AFME为矩形时，EFBM.7(2021廊坊安次区二模)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(C)A直角三角形的面积B最大正方形的面积C较小两个正方形重叠部分的面积D最大正方形与直角三角形的面积和8(2021张家口一模)如图，在四边形ABCD中，B90，AB3，BC6，点E在BC上，AE
16、DE.且AEDE，若EC1.则CD对等腰三角形的性质与判定不熟练以及不清楚顶角和底角(或底边和腰)而未进行分类讨论造成漏解【例1】已知ABC是等腰三角形(1)当A80时，底角是_；(2)当A80时，B_； (3)当A100时，B_；【错解分析】(1)(2)不确定已知角是底角还是顶角，需要进行分类讨论(1)当A是顶角或底角时，可以分别得到底角的度数(2)当A是顶角时，B只能是底角；当A是底角时，B既可以是底角也可以是顶角(3)A为钝角就只能是顶角，那么B只能是底角由此，在等腰三角形中，已知一个角的度数，先要判断它是顶角还是底角，不确定就要进行分类讨论，以防止出现漏解的情况而出错【正确解答】(1)
17、50或80；(2)20或50或80；(3)401(2021绍兴中考)如图，在ABC中，ABAC，B70，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连接AP，则BAP的度数是15或75对勾股定理的运用不熟练或未确定直角三角形的斜边造成漏解【例2】(2021雅安中考)若直角三角形的两边长分别是方程x27x120的两根，则该直角三角形的面积是()A6 B12 C12或 D6或【错解分析】解方程可以得到两个根为3和4，因不确定斜边的长，所以需要分类讨论此题很容易受“勾3股4弦5”的思维定式而出现错解，甚至有的同学将三角形的面积公式中的忘乘了而出错【正确解答】D2(2021河北三模)勾股定理是初
18、中数学最重要的定理之一如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内记四边形ABCD的面积为S1，四边形DCEG的面积为S2，GEF的面积为S3，四边形HGFP的面积为S4.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(C)图1 图2AS1 BS2 CS3 DS4 勾股定理及其逆定理(5年2考)1(2020河北中考)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是(B)A
19、1，4，5 B2，3，5 C3，4，5 D2，2，42(2019河北中考)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km)，笔直铁路经过A，B两地(1)A，B间的距离为20km；(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为13km.等腰三角形、线段的垂直平分线的性质与判定及相关计算(5年3考)3(2018河北中考)已知：如图，点P在线段AB外，且PAPB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是(B)A作APB的平分线PC交AB于点CB过点P作PCAB于点C且ACBCC取AB中点C，连接PCD过点P作PCAB，垂足为C4(2016河北中考)如图，AOB120，OP平分AOB，且OP2.若点M，N分别在OA，OB上，且PMN为等边三角形，则满足上述条件的PMN有(D)A1个 B2个 C3个 D3个以上