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1、第二节三角形与全等三角形【课标要求】探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论证明三角形的任意两边之和大于第三边理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性了解三角形的重心、垂心、内心、外心的概念探索并证明三角形的中位线定理理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角掌握3个基本事实：(1)三边分别相等的两个三角形全等；(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；(3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等证明定理：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理【教材对接】人教：八上第十一章P129
2、，第十二章P3056；冀教：七下第九章P99114，八上第十三章P3551，第十七章P159161，八下第二十二章P130133；北师：七下第四章P81104，P108109，八上第七章P178183，八下第六章P150152.三角形的分类1按角分2按边分三角形的边、角关系3三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边如图，abc，|ab|c.【温馨提示】判断构成三角形的条件：已知三条线段长，只要较短两条线段长度的和大于第三条线段的长度，即可判定其能构成三角形；已知两边和第三边给定范围求三角形周长时，一定要利用三边关系先判断是否能构成三角形，再计算4三角形内角和定理：
3、三角形的内角和等于180.5三角形内外角关系：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角6三角形的稳定性：三角形的稳定性是其特有的性质，只要三角形的三边长度固定，其形状和大小就固定不变了三角形的稳定性在生活中有广泛的应用，如桥梁、起重机、人字形屋顶等【基础练1】(1)(2021宜宾中考)若长度分别是a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是(C)A1 B2 C4 D8(2)(2021梧州中考)在ABC中，A20，B4C，则C等于(A)A32 B36 C40 D128(3)(2021唐山丰南区二模)如图，在ABC中，B67，C33，AD是
4、ABC中BAC 的平分线，则ADC的度数为(D)A40 B100 C73 D107三角形中的重要线段图示性质备注中线BDDCBC，SABDSADCSABC重心：三角形三条中线的交点，重心到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍，如AO2OD高线ADBC，即ADBADC90垂心：三角形三条高线的交点续表图示性质备注角平分线12BAC内心：三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等中垂线AMBM且OMAB，BNCN且ONBC外心：三角形三条边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等中位线DEBC且DEBCADEABC，它们的相似比为12，面积比为14【基础练2】如图，在ABC
5、中，BAC90，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是ACB的角平分线，CF交AD于点G.下面说法正确的是(D)SABESBCE；FAGFCB；ABDACD90.A B C D【温馨提示】与角平分线有关的三个角度关系(1)如图1，在ABC中，若ABC与ACB的平分线交于点P，则有P90A；(2)如图2，在ABC中，若ABC与外角ACE的平分线交于点P，则有PA；(3)如图3，在ABC中，若外角CBF与BCE的平分线交于点P，则有P90A.全等三角形及其性质与判定7全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形8全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等；(2)全等三角
6、形的对应线段(中线、高线、角平分线、中位线)相等；(3)全等三角形的周长相等，面积相等9全等三角形的判定(1)全等三角形的判定方法已知条件图示是否全等形成结论三边相等是SSS(基本事实)两角一边两角及其夹边相等是ASA(基本事实)两角及其一角的对边相等是AAS两边一角两边及其夹角相等是SAS(基本事实)两边及其一边的对角相等直角三角形是HL一般三角形不一定三个角相等不一定(2)三角形全等的证明思路(已知边或角对应相等)(3)全等三角形常见模型平移模型翻折(轴对称)模型旋转模型三垂直模型【温馨提示】(1)“SSS，SAS，ASA，AAS”适用于所有三角形全等的判定，而“HL”只适用于直角三角形全
7、等的判定(2)“SSA”和“AAA”不能判定两个三角形全等(3)证明三角形全等时，对应顶点的字母必须写在对应位置上(4)灵活运用“截长补短法”添加辅助线构造全等三角形.【基础练3】(1)如图，已知ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和ABC全等的图形是(C)A甲、乙 B甲、丙C乙、丙 D乙(2)(2021成都中考)如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定ABEADF的是(C)ABEDF BBAEDAFCAEAD DAEBAFD【例1】已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x29x180的两根，则该等腰三角形的周长为15【解题思路】本题可以先求出
8、一元二次方程的解，从而得出三角形的两边长，再分类讨论第三边的长注意不要忘记了构成三角形的三边关系是：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边1(2021娄底中考)2，5，m是某三角形三边的长，则等于(D)A2m10 B102m C10 D42(2021大庆中考)三个数3，1a，12a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为3a2三角形内角和定理、外角与内角的关系【例2】(2021常州中考)如图，在ABC中，点D，E分别在BC，AC上，B40，C60.若DEAB，则AED100.【解题思路】已知B和C的度数，根据三角形的内角和定理可以求出A的度数，由
9、平行线的性质即可求得AED的度数3(2021陕西中考)如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE.若A35，B25，C50，则1的大小为(B)A60 B70 C75 D85【例3】(2021唐山路北区二模)已知：如图，点A，F，E，C在同一直线上，ABDC，ABCD，BD.(1)求证：ABECDF；(2)若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG5，求AB的长【解题思路】(1)由平行可得内错角AC，再根据ASA即可得证；(2)根据(1)中的结论以及中位线定理即可求得AB的长【解答】(1)证明：ABDC，AC.在ABE和CDF中，ABECDF(ASA)；(2)解：点E，G分
10、别为线段FC，FD的中点，EGCD.EG5，CD10.ABCD10.4(2021唐山滦南县二模)如图，AD是ABC的中线，CEAD，BFAD，点E，F为垂足，若EF6，122，则BC的长为(D)A6 B8 C10 D125(2021河北一模)如图，ABC中，点E在BC边上，AEAB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得CAFBAE，连接EF，EF与AC交于点G.(1)求证：EFBC；(2)若ABC65，ACB28，求FGC的度数(1)证明：CAFBAE，EAFBAC.AEAB，AFAC，EAFBAC(SAS).EFBC；(2)解：ABAE，ABC65，BAE18065250.FAGBAE50
11、.由(1)知EAFBAC，FC28.FGCFAGF502878.未掌握好三角形全等的判定条件而出错【例】如图，点C，F，B，E在同一直线上，CDFE90，添加下列条件，仍不能判定ACB与DFE全等的是()A.AD，ABDEBACDF，CFBECABDE，BCEFDAD，ABCE【错解分析】本题考查三角形全等的判定方法，C选项容易遗漏掉HL这种判定方法而出错还要注意AAA，SSA不能判定两个三角形全等判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角【正确解答】D如图，ABDB，12，添加下列条件不能判定ABCDBE的是(B)A.BCBE BACDECAD DACB
12、DEB三角形三边关系(5年2考)1(2017河北中考)如图是边长为10 cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是(A) 三角形内角和与内外角关系(5年2考)2(2021河北中考)定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和已知：如图，ACD是ABC的外角求证：ACDAB.证法1：如图，ABACB180(三角形内角和定理)，又ACDACB180(平角定义)，ACDACBABACB(等量代换).ACDAB(等式性质).证法2：如图，A76，B59，且ACD135(量角器测量所得).又1357659(计算所得)，ACDAB(等量代
13、换).下列说法正确的是(B)A证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B证法1用严谨的推理证明了该定理 C证法2用特殊到一般法证明了该定理 D证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理3(2021河北中考)如图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且A，B，E保持不变为了舒适，需调整D的大小，使EFD110，则图中D应减小(填“增加”或“减少”) 10.三角形中的重要线段(5年1考)4(2017河北中考)如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AMAC，BNBC，测得MN200 m，则A，
14、B间的距离为100m.全等三角形(5年2考)5(2019河北中考)如图，ABC和ADE中，ABAD6，BCDE，BD30，边AD与边BC交于点P(不与点B，C重合)，点B，E在AD异侧I为APC的内心(1)求证：BADCAE；(2)设APx，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；(3)当ABAC时，AIC的取值范围为mAICn，分别直接写出m，n的值(1)证明：ABAD，BD，BCDE，ABCADE(SAS).BACDAE.BACDACDAEDAC，即BADCAE；答图(2)解：PD6x.如答图，当ADBC时，x最小，则PD最大B30，AB6，xAB63.PD的最大值为633；(3)m105，n150.