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1、圆锥曲线在高考压轴题目中的考法探究圆锥曲线在高考压轴题目中的考法探究类型类型圆锥曲线中的轨迹方程问题1 1 在平面直角坐标系xOy中，点A,B分别在x轴，y轴上运动，且|AB|=3，动点P满足3OP=2OA+OB(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设圆O:x2+y2=2上任意一点Q处的切线交轨迹C于点M,N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标若不过定点，请说明理由类型类型圆锥曲线中的中点弦问题1 1 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为2 55，其短轴的一个端点到焦点F1的距离为5(1)求椭圆C的标准方程；(2)若P为
2、OF1的中点，M为椭圆上一点，过P且平行于OM的直线l与椭圆C相交于A，B两点，是否存在实数，使得|OM|2=PA PB？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由12024届高考数学专项圆锥曲线在高考压轴题目中的考法探究含答案类型类型圆锥曲线中的三角形(四边形)面积问题1 1已知双曲线 T：x2a2-y2b2=1 a0,b0的离心率为2，且过点3,1若抛物线 C：y2=2px p0的焦点F与双曲线T的右焦点相同(1)求抛物线C的方程；(2)过点M-2,0且斜率为正的直线l与抛物线C相交于A，B两点(A在M，B之间)，点N满足：NA=6AF，求ABF与AMN面积之和的最小值，并求此时直线l的方程类
3、型类型圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题1 1已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为x轴和y轴，且双曲线过点A-2,0，B-14,24.(1)求双曲线的方程；(2)设过点C-2,3的直线分别交的左、右支于D,E两点，过点E作垂直于x轴的直线l，交直线AB于点F，点G满足EF=FG.证明：直线DG过定点.2类型类型圆锥曲线中的向量问题1 1设点 F1，F2分别是椭圆 C:x22t2+y2t2=1(t 0)的左、右焦点，且椭圆 C 上的点到点 F2的距离的最小值为2 2-2.点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量F1M 与向量F2N 平行.(1)求椭圆C的方程；(2)当F1N F2N=0时，求
4、F1MN的面积；(3)当 F2N-F1M=6 时，求直线F2N的方程.31.课时训练1人造地球卫星在以地球的球心为一个焦点的椭圆轨道上运行，运行轨道离地面的最近距离为600千米，离心率为32，将地球看作一个半径为6400千米的球体，以运行轨道的中心为坐标原点，运行轨道的中心与近地点所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，记该卫星的运行轨迹为曲线D，定义7 2+3103千米为1H.(1)以H为单位，求曲线D的方程；(2)已知A,B,C三颗卫星在轨道D上运行，当轨道中心恰好为ABC的重心时，则称此时为“三星对中”状态.则当A,B,C三颗卫星成“三星对中”状态时，ABC的面积是否为定值？若是，求出这个定
5、值并给出证明；若不是，请说明理由.2已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F(-1,0)，点P在E上，PFx轴，且直线PA的斜率为32(1)求E的方程；(2)M(异于点F)是线段PF上的动点，AM与E的另一交点为C，CF与E的另一交点为D，直线BD与直线AM相交于点N，问：|AN|AM|是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由43已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)过点M 3,1，且焦距为4 2.(1)求C的方程；(2)已知过点P 2,1的动直线l交C的右支于A,B两点，Q为线段BA上的一点，且满足APAQ=BPBQ，证明：点Q总在某
6、定直线上.4已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，C的离心率为22，且C上的点B到F的距离的最大值和最小值的积为1过点F的直线l1(l1与x轴不重合)交C于P，Q两点，直线A1P，A2Q分别交过点F且垂直x轴的直线l2于M，N两点(1)求C的方程；(2)记A1FN，A2FM的面积分别为S1，S2，试探究：S1S2是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由55已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)与坐标轴的交点所围成的四边形的面积为4 3,E上任意一点到其中一个焦点的距离的最小值为1.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l:y=kx+m 0k
7、3交E于M,N两点，O为坐标原点，以OM，ON为邻边作平行四边形OMPN,P在椭圆E上，求 OP的取值范围.6如图，已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线与x轴夹角为3，点 1,0在E上，过G 4,0的两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2，且k1k2=3,l1交E于AB,l2交E于CD，线段AB与CD的中点分别为MN,GHMN(1)求双曲线E的方程；(2)求证：存在点K，使HK为定值.67已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的右焦点为F，点P，Q在椭圆C上运动，且 PF的最小值为6-3；当点P不在x轴上时点P与椭圆C的左、右顶点连线的斜率之积为-12.(1)求
8、椭圆C的方程；(2)已知直线l:x-2y=0与椭圆C在第一象限交于点A，若PAQ的内角平分线的斜率不存在.探究：直线PQ的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由.8在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0上的动点P作x轴的垂线，垂足为点M，MQ=2MP，|OQ|=2.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：y=kx+m交C于不同的两点A、B，向量 i=1,0，j=0,1，是否存在常数k，使得满足OA i+2OB j=0的实数m有无穷多解？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.79已知双曲线C1：x2a2-y2b2=1的一条渐近线为y=-12x，椭圆C
9、2：x2a2+y2b2=1的长轴长为4，其中ab0.过点P 2,1的动直线l1交C1于A，B两点，过点的动直线l2交C2于M，N两点.(1)求双曲线C1和椭圆C2的方程；(2)是否存在定点Q，使得四条直线QA，QB，QM，QN的斜率之和为定值?若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由.10已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，椭圆内一点M满足OM=MA，BMAB=64(1)求椭圆的离心率；(2)椭圆上一点P在第一象限，且满AMP=6，PO与椭圆交于点Q，直线AQ交PM的延长线于点D若PDQ的面积为5 312，求椭圆的标准方程811设直线x=m与双曲线C
10、：x2-y23=m(m0)的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形OAB的面积为3.(1)求m的值；(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为M，F为C的右焦点，若M，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点.12平面直角坐标系中，O为坐标原点，F1-1,0,F21,0，动点M满足 MF1,MO,MF2成等比数列.(1)设动点M的轨迹为曲线E，求曲线E的标准方程；(2)若动直线x=m m0与曲线E相交于不同两点M,N，直线NF1与曲线E的另一交点为P，证明：直线MP过定点.913已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，P(4,4)
11、是C上的一点.(1)若直线PF交C于另外一点A，求 AP；(2)若圆E：x-22+y2=r20rb0上.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l交C于P、Q两点，且kPBkQB=-1，则直线l是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.1015如图，已知半圆C1:x2+y2=b2y0与x轴交于A，B两点，与y轴交于E点，半椭圆C2:y2a2+x2b2=1 y0,ab0的上焦点为F，并且ABF是面积为3 的等边三角形，将满足y2a2+x2b2=1,y0 x2+y2=b2,yb0，直线l1经过点M m,0，交椭圆E于点A，B，直线l2经过点N-m,0，交椭圆E于点A，C，其中点A不是椭
12、圆E的顶点记kOA为直线OA的斜率，kBC为直线BC的斜率写出kOA与kBC的关系式(只需写出结果即可，不需写出推证过程)12圆锥曲线在高考压轴题目中的考法探究圆锥曲线在高考压轴题目中的考法探究类型类型圆锥曲线中的轨迹方程问题1 1在平面直角坐标系xOy中，点A,B分别在x轴，y轴上运动，且|AB|=3，动点P满足3OP=2OA+OB(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设圆O:x2+y2=2上任意一点Q处的切线交轨迹C于点M,N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标若不过定点，请说明理由【答案】(1)x26+y23=1(2)以MN为直径的圆过定点(0,0).【详解】
13、(1)设P(x,y),A(x0,0),B(0,y0)由|AB|=3得x20+y20=9由3OP=2OA+OB 得(3x,3y)=(2x0,0)+(0,y0)所以x0=32x,y0=3y,代入式得32x2+(3y)2=9整理得x26+y23=1，所以动点P的轨迹C的方程为x26+y23=1.(2)当切线斜率不存在时，切线方程为x=2,x=-2(i)当切线方程为x=2 时，M(2,2),N(2,-2)以MN为直径的圆的方程为(x-2)2+y2=2(ii)当切线方程为x=-2 时，M(-2,2),N(-2,-2)以MN为直径的圆的方程为(x+2)2+y2=2，由联立，可解得交点为(0,0).当过点Q
14、且与圆O相切的切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+m，1则|m|k2+1=2，故m2=2(k2+1)由y=kx+m,x26+y23=1,联立并消去y整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0因为=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-6)=-8(m2-6k2-3)=-8(2k2+2-6k2-3)=8(4k2+1)0所以切线与椭圆C恒有两个交点，设M(x1,y1),N(x2,y2)，则x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-61+2k2所以OM ON=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)2m
15、2-61+2k2+km-4km1+2k2+m2=3m2-6-6k21+2k2=32(k2+1)-6-6k21+2k2=0所以OMON，即以MN为直径的圆过原点(0,0)综上所述，以MN为直径的圆过定点(0,0).方法总结方法总结1.1.曲线方程的定义一般地，如果曲线C与方程F(x,y)=0之间有以下两个关系：曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解；以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点此时，把方程F(x,y)=0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程F(x,y)=0的曲线2.2.求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步骤省略)；(2)设曲线上任意一点的
16、坐标为y=kx；(3)根据曲线上点所适合的条件写出等式；(4)用坐标表示这个等式，并化简；(5)确定化简后的式子中点的范围上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围3.3.求轨迹方程的方法：3.13.1定义法：定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。3.23.2直接法：直接法：如果动点 P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点 P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点 P的坐标(x,y
17、)表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.33.3代入法代入法(相关点法相关点法)：如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，(该点坐标满足某已知曲线方程)，则可以设出P(x,y)，用(x,y)表示出相关点P的坐标，然后把P的坐标代入已知曲线方程，即可得2到动点P的轨迹方程。3.43.4点差法：点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点 A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得 x1+x2，y1+y2，x1-x2，y1-y2等关系式，由于弦AB的中点P(x,y)的坐标满足2x=x1+x2
18、，2y=y1+y2且直线AB的斜率为y2-y1x2-x1，由此可求得弦AB中点的轨迹方程.类型类型圆锥曲线中的中点弦问题1 1已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为2 55，其短轴的一个端点到焦点F1的距离为5(1)求椭圆C的标准方程；(2)若P为OF1的中点，M为椭圆上一点，过P且平行于OM的直线l与椭圆C相交于A，B两点，是否存在实数，使得|OM|2=PA PB？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)x25+y2=1(2)存在；=45【详解】(1)由题意，得a=b2+c2=5，又e=ca=2 55，所以c=2，所以b=a2-c2=1
19、，故椭圆C的标准方程为x25+y2=1；(2)F1-2,0，P-1,0，若直线l的斜率不存在，则 OM=1，PA=PB=2 55，由|OM|2=PA PB，得=45，若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k x+1，由y=k x+1,x25+y2=1 消去y，得 5k2+1x2+10k2x+5k2-5=0，=10k22-4 5k2+15k2-50，设A x1,y1，B x2,y2，则x1+x2=-10k25k2+1，x1x2=5k2-55k2+1，由题意 PA=k2+1 x1+1，PB=k2+1 x2+1，所以 PA PB=k2+1x1+1x2+1=k2+1x1x2+x1+x2+1=4 k2
20、+15k2+1由题意知，直线OM的方程为y=kx，3由y=kx,x25+y2=1 消去y，得 5k2+1x2-5=0，设M x0,y0，则x20=55k2+1，所以|OM|2=x20+y20=5 k2+15k2+1，由|OM|2=PA PB，得=45，综上，存在实数=45，使得|OM|2=PA PB成立方法总结方法总结1.1.相交弦中点相交弦中点(点差法点差法)直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。主要有以下几种问题：(1)求中点坐标；(2)求中点轨迹方程；(3)求直线方程；(4)求曲线；中点M(x0,y0)，x0=x1+x22，
21、y0=y1+y222.2.点差法点差法设直线和曲线的两个交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入椭圆方程，得x12a2+y12b2=1；x22a2+y22b2=1；将两式相减，可得x12x22a2+y12y22b2=0；(x1+x2)(x1x2)a2=(y1+y2)(y1y2)b2；最后整理得：1=a2(y1+y2)(y1y2)b2(x1+x2)(x1x2)1=ka2b2y0 x0同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1=a2(y1+y2)(y1y2)b2(x1+x2)(x1x2)1=ka2b2y0 x0设直线和曲线的两个交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得y12=2
22、px1；y22=2px2；将两式相减，可得(y1y2)(y1+y2)=2p(x1x2)；整理得：y1y2x1x2=2py1+y2类型类型圆锥曲线中的三角形(四边形)面积问题1 1已知双曲线 T：x2a2-y2b2=1 a0,b0的离心率为2，且过点3,1若抛物线 C：y2=42px p0的焦点F与双曲线T的右焦点相同(1)求抛物线C的方程；(2)过点M-2,0且斜率为正的直线l与抛物线C相交于A，B两点(A在M，B之间)，点N满足：NA=6AF，求ABF与AMN面积之和的最小值，并求此时直线l的方程【答案】(1)y2=8x(2)16 5，5x-3y+2 5=0【详解】(1)由题意得：ca2=2
23、3a2-1b2=1，解之得c2=2a2=2b2=4，即双曲线的右焦点为 2,0，p2=2，所以y2=8x；(2)根据题意不妨设直线l的方程为x=ty-2，A x1,y1，B x2,y2，y10,y20，则由x=ty-2y2=8x 得y2-8ty+16=0=64 t2-10y1+y2=8ty1y2=16 NA=6AF，yN=7y1，又SABF=SBMF-SAMF=12 2-2y2-y1=2y2-2y1，同理SAMN=SNMF-SAMF=2 yN-y1=12y1，SABF+SAMN=10y1+2y22 10y12y2=16 5，当且仅当y1=4 55，y2=4 5 时，“=”成立，即y1+y2=8
24、t=4 55+4 5 t=3 55，此时，直线l的方程为5x-3y+2 5=0方法总结方法总结1.1.弦长公式弦长公式|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2|AB|=(1+k2)(x1-x2)2=1+k2x1-x2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2(最常用公式，使用频率最高)5=1+1k2(y1+y2)2-4y1y22.2.三角形面积问题三角形面积问题直线AB方程：y=kx+md=PH=kx0-y0+m1+k2SABP=12ABd=121+k2Akx0-y0+m1+k2=kx0-y0+m2 A3.3.焦点三角形的面积焦点三角形的面积直线AB过焦点F2,ABF1的面积为SABF1=
25、12F1F2 y1-y2=c y1-y2=c ASAOB=12|AB|d=12A2+B24a2b2(a2A2+b2B2-C2)a2A2+b2B2|C|A2+B2=ab(a2A2+b2B2-C2)C2a2A2+b2B2注意：A为联立消去x后关于y的一元二次方程的二次项系数4.4.平行四边形的面积平行四边形的面积直线AB为y=kx+m1，直线CD为y=kx+m2d=CH=m1-m21+k2AB=1+k2x1-x2=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2-BA2-4CA=1+k2ASABCD=ABd=1+k2Am1-m21+k2=m1-m2A注意：A为直线与椭圆联立后消去y后的一元二次方程的
26、系数.5.5.范围问题范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式a2+b22ab(a,bR)变式：a+b2 ab(a,bR+);aba+b22(a,bR+)作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：(1)S=2tt2+64=2t+64t(注意分t=0,t0,t0).将AB两点坐标代入双曲线方程得-22a2=1(-14)2a2-242b2=1 ，所以a=2,b=2 3，即双曲线方程为x24-y212=1.(2)直线DG过定点
27、A-2,0，若D,G,A三点共线kAD=kAG，设点D x1,y1,E x2,y2，直线DE方程为y=k x+2+3，由题意知：直线AB的方程为l1:y=-2x-4，点F为线段EG的中点，从而F x2,-2x2-4,G x2,-4x2-8-y2，kAD=y1x1+2,kAG=-4x2-8-y2x2+2，若kAD=kAGy1x1+2=-4x2-8-y2x2+2，化简得y1x2+2+y2x1+2+4 x1+2x2+2=0又因为y1=k x1+2+3,y2=k x2+2+3，代入式得 2k+4x1x2+4k+11x1+x2+8k+28=0联立y=k x+2+3x24-y212=1，化简得 3-k2x
28、2-2k 2k+3x-(2k+3)2-12=0，则3-k20，0,x1+x2=2k 2k+33-k2,x1x2=-12-(2k+3)23-k2.代入式左边得 2k+4-12-(2k+3)23-k2+4k+112k 2k+33-k2+8k+28=0，7由于 2k+4-12-(2k+3)2=-8k3-40k2-90k-84，4k+114k2+6k=16k3+68k2+66k，3-k28k+28=-8k3-28k2+24k+84，从而式左边等于0成立，直线DG过定点A-2,0.方法总结方法总结定点问题定点问题1.1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y视作常数，
29、把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点2.2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.定值问题定值问题1.1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值常见定值问题的处理方法：
30、(1)确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示(2)将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数.2.2.定值问题的处理技巧：(1)对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置(例如斜率不存在的直线等)求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.(2)在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢(3)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算定直线问题定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等8
31、类型类型圆锥曲线中的向量问题1 1设点 F1，F2分别是椭圆 C:x22t2+y2t2=1(t 0)的左、右焦点，且椭圆 C 上的点到点 F2的距离的最小值为2 2-2.点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量F1M 与向量F2N 平行.(1)求椭圆C的方程；(2)当F1N F2N=0时，求F1MN的面积；(3)当 F2N-F1M=6 时，求直线F2N的方程.【答案】(1)x28+y24=1；(2)43；(3)x+2y-2=0【详解】解：(1)点F1、F2分别是椭圆C:x22t2+y2t2=1(t0)的左、右焦点，a=2t，c=t，椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为2 2-2，a-c=2
32、t-t=2 2-2，解得t=2，椭圆的方程为x28+y24=1，(2)由(1)可得F1(-2,0)，F2(2,0)，点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，可设N(2 2cos，2sin)，F1N=(2 2cos+2，2sin)，F2N=(2 2cos-2，2sin)，F1N F2N=0，(2 2cos+2)(2 2cos-2)+4sin2=0，解得cos=0，sin=1，N(0,2)，F2N=(-2,2)，kF2N=22=-1，向量F1M 与向量F2N 平行，直线F1M的斜率为-1，直线方程为y=-x-2，联立方程组y=-x-2x28+y24=1，解得x=0，y=-2(舍去)，或x=-83，y
33、=23，M-83，23，|F1M|=-83+22+232=2 23，点N到直线直线y=-x-2的距离为d=42=2 2，F1MN的面积=12|F1M|d=122 232 2=43，(3)向量F1M 与向量F2N 平行，F1M=F2N，|F2N|-|F1M|=6，9(-1)|F1M|=6，即1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，(x1+2)=x2-2，y2=y1，x2=x1+2(+1)x28+y24=1，x22+2y22=8，x1+2(+1)2+22y21=122+8+4+4(+1)x1=8，4(+1)x1=(1-3)(+1)，x1=1-3=1-3，y21=4-(1-3)22，|F1M|2=
34、(x1+2)2+y21=1-3+22+4-(1-3)22=(+1)222，|F1M|=+12，(-1)+12=6，2-2 3-1=0解得=2+3，或=2-3(舍去)x1=1-3=12+3-3=-1-3，y21=4-(-1-3)22=2-3=4-2 32=(3-1)22，y1=3-12，kF1M=3-12-0-1-3+2=-22，直线F2N的方程为y-0=-22(x-2)，即为x+2y-2=0方法总结方法总结1.1.设u为直线l的方向向量,若u=1,k,则l斜率为k；若u=m.n(m0),则l斜率为nm；2.2.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线:AB=AC;OC
35、=OA+OB 且+=1;OC=(OA+OB)/(1+)；AB AC.3.3.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C为线段AB的中点:AC=CB;OC=12(OA+OB).4.4.在四边形ABCD中,若AB AC=0,则ABAC;若AB+AD=AB-AD,则ABAD;若AB AC=AD AC,则ACBD.105.5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量a=x1,y1,b=x2,y2共线x1y2-x2y1=0转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化.1.课时训练1人造地球卫星在以地球的球心为一个焦点的椭圆轨道
36、上运行，运行轨道离地面的最近距离为600千米，离心率为32，将地球看作一个半径为6400千米的球体，以运行轨道的中心为坐标原点，运行轨道的中心与近地点所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，记该卫星的运行轨迹为曲线D，定义7 2+3103千米为1H.(1)以H为单位，求曲线D的方程；(2)已知A,B,C三颗卫星在轨道D上运行，当轨道中心恰好为ABC的重心时，则称此时为“三星对中”状态.则当A,B,C三颗卫星成“三星对中”状态时，ABC的面积是否为定值？若是，求出这个定值并给出证明；若不是，请说明理由.【答案】(1)x24+y2=1(2)是定值，定值为3 32，证明见解析【分析】(1)由已知条件设出
37、椭圆方程待定系数求解即可；(2)分类讨论计算ABC的面积，斜率存在时联立方程组由韦达定理计算ABC的面积为定值即可.【详解】(1)设曲线D:x2a2+y2b2=1(ab0)，则a-c=6400+6007 2+3103=2-3,ca=32,解得a=2,c=3,b=1.曲线D的方程为x24+y2=1.(2)设A x0,y0,B x1,y1,C x2,y2，当直线BC斜率不存在时，如图即x1=x2,y1=-y2，由轨道中心O为ABC的重心可知，x0+x1+x23=0,y0+y1+y23=0，11A-2x1,0，因为点A在椭圆D上，所以x21=1，当x1=1时，A-2,0,B 1,32,C 1,-32
38、，则SABC=1233=3 32，同理当x1=-1时，SABC=3 32.当直线BC斜率存在时，如图：设直线BC:y=kx+m，联立y=kx+m,x24+y2=1,整理得 1+4k2x2+8kmx+4m2-4=0，且=(8km)2-4 1+4k24m2-4=16 4k2+1-m20，则x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-41+4k2，由轨道中心O为ABC的重心可知，x0=-x1+x2,y0=-y1+y2=-k x1+x2-2m，则A8km1+4k2,-2m1+4k2.将点A坐标代入x24+y2=1，化简得8km1+4k22+4-2m1+4k22=4，即4m2=1+4k2.由轨道中
39、心O为ABC的重心，可知A到直线BC的距离d为轨道中心O到直线BC的距离的3倍，所以d=3 m1+k2,BC=1+k2x1-x2=1+k24 3 m1+4k2，SABC=12 BCd=121+k24 3 m1+4k23 m1+k2=6 3|m|21+4k2=6 3|m|24m2=3 32.综上所述，ABC的面积为定值3 32.【点睛】求解定值问题常用方法为：“特殊探路，一般证明”:即先通过特殊情况确定定值，再转化为有方向、有目的的一般性证明.2已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F(-1,0)，点P在E上，PFx轴，且直线PA的斜率为32(1)求E的方
40、程；(2)M(异于点F)是线段PF上的动点，AM与E的另一交点为C，CF与E的另一交点为D，直线BD与直线AM相交于点N，问：|AN|AM|是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由【答案】(1)x24+y23=112(2)是定值，定值是2【分析】(1)设P-1,y0，代入E的方程，再结合直线PA的斜率为32及左焦点为F(-1,0)，即可得出a，b的值，进而得出E的方程；(2)设直线CD的方程及C x1,y1，D x2,y2，N(m,n)，其中y10，y20，直线CD的方程与椭圆E联立消去x，根据韦达定理得出y1+y2和y1y2，再由直线BD与直线AM相交于点N，得出kAC=kAN，kBD
41、=kBN，表示出m-2m+2，代入y1+y2和y1y2即可得出m-2m+2=3，解出m得出点N在直线x=-4上，结合MFx轴，F(-1,0)即可得出|AN|AM|的值【详解】(1)设P-1,y0，因为点P在E上，直线PA的斜率为32，椭圆E的左焦点为F(-1,0)，则由题意得(-1)2a2+y20b2=1y0-1+a=32a2-b2=1，解得a=2，b=3，y0=32，所以E的方程为x24+y23=1(2)由(1)知A(-2,0)，B(2,0)，设C x1,y1，D x2,y2，N(m,n)，其中y10，y20，由题意设lCD：x=my-1，与x24+y23=1联立消x得 3m2+4y2-6m
42、y-9=0，则y1+y2=6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，因为直线BD与直线AM相交于点N，且AM与E的另一交点为C，所以kAC=kAN，kBD=kBN，即y1x1+2=nm+2，y2x2-2=nm-2，所以m-2m+2=y1x1+2y2x2-2=y1x2-2y2x1+2=y1my2-3y2my1+1=my1y2-3y1my1y2+y2=-9m3m2+4-3y1-9m3m2+4+6m3m2+4-y1=-9m3m2+4-3y1-3m3m2+4-y1=3，所以m=-4，即点N在直线x=-4上，又MFx轴，F(-1,0)，所以|AN|AM|=-2-(-4)-1-(-2)=2，即|AN|AM
43、|为定值2133已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)过点M 3,1，且焦距为4 2.(1)求C的方程；(2)已知过点P 2,1的动直线l交C的右支于A,B两点，Q为线段BA上的一点，且满足APAQ=BPBQ，证明：点Q总在某定直线上.【答案】(1)x26-y22=1(2)证明见解析【分析】(1)根据已知条件可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线C的方程；(2)设点A x1,y1、B x2,y2、Q x,y，记=APPB=AQQB，则AP=PB，AQ=BQ，利用平面向量的坐标运算结合点差法求出点Q的轨迹方程，即可证得结论成立.【详解】(1)由题意可得2c=4
44、 29a2-1b2=1c2=b2+a2，解得a=6b=2c=2 2，所以，双曲线C的方程为x26-y22=1.(2)设点A x1,y1、B x2,y2、Q x,y，因为APAQ=BPBQ，即 AP BQ=AQ PB，记APPB=AQBQ=-b0的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，C的离心率为22，且C上的点B到F的距离的最大值和最小值的积为1过点F的直线l1(l1与x轴不重合)交C于P，Q两点，直线A1P，A2Q分别交过点F且垂直x轴的直线l2于M，N两点(1)求C的方程；(2)记A1FN，A2FM的面积分别为S1，S2，试探究：S1S2是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由【答
45、案】(1)x22+y2=1(2)是，3+2 2【分析】(1)根据题意，列出方程，求得a,b,c即可得到椭圆方程；(2)根据题意，分别表示出直线A1P,A2Q的直线方程，从而得到点M,N的纵坐标，然后代入计算，即可得到结果.【详解】(1)由题意得ca=22a-ca+c=1，解得a=2,c=1，所以b=1，则椭圆的方程为x22+y2=1.(2)依题意得直线l2的方程为x=1，设直线l1的方程为x=my+1，P x1,y1,Q x1,y1，由x=my+1x22+y2=1 得，m2+2y2+2my-1=0，则y1+y2=-2mm2+1,y1y2=-1m2+2，所以y1+y2=2my1y2，A1P的方程
46、为：y=y1x1+2x+2，15由x=1y=y1x1+2x+2，解得yM=y1x1+21+2，A2Q的方程为：y=y2x2-2x-2，由x=1y=y2x2-2x-2，解得yN=y2x2-21-2，所以S1S2=12FNA1F12FMA2F=y1x1-21-21+2y2x2+21+22-1=y1x2+2y2x1-2=y1my2+1+2y2my1+1-2=my1y2+1+2y1my1y2+1-2y2=12y1+y2+1+2y112y1+y2+1-2y2=3+2 2y1+y2y1+3-2 2y2=3+2 2y1+3-2 2y2y1+3-2 2y2=3+2 2【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆
47、相交的问题，以及三角形面积问题，难度较难，解决本题的关键在于得到直线A1P,A2Q的方程，得到点M,N的纵坐标，然后结合运算即可得到S1S2的比值.5已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)与坐标轴的交点所围成的四边形的面积为4 3,E上任意一点到其中一个焦点的距离的最小值为1.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l:y=kx+m 0k3交E于M,N两点，O为坐标原点，以OM，ON为邻边作平行四边形OMPN,P在椭圆E上，求 OP的取值范围.【答案】(1)x24+y23=1(2)3,955 【分析】(1)根据题意列出关于a、b、c的方程，结合a2=b2+c2可解；(2)设M x1,y1,N
48、x2,y2,P x0,y0，利用韦达定理结合四边形OMPN为平行四边形可的点P坐标，然后结合点P在椭圆上可解.【详解】(1)由题可知2122ab=4 3a-c=1 ab=2 3a-c=1，所以a2a2-c2=12，即a2a+c=12，所以a2(2a-1)=12，所以 a-22a2+3a+6=0，因为a0，所以a=2，所以c=1,b=3.所以椭圆E的方程为：x24+y23=1.(2)联立y=kx+mx24+y23=1，消去y，化简整理得：3+4k2x2+8kmx+4m2-12=0，需满足=64k2m2-4 3+4k24m2-12=48 3+4k2-m20，16设M x1,y1,N x2,y2,P
49、 x0,y0，由韦达定理可知：x1+x2=-8km3+4k2.则以OM,ON为邻边作平行四边形OMPN，则OP=OM+ON=x1,y1+x2,y2，x0=x1+x2=-8km3+4k2,y0=y1+y2=k x1+x2+2m=6m3+4k2由于点P在椭圆C上，所以x204+y203=1，即16k2m23+4k22+12m23+4k22=1化简得：4m2=3+4k2，经检验满足=48 3+4k2-m20又 OP=x20+y20=64k2m23+4k22+36m23+4k22=4m216k2+93+4k22=16k2+94k2+3=4-34k2+3，由于0k3,34k2+315，所以1534k2+
50、31，所以34-34k2+3195，故3 OP955，所以 OP的取值范围为3,955 .6如图，已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线与x轴夹角为3，点 1,0在E上，过G 4,0的两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2，且k1k2=3,l1交E于AB,l2交E于CD，线段AB与CD的中点分别为MN,GHMN(1)求双曲线E的方程；(2)求证：存在点K，使HK为定值.【答案】(1)x2-y23=1(2)证明见解析【分析】(1)依题意a=1,ba=3，求解即可；(2)设A x1,y1,B x2,y2,AB的方程为y=k1x-4，C x3,y3D x4,y4,CD的方程