《2021年上海中考数学母题讲次13 动态几何题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年上海中考数学母题讲次13 动态几何题.pdf（53页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题13动态几何题母题呈现【母题来源1】（2019上海中考真题）如图，在正方形中，E 是边4。的 中 点.将 NBE沿直线8E 翻折,点4落在点F处,联结。尸，那 么 EZ）F 的正切值是.【答案】由折叠可得QAEB=QFEB,由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得至1 1 口 4后 8=口助尸,进而得到 tan EDF=tan AEB=2.A E【解析】解：如图所示，由折叠可得4E=FE,UAEB=FEB=nAEF,2 正方形/BCD 中，E 是 的 中 点，QAE=DE=A D AB,2 2 DE=FE,EDF=HEFDf又 EUE尸是QDEF的外角，UAEF=DEDF+GEFD,QOED
2、F=DAEF,2 QAEB=QEDF,tan 尸=tan EMEB=岖=2.A E故答案为：2.【母题来源2（2017上海中考真题）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与尸重合，边CA与边FE叠合,顶点8、C、。在一条直线上）.将三角尺QEF绕着点尸按顺时针方向旋转“。后（0V I80）,如果E F U4B,那么的值是.【答案】分两种情形讨论，分别画出图形求解即可.【解析】解：如图1 中，E F UA B V,DJCE=0=45,口旋转角”=4 5 时，E F Q A B.如图 2 中，E F C A B B-t,IZMCE+LL4=180。，4CE=135。口旋转角”=360-135=225
3、,0n2AGE=JDABf UAEG=UDEA,UEAGEDA,E G：AE=AE：E D,即 E G：x=x：J22+(X-9 )2,2 E G=XV122+(X-9)2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2 DG=DE-E G2+(X-9)2 -=V12+(x-9)zQDGF3UEGA,DF：AE=DG：E G,即y：x=(/1 22+(X-9 )2-2x):2xV 1 22+(X-9)2 V 1 22+(X-9)2母题褐秘1、抓住图形运动后角度和长度等性质的特点;2、寻找几何模型突破点;3、主要有以下几点思路:数量关系突破：1、勾股定理（比较初级，实用）；2、锐角三角比；
4、3、相似;角度关系突破：平行，全等，相似，其他几何性质;4、分类讨论多种情况（可以以某一种情况切入），记得验证是否均满足题意，有些需要舍去;5、综合分析法，从己知和结果同时出发往中间靠（也就是寻找第3点的突破点）。一、填空题1.（2021上海九年级专题练习）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,B C=10,点E在CD上，将EIBCE沿BE折 叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在A F上，将匚ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：E B G=45。；DEF30ABG；OS A B G=1.5 S F GH：EIAG+DF=FG；其中正确的是.（填写正确结论的序号）【答案
5、】【解析】根据矩形的性质和折叠的性质，可知NEBF+NGBH=45。，。尸的长度.利用勾股定理可求出AG,GF、GH、H F的长度，结合题意逐个判断即可.匚：根据题意可知NE8C=N E ,NGBA=NGBH,NEBC+ZEBF+ZGBA+ZGBH=90,NEBF+ZGBH=45,即 NEBG=45.故口正确；：ZEFD+ZAFB 90,ZA8E+ZAF8=90。，NEFD=ZABF,QQABF 口 口 DFE,AB AF-,DF DE AF=dBF2_AB2=J102_62=8,_D_ _E AF _8 _ _4DF AB 6 3设 4 G=x,贝ijG=x,GF=S-x,HF=BF-BH=
6、0-6=4.又在 RtQGHF 中，GH2+HF2=GF2,OX2+42=(8-X)2解得x=3,即4G=3,AB=-6 =c2 AG 3AB DE：:-w-AG DF故 口 D E F 和口 48G 不相似.故口错误；：由口得 GH=3,S AR(.=-ABQ4G=-x6x3=9,S=，x3x4=6.AliG 2 2 0 2 2S A B G S G F H=9:6=1.5.故口正确.：。尸 =10-8=2,由可知 4G+QF=3+2=5,GF=8-3=5.UAG+DF=GF.故口正确.故答案为 .【点睛】本题考查折叠的性质、矩形的性质、三角形相似的判定和性质结合勾股定理来解题.本题利用勾股
7、定理计算出4 G 的长度是解题的关键.2.（2021上海徐汇区九年级一模）如图，在口 A 8 C 中，点。、E 分别在边A 3、A C 上，OEB C,将口 4。七An 2沿直线0 E 翻折后与V FO E 重合，DF、E F 分别与边B C 交于点M、N,如 果 OE=8,=,AB 3那么MN的长是.F【答案】4【解析】设 A B =3 a,从而可得AD=2 a,B =a,先根据平行线的性质可得NAOE=N8,NEZW=,再根据翻折的性质可得NADE=NOM,DF=A ）=2 a,从而可得N8=N8M。，然后根据等腰三角形的判定可得。M=6O=a,从而可得KW=a,最后根据三角形的中位线定理
8、即可得.设A 6 =3 a,则A D =2a,B D =A B A D =a,D E/B C,Z A D E=Z B,Z E D M =Z B M D,由翻折的性质得：Z A D E =N E D M,D F =A D =2 a,N B =N B M D ,D M =B D =a,:.F M =D F D M =a=D M ,即点 M 是 D F 的中点，又D E/B C,；.MN是V尸。E的中位线，:.M N -D E -x S =4,2 2故答案为：4.【点睛】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的判定、三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键.3.（2 0 2 1 上海长宁区
9、九年级一模）如图，矩形力 8。沿对角线8。翻折后，点 C落在点E处.联结C E 交边4。于点E 如果。尸=1,B C=4,那么/E的长等于.【答案】述5【解析】由折叠的性质可得RM CD=RtBED,由矩形的性质可证明RtDAB=RtBCD,故可得RtM）AB=RtBED,再证明R/ABC。口 RfACD/求 得C D=2,在m AAE尸中由勾股定理可得解.解：口四边形ABCD是矩形，DBED是由DBCD翻折得到，RtBCD s RtBED,CE1 BD,AO=8C=4,AB=CD=ED,口四边形ABCD是矩形，AD=BC,AB=CD,又 BD=DB RtADAB=RtBCD RtkDAB=R
10、tBEDAB=ED,ZABD=ZEDB口四边形ABDE是等腰梯形，QCE1BD,AE/BDnCELAE,EAD=NADB=NDBC DBC+ZFCB=90,ZFBC+ZFCD=90DBC=ZFCD RtBCD RtCDFFD CD 1 CD-=-,即-=-CD BCCD 4 CD=2或-2（舍去）CD 2 1在 RtDCB 中，tan/DBC=-=BC 4 2QQEAD=ZDBCtan NEAD=2在 RrAAEF 中，E F-A E2由勾股定理得，AE2=AF2-EF2即 AE2=(AD-F D y-(1 A E)2Q AE2=(4-y-A E24解得：AE=|A/5.故答案为：8 5.5【
11、点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形，勾股定理的运用以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.4.(2021 上海九年级一模)如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强 相 似 点 如 图1,在四边形A 8C O中，点。在边A O上，如果口Q A 3、口Q 8 c和口。都相似，那么点。就是四边形A 8C O的“强相似点”；如 图2,在四边形A 8C O中，AD/7BC,AB=DC=2,BC=8,ZB =6 0 ,如果点。是边上的“强相似点”，那么AQ=A【
12、答案】3+新 或3-行【解析】过 点A作AEDCD,交BC于 点E,可证四边形ADCE是平行四边形，由平行四边形的性质可得A D的长，利用AQ DC“强相似点的定义可得ABC W D Q C,则由相似三角形的性质可得1r而，再根据线段之间的数量关系建立关于AQ的方程，求解后即可求出A Q的 长.解：如图，过 点A作AEDCD,交BC于 点E,口在四边形 ABC。中，A D B C ,A B =D C =2,四边形ADCE是平行四边形，AE=CD=AB=2,AD=CE.N B=60,ABE是等边三角形.BE=AE=AB=2.AD=BC-BE=6.点。是边A D上的强相似点”，ABQ DQC.A
13、Q D C A B D Q 设 A Q=x,则 DQ=6x,解 得%=3+6，Xj=3-5.故答案为：3+6或3【点睛】本题考查了相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质及相似三角形的性质并能灵活应用所学知识是解题的关键.5.（2021 上海九年级专题练习）如图，在口 ABCO中，点E在边B C上，将AABE沿直线A E翻 折 得 到 西，点8的对应点F恰好落在线段。E上，线 段 的 延 长 线 交 边 于 点G,如果BE:EC=3:2,那么的值等于ADB E C21【答案】r4【解析】由轴对称的性质可得：NBEA=NFEA，BE=FE,NABE=NAFE,结
14、合平行四边形的性质，结合BE:EC=3:2,设 BE=3乂则 EC=2k，证明 3C=AQ=。石=5攵，再证明AOGsXOEG,可得：4 =2，=4 =*=*,求解：FG=DG,AG=DG,从而可得答案.解：:ABE AFEDF FG DG 2k 2 5 2.NBEA=NFEA,BE=FE,NABE=NAFE,OABCDADI IBC,AD=BC,/B =NADC,NBEA=NDAE=乙FEAAD=DE.BE:EC=3:2 设5E=3幺则EC=2A,.BC=AD=DE=5k,/.DF=2k,ZDFG=ZAFE,ZDFG=ZADG,/DGF=NAGD,/XADG/XDFG,.AD DG AG 5
15、k _5DFFGDG2k212 5.FG=-DG,AG=-DG95 2AG _ 25 一 FG 4AG-FG 25-4-=-,FG 4 A F 一一_2_ 1，FG 4故答案为：.4【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.6.（2021 上海九年级专题练习）在口 ABC中，AB=4母，NB=45,ZC=6 0.点。为线段AB的中点，点E在 边A C上，连 结。E,沿直线O E将DAOE折叠得到口 AO E.连 接A 4,当A E L A C时，则线 段4 T的长为.【答案】2屈【解析】AE AD求 出AC的长，证明
16、I ADE ACB,推出=，由此求出AE即可解决问题.解：过 点A作AM BC,在AB ACRtDABM 中，AM=AB x sin45=472 x=42AC=AM+sin60o=冕I3 A E IA C,AEA=90,ADEEIIADE AED=DA，ED=45,AED=DB,DAE=AB,ADEODACB,AE ADA E _ 2V24V2-亍A E =2y3AA=V2AE=2x/6【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换,全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.7.（2021上海杨浦区九年级一模）新定义：有一组对角互
17、余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边3形 A 8C O中，A8=10,BC=12,C D =5,tanB=,那么边 的长为.【答案】9【解析】3连 接AC,作AE J.交BC于E点，由tan B=一，AB=10,可得AE=6,BE=8,并求出AC的长，作C F 1 A D4交AD于F点，可 证N B =N D C F ,最后 求 得AF和DF的长，可解出最终结果.解：如图，连 接AC,作A E B C交BC于E点，3,/tan B,AB=10,4AE 3tan B =-=,设 AE=3x,BE=4x,B E 4A E2+B E2=A B2，则(3x)2+(甸2 =25%2=,解得
18、x=2,则 A E=6,BE=8,又：8 C =1 2 ,CE=BC-BE=4,A C =yAE2+C E2=2713-作C F _ L A。交AD于F点，v ZB+ZZ)=90,ZD+ZDCF=90,3D FN B =N D C F ，t a n 8 =t a n Z.DCF=，4C F又CZ =5 ,同理可得 D F=3,CF=4,A F -A C2 C F2=6 1A D=A F+D F=9.故答案为：9.【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键.8.（2 0 2 1 上海宝山区九
19、年级一模）在RtaAB C中，Z A C B =9Q,A C =B C ,点 E、口分别是边C A、C B的中点，已知点P在线段EF上，联 结AP，将线段AP绕 点P逆时针旋转9 0。得到线 段。P,如果点P、D、C在同一直线上，那 么tanNC AP=.【答案】播+1或 夜-L【解析】分两种情形：当点。在线段P C 上时，延长力。交 的 延 长 线 于 证 明 4 0=。即可解决问题.解：口 如图2中，当点。在线段PC 上时，延长4。交 6c的延长线于巴H图2口 CE=EA,CF=FB,UEFUAB,UAC=AB,UACB=Q CE F=ZG 4=4 5,UPD=PA,DAPD=90QmPA
20、D=QPDA=459 H D C=E 1 P D 4=4 5。，点E 是边C A的中点，QEA=EP=EC E P C=0 CE P,UQHDC=UDCA+UDAC=45%C E F=匚。C4+D P C=4 5。，QDAC=QEPC=DECP,UDA=DCf 设Z P=，DA=DC=yf2a,P C =（及+1）n tan ZCAP=PA 如图3中，当点P 在线段CD上时,E由可知，E尸 口 力8,CJ5=nPDJ=45,。=180。口4 8-4 5。，。4=180。皿。0-45。CW=E1CO4DEFUAB,n n C P E=Q C O A,CPE=DC4D,点E是边C 4的中点，U E
21、 A=E P=E C2QECP=DCPEt CP=DC4D,U D A=D C,设 4P=a,则尸Z)=a,DA=D C =41a,PC=(V2-1)6Z tanNCA?=(应”=&-1PA a综上所述，tanNCAP的 值 是 行+1或0一1 .【点睛】本题考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，外角的性质，三角形内角和，勾股定理和三角函数等知识，熟悉相关性质是解题的关键.9.（2021 上海奉贤区九年级一模）如图，在中，NACB=90。,4。=3,5。=4,。是乙48。的角平分线，将RfAABC绕点A 旋转，如果点。落在射线C7）上，点 B 落在点E 处，连接E D,那么NAE
22、。的正切值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.3【答案】-【解析】AG AC 3如图，过点D 作 DGZIAC于 G,可得DG B C,即可证明EJAGDEIIZIACB,可得=一，由CD是角平DG BC 4分线可得L ACD=45。，可得CG=DG,进而可求出AG的长，根据勾股定理即可求出AD的长，根据旋转的性质可得AOAC,AE=AB,根据等腰三角形的性质可得口。2八=45。，可得CAC=90。，可得旋转角为90。，可得 DAE=90,利用勾股定理可求出AB的长，根据正切的定义即可得答案.如图，过点D 作 DG1AC于 G,ACB=
23、90,DG/BC,丁 办 AG AC 3 L AGD JDACB,可得=一，DG BC 4 CD是角平分线，ACD=45,CG=DG,AC=3,AC=AG+CG,37 DG+CG=3,即一DG=3,4412解得：DG=,79A G=-,7I-15 AD=A/)C2+i4G2=,口将RrAABC绕点A旋转，如果点。落在射线C D上,AC=AC,AE=AB,CCA=JACD=45。，CAC=90,口旋转角为90。，DAE=90,AC=3,BCM,AB=5,tan ZAED=AEADAB373故答案为：【点睛】本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，正确得出旋转角为90。并熟练掌
24、握相关性质及定义是解题关键.10.（2020上海浦东新区九年级三模）如图，在矩形N8C。中，A B=3,B C=4,将矩形Z8CD绕点C 旋转，点A.B、。的对应点分别为月、B D,当4 落在边CQ的延长线上时，边A D 与 边力。的延长线交于点产，联结C F,那么线段CF的长度为.A【答案】bH2【解析】由勾股定理可求A C=5,可得A，D=A，C-CD=2,由ECDEJEA9B，对应边成比例即可求出DE的长,再由【ADFEIIZICDE求出DF的长，最后在REDFC中由勾股定理即可求出DF.解：由旋转前后对应边相等可知：AB=AB=3,BC=BC=40 由勾股定理可知：AC=1 3 2+4
25、 2=5，0AD=AC-CD=2,XDADC=DB=90,fiOECD=nACB,OOECDODACB,CD DE 八、3 DE-7=-7-7.代入数据：=-BC AB 4 39 P E=,4又 AFDCE,CED=nAFD,且DEDCRFDA,ADFnnCDE,9M =H，代入数据：4 3,FD A D 而二53 DF=一，2在Rt DFC中由勾股定理可知:CF=DF2+CD2=J（1）2+32=浮.故答案为：述.2【点睛】本题借助矩形的性质考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解决此题的关键.1 1.（2020上海涌东新区九年级月考）定义：我们知道，四边形的一条对角
26、线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形48CD中，对角线8。是它的相似对角线，ABC=70。,B D平 分A B C,那么二 度【答案】145【解析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在二ABD和DDBC中，已知匚ABDM CBD,所以需另一组对应角相等，若D A R C,则C1ABD与匚DBC全等不符合题意，所以必定有UAnElBDC,再根据四边形的内角和为360。列式求解.解：根据题意画出示意图，已知二ABD=1CBD,ABD与E1DBC相似，但不全等，A=nBDC,nADB=nc.XDA+DABC+DC+DA
27、DC=360,2JADB+2OBDC+DABC=360,OOADB+DBDC=145,即 EADC=145.【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键.12.（2021 上海九年级专题练习）在 R f A A B C 中，N C =90。,A C =2,5C=4，点。、E 分别是边B C、A B的中点，将A B D E绕着点B旋转，点D、E 旋转后的对应点分别为点。、E ,当直线O E 经过点A 时，线段C。的长为【答案】26或!石【解析】当直线O E 经过点A时，有两种情况，均用三点共线特征及勾股定理求出AE长为5或3,采用两边对应成比例且夹角相等证得口C B D P I A B E ,利用相似
28、三角形对应边成比例求解.解：在R t D A C B中，ZC=90,AC=2,BC=4,由勾股定理得，AB=y/AC2+BC2=V22+42=275，。、E分别是边8C、A8的中点，D E 是 1 A C B 的中位线，B D=2,BE=,O D E Q A C,DE=-AC=12 E D B=9 0,由旋转可得，B D =2,D E =1,B E=5 D B D-E O0,第一种情况，如图1,点A,D ,E 三点共线,A D B=9 0,由勾股定理得AD7AB2 _ RD”J(2可-2 2 =4,A E =A D +D E =5 A B C=D D，B E；nCBD,=QABE，,BC BD
29、 2AB BE 6.CBD,nnABE；CD 2-=CD=2A/5第一种情况，如图2,D如图2/点A,D E三点共线，旧 ADB=90,由勾股定理得AD=JAB2-B D 2 =AE=AD-DE=3 ABC=DDBE;nCBD=：ABE；BC BD 2AB BE石 CBDQQABE；C。2C。2-=-f=3 75 CD V5 CD，长为2石 或故答案为：2 亚 或 1 后.【点睛】本题考查图形旋转的综合应用，涉及知识点有勾股定理，三点共线，相似三角形的判定和性质，能正确画出图形很关键.13.（2017上海徐汇区九年级二模）如图，在EL4BC中,DJCS=a（90a180）,将EIXBC绕着点4
30、 逆时针旋 转 邛（0。090。）后得U 4 E D,其中点E、。分别和点8、C 对应，联结CZ）,如果COEIE。，请写出一个关于 a 与 0 的 等 量 关 系 的 式 子.【答案】a+p=180【解析】本题考查的是旋转与等腰三角形，做辅助线AFD C D,由旋转可得一 ADE=1ACB=a,再用含有字母。，尸的式子表示出匚ADC与D D A F,利用三角形内角和即可倒出a，尸 的关系如图，过 A 作 AFDCD,由旋转可得，口ADEutDACBua,OCDODE,OOADC=a-90,由旋转可得，AC=AD,CAD=2p,DAF=p,ORtDADF 中，DAF+CADF=90,即 p+a
31、-90=90,a+p=180.故答案为：a+P=180.【点睛】本题的关键是做辅助线，用含有字母圆 尸 的式子表示出1ADC与二DAF14.（2018 上海奉贤区九年级二模）如图，将ABC的边A B绕着点A顺时针旋转a（0 90）得到A B ,边AC绕着点A逆时针旋转（0 /=-3 x,根据勾股定理列2 2方程即可得到结论.如图，UEF3AD,口/=口 必，GFE=EUA/F,G必与母国关于历对称,GFEDDBFE,GFE=nF1,4斯是等腰三角形，UAF=FMf作 DQUAB于点。，40。=口。=90。.4B1DC,6=90。，口四边形CQQ8是矩形，JCD=QB=2,QD=CB=6,口 1
32、0=10-2=8,在 Rtn/Z)。中，由勾股定理得=6.CD CA 3详解：如图所示，设 CD=3x,则 CE=4x,8E=12-4x.=-,DCE=QACB=90,ACB DCE,CE CB 4QQDEC=QABC,DAB2DE,日 口A B F 7 B F E.又/平 分 LS8C,DQABF=DCBF,QUEBF=3EFB,UEF=BE=2-4 x,由旋转可得。F=CD=3x.在 RtZLDCE 中，0 (3 x)2+(4 x)2=(3X+12-4x)2,解 得 折 2,X2=-3 (舍去)，DCZ=2x3=6.故答案为 6.点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及旋转的性
33、质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.17.（2018上海徐汇区中考模拟）在E1ABC中，OC=90,AC=3,BC=4（如图），将E2ACB绕点A 顺时针方向旋 转 得 ADE（点 C、B 的对应点分别为D、E）,点 D 恰好落在直线BE上和直线A C交于点F,则线段A F的长为.【答案】【解析】如图，DDACB绕点A 顺时针方向旋转得二ADE（点 C、B 的对应点分别为D、E）,OAD=AC=3,DE=CB=4,AB=AE,LJADF=aC=90o,BD=DE=4,设 D F=x,A F=y,A F D=n B F C,
34、F D A D D F C B,x y 3-=-=-3+y 4+x 44 y=3 x+1 2,4 x=3 y+9,.3y+9 4y=3x-+12,75 y =，775即线段AF的长为一.775故答案为3-.1 8.（2 0 1 9 上海市西南模范中学九年级二模）如图所示，边长为2的正方形A B C D 的顶点A、B在一个半径为2的圆上，顶点C、D在该圆内，将正方形A B C D 绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为.【答案中【解析】作辅助线，首先求出D，A B的大小，进而求出旋转的角度，利用弧长公式问题即可解决P 如图，分别连接OA、OB、0 D OC、OC；OOA=O
35、B=AB,OAB是等边三角形，OAB=60；同理可证：口OAD，=60。,DAB=120；DAB=90,BAB=120-90=30,由旋转变换的性质可知CACulBABuBO。；L四边形ABCD为正方形，且边长为2,ABC=900,AC=722+22-2A/2，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为:30乃x 25/2 _叵兀180故填：叵3点睛：本题主要考查了旋转的性质及其应用问题，解题的关键是作辅助线准确求出旋转角，判定滚动一周回到原位置时，点C运动的路径的轨迹.二、解答题19.(2021上海浦东新区九年级一模)四边形ABCD是菱形，BW90。，点E为边BC上一点，联结A E,过点E作
36、EFL3AE,EF与边CD交于点F,且EC=3CF.(1)如图1,当口8=90。时，求S.BE与S ECF的比值；(2)如图2,当点E是边BC的中点时，求COSB的值；(3)如图3,联结A F,当匚AFE=DB且CF=2时，求菱形的边长.图1图2图39 1【答案】(1)一;(2)；(3)1 7.4 5【解析】BF AB(1)先证明：B EA sf l C F E1，可得：=，结合：E C =3 C F,可得：AB=3BE,再设 CF=a,BE=b,CF CE3可得45=8。=人+3。,而4 3 =3。，建立方程：A +3 a =3。,可得：b=-a,再利用相似三角形的性质可得2答案.(2)延
37、长 相 交 于 G,过F作于，连接A R 先证明：口 A B E 也D G C E,可得:AB=CG，AE=G E,证明：AF=F G,设。二。，再设 OH=x,利用AF2-AH?=F2=Dp2 D 2求解 可得c o s。，从而可得答案；(3)如图，过E 作E G _ L D C 交。的延长线于G,延长C G 至“，使C G =G,证明：EH=EC=6,设DF=x,HG=GC=y,证明：ZAFE=NB=ND=NECH=NH,可得:EF vcocZAFE=c o sN”=工再证明：口 EEHS QAED,利用相似三角形的性质列方程组，解方程组可得AF 6答案.解：(1):四边形A B C D
38、是菱形，N 8 =9 0。，四边形A B C D 是正方形，NB=NC=9 0 ,ZBAE+ZBEA=90,Q EF AE,：.ZBEA+ZCEF=9Q,NBAE=NCEF,.DBEAOCFE,BE _ ABCFCEfBE _C FABCE-EC=3CF,/.AB=3BE,设 CF=a,BE=b,/.CE=3a,AB=BC=b+3 a,而 AB 3BE 3b,b+3a=3b,-3-22As-sA BC E92-%rz-29-4-7(2)延长A E,D C相交于G,过产作F H 1 A。于“，连接A RHA菱形 ABC。,AB/CD,DNBAE=NG,.E为BC的中点，:.BE=CE,ZAEB=
39、ZCEG,:DABEGCE（AAS）,AB=CG,AE=GE,/AE A.EF,AF=FG,设 C/=a,则 CE=BE=3a,AB=BC=DC=CG=AD=6a,：.FG=AF=la,DF=5a,设 DH=x,：.AF2-AH2=FH2=DF2-DH2,/.(7a)-(6a-x)=(5)x2,x=a,DH=a,由菱形ABC。可得：ZB=ZD,cosB=.5(3)如图，过E作EG_LOC交。C的延长线于G,延长CG至 ，使CG=HG,EC=EH,AH=ZECH,CF=2,CE=3CF,:.CE=EH=6,设 DF=x,HG=GC=y,则 DC=AD=x+2,cocZ.HHG yH-6；菱形AB
40、C。,NB=ND,ABCD,ZB=Z.ECH,ZAFE=NB,ZAFE=NB=ND=NECH=NH,EP ycocZ.AFE=-=cosZ/=-,AF 6.NAFH=ZAF E+ZEFH =Z D+ZD A F,：.ZEFH=ZDAF,.,FEH 气 AFD,EH HF=EFD F A D A F 6 _ 2y+2=y_x x+2 6孙=36xy=lOy+12x=15解得：I n A，y=2.4x=5经检验：一 是原方程组的解,y=2.4:.C D =x+2=n,即菱形ABC。的边长为：17.【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，菱形，正方形的性质，
41、相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解分式方程组，掌握以上知识是解题的关键.2 0.（2 0 2 1 上海青浦区九年级一模）在口 ABC中，Z C =9 0,A C =2,3 C =2g，点。为边AC的中点（如图），点尸、。分别是射线BC、B A上的动点，且B Q =哼BP，联结PQ、QD、DP.B（1）求证：P Q-L A B；（2）如 果 点 尸 在 线 段 上，当 P Q O是直角三角形时，求B P的长；（3）将 P Q。沿直线QP翻折，点。的 对 应 点 为 点 如 果 点O 位于DABC内，请直接写出8 P的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）百 或 竺 迫 二 亘；（3）亚B
42、P 递6 3 3【解析】（1）证明口8（）口 匚 出 人（：即可；（2）由P Q D 9 0,只需要讨论两类情况，当N D P Q=9 0 时,利用t anB =三=遮，求 出B=30。，B C 2 百 3Z D P C=30 ,计算 C P =-=V 3CD =6，根据 B P=B C-CP 求值;当 N P D Q=9 0 时，过 Q 作 Q E A Ct an 30 _Q E E D交 A C 于 E,贝i m Q E D=1 P D Q=N C=9 0,证明E Q D I CJ CD P,得 到=不，I 3设=f，过点Q作Q F B C于F,则四边形CE Q F是矩形，求出Q E =R
43、 C =2正 一，+/=26一一f,C D =1,4 4CP=2 6 t，DE=CE-C=迫f-1，代入比例式求出t的值;4(3)只需考虑BP的极限情况：当O 正好在BC上时，如图3,设BP=m,由/。=/5 =30求出CD=B DP=DP,列得。/+。7=。7+。/5=2 6一/+2(2 6 ，=0计算求值即可；另外一个极限情况时，如图4,当PQ经过点。时，求出PC=._C0=昱，即可得到8尸=述.解：(1)在tan 600 23口ABC中，ZC=90,AC=2,BC=2 5AB=dBC2+AC2=4,BC 2 也 V3-=-=-fAB 4 2口 BQ=RBP，BQ 6-=-,BP 2丝 监
44、BP ABnZQBP=ZCBA,.QBPQQUBAC,ZBQP=ZBCA=9Q,PQ1AB.R（2）.NPQD90。，所以只需要讨论两类情况,当NOPQ=90时，如图1,AC 2/3在 Rt ABC 中，tan B-.=，BC 2+3 B=30,N Q P8=90 N 5=60,NDPC=30,AC=2,点。为边A C 的中点,CD=1,口 CP=-=6CD=6tan 30:.BP=BC-CP=y/3f3-mj=y/3,5 G/.m=-3另外一个极限情况时，如图4,当P Q 经过点。时,NP=60,N 0C P =90,CD=1,口 B P H,5 6 D n 773综上：B P .33图 3
45、A【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的性质，矩形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键.21.（2021上海崇明区九年级一模）如图，RtjABC,NACB=90,A C =6,8 c =8,点。为斜边AB的中点，E D I A B,交边B C 于点E,点P 为射线A C 上的动点，点。为边B C 上的动点，且运动过程中始终保持P O L Q O.cEEA xA D Ba D B备用图(1)求证：Z X A D P D A E D Q；(2)设A P =X,B Q =y,求y关于关的函数解析式，并写出该函数的定义域；(3)连接P Q,交线段
46、E。于点尸，当口。尸为等腰三角形时，求线段A P的长.2 5 3(2 5、2 5 5【答案】(1)证明见解析；(2)y=-x 0 x ；(3)或一-4 4 1 3)6 3【解析】(1)根据：。，43,PDLQD得 Z A =N D E Q,Z A D P =N E D Q,即可得 A A D P 口 E O Q.E O E D E D(2)先根据相似三角形的性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出一上=t anB,求出A P A D B D3E Q =-x,再根据8 Q=8 -E Q,列出函数关系式，化简即可.4(3)先证?)/8 O Q,再分3种情况讨论，分别求出A P的长.解：(1)v P
47、 D L Q D,E D工A BZ A =Z D E Q,Z A D P =Z E D Q,A A D P 口 /E D Q.(2)v A A D P D A ：Z)2,殁=空AP AD又.点。为斜边A8的中点,DAD=BD,EQ ED EDAP AD BD又ED LAB在RtDBD E中tan小 段=空=里BD AD APAC DE 6又.tan8=-,由勾股定理得：8c=10BC BD 8：D为AB中点,80=5,DE=f由勾股定理得:425BE=4,/AP=xf3可得BQ=B E-E Q,25T3 x4y(250 x I 3(3)tanZFPD=-=tanB,DP AD BDZFPD=Z
48、B，又 匚 /P D F =NBDQ,P D FB O Q,POP为等腰三角形时，BOQ亦为等腰三角形.若 DQ=8Q,1 BD2_BQ=cosB55 J25 3 5-X4 4解得x=.若 BD=BQ,3=5,4 4解得x=?.3若。Q=BO,NB+ZDQB+ZBDQ=24 B+ZBDQ 180,此种情况舍去.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角函数，正确和熟练应用相似三角形的性质得到各线段之间的数量关系是解决本题的关键.322.(2020 上海虹口区九年级二模)如图 1,在梯形 ABCD 中，ADRBC,DABC=90,cosC=,DC=5,BC=6,以
49、点B 为圆心，BD为半径作圆弧，分别交边CD、BC于点E、F.(1)求 sinDBDC 的值；(2)联结B E,设点G 为射线DB上一动点，如果 ADG相似于DBEC,求 DG的长；(3)如图2,点 P、Q 分别为边AD、BC上动点，将扇形DBF沿着直线PQ折叠，折叠后的弧DF经过点B 与AB上的一点H(点D、F 分别对应点D，F),设 BH=x,B Q=y,求 y 关于x 的函数关系式(不需要写定义域).【答案】左苧尸嚼了【解析】(1)如图1 中，连接B E,过点D 作 DKHBC于 K,过点B 作 BJQCD于J.想办法求出BJ,BD即可解决问题.(2)分两种情形分别求解：当 ADGDDB
50、CE时.当匚A D G EC B 时，分别利用相似三角形的性质求解即可.(3)如图3 中，过点B 作 BJ PQ交)尸于 J,连接BJ,JH,J Q,过点J 作 JGUBH于 G,过点Q 作 QKL JH于K.由题意BQ=QJ=y,求出QK,K J,在 RtIQKJ中，利用勾股定理即可解决问题.(1)如图1 中，连接BE,过点D 作 DKE1BC于 K,过点B 作 BJDCD于 J.口 CK=3,B C=6,B K=C K=3,ADOBC,ABC=90,A=90 DK BC,A=CA BC=D D K B=90,四边形ABKD是矩形，A D=B K=3,DB=DC=5,DK=JC)2_C K