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1、2 0 2 1年7月中学生标准学术能力诊断性测试THUSSAT暨2 0 2 2届高三7月诊断性检测数学试题祝考试顺利(含答案)本试卷共1 5 0分,考 试 时 间1 2 0分钟。一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已 知i是虚数单位，复 数z i=1 2 i,贝 丘的共拆复数z的虚部为A.-i B.1 C.i D.-12.已知集合 A=x GR|l o g2 X 2 ,集合 B=x GR|G T b a B.b c a C.a b c D.c a b5.已知函数fn x +Lg=2.718 28为自然对数的底数)，若f(x)
2、的 零 点 为a,极小值为x e x 0)的焦点为F,已知B (一“，3 p),(一巳，y。)且y 0,且y 0,抛物线2 2E上一点A满 足A B B C,若线段A C的垂直平分线/过 点F,则 直 线/的斜率为A 在 B.上 垣 C.D.G3 3 38.如图，在棱长为a 的正方体A B C D-A B C。中，点 P 在侧面B B GC (包含边界)内运动，则下列结论正确的有直线B D 平面A GD二面角B,-C D-B 的大小为工2过三点P、A-D的正方体的截面面积的最大值为血/三棱锥B i A G D 的外接球半径为百aA.B.C.D.二 多项选择题：本题共4 小题，每小题5分，共 2
3、 0 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0 分。9.下列命题中不正确的是A.随机变量 XN(3,22),若 X =2T+3,则 D(T)=1B.已知随机变量4 服从正态分布N(2,62),P(4 4)=0.84,则 P(2 k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8281 9.（1 2 分）已知数列 a j 的前 n 项和为 Sn,a,=1,Sn+l=Sn+2 an+1,nG N*0（1）求证：数列E+1 是等比数列；一 2 数 列 二
4、一 卜 的 前 n 项和为L,nG N*,求证：T co s 5=+C =lac 2又.8（0,兀），.”二1.5 分(2)在A8Z中，由余弦定理得ZD?=4炉+8。2_ 24小8。-8$8，又：A D =-P，BD=:.AB2-A B-6=0 解得 A3=3,所以 d BC 的面积S =LaB.8as i n 8=L x 3 x 2 x =亚.10分2 2 2 218.(12 分)解析：(1)男生人数为：120 x 一=5 5,所以女生人数为120-55=65,11+13于是可完成2 x 2列联表，如下：了解不了解总计力生302555女生402565合计7 050120.3分根据列联表中的数
5、据，得到二的观测值：k 1=120*(30*25-25x 4。)。=您=99 2.7 06,55x 65x 50 x 7 0 1001所以没有9 0%的把握认为“精准脱贫政策了解与性别有关”.6分(2)根据分层抽样比例关系可知男生抽7 x三=3人，女生抽4人.7分依题可知J的可能取值为0,1,2,3,并且J服从超几何分布,P(D =胃一(斤=0,123),C：C：1 CC；12B PP(0)=-=-,尸(*)=*,P=2)=i f i =,p=3)=笛色.35-，C；35可得分布列为-r z-、c l,12,18,4 12可.子 导 E(&)=0 x F1 x +2 x 1-3 x 二 g01
6、23P1351235183543535 35 35 35 710分12分19.(12 分)解析：(1)=S“+2%+l,S“T-S”=2q,+1，4+1又”=1,;.q+l=2,.q+1 是首项为2,公比为2的等比数列(2)由(1)知%+1 =2-21=2,2 _ 2”_ _ J_ 1?“=(2 _ 4(2 1)=仃-2 J 1 .1111 1 12-1 22-1 22-1 23-1 2-1 2+1-1成立12分20.(12 分)解析：由题意，可以建立以/为原点，分别以赤，旅的方向为X轴，y轴，二 轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得 40,0,0),(1,0,0),C(l,2,0),0(0
7、,1,0),(0,0.2),0),则尸(1,2,占)(1)证明：依题意，方=(1.0.0)是平面，血的法向量,又 而=(02 h),可 得 而.万=0，又 因 为 直 线 平 面4D E,平面4DE(2)依题意，BD=(-1,1.0),5F=(0,2,/),设记=(x,y,r)为平面B D F的法向量,则in-BD=0_ _ _ _ _ 即m BF=0-X+y=02y+二=0不妨令y=i,可得帚=（u,-司,5=(1.0,-2),D=(0,l,-2)设E=（玉,八,二J为平面EBD的法向量,则由，EB-/L=0,-，得:ED 叫=0 x,-2z.=0 _ /*g=o取 =(2 2 1)，10分
8、 C-BDF F-BDC=ABDCCF=ix-x 2 x lx-=82112分3 2721.(12 分)解析:(1)当a=l时，/(x)=e -ln x,定义域为上卜0,r(x)=e-A2分x令 Mx)=/(x)=e*T-Jx:.hx)=X-11 八+0,.V M x）在（0,内）上单调递增,X/(l)=e-l=0.4 分,xe(O,l),Z r(x)0,广(x)0,/0,/(x)为增函数,./(x)增区间为(L+OO),减区间为(0,1).(2)当0 0时，/(x)=e、T _g J j,X X令g(x)=xeT,则g x)=(x+l)e i 0,.g(x)=xe、T 在(0,+oo)单增，
9、且g(x)(0,+8).因此，存在唯一的%0 满足.e =且当O v x v x。时，x e T-av O,即/(*)x。时，.v e T 0,即/(x)0.因此/(与)为/(x)在(O,+00)上的极小值，也是最小值.9 分下证：%岸。，即证e-ln.%N a-a lna,/.roex-1=a,:.eXal=9 x0-1 =h i -I n x0,%于是 e T-rt lnx0=-7(ln 2 -a x0-a-ana=a-ana,不 等 式 得 证.1 2 分2 2.(1 2 分)解析：(1)根据椭圆对称性，必过点4,B,又C 纵坐标为1,椭圆必不过。，所以过Z,B,O 三点，5=1,将o(
10、o.G),4(2.1)代入椭圆方程得:./+记=1 解得：=6 ,b=3.3 分 5 2所以。的方程为二+匕=1.4 分6 3(2)设M(和%),N(%V 2)，若直线M N与x 轴不垂直，设直线M N的方程为y=h+i,2 2 .代入二+2 1 =1 得(1 +2 标卜2+4船比+2 小 2-6 =0,由 A 0 得6 a 2 /+3 0,r*_ 曰 4A7 2 广 6 zrs 久/0,于是也的方程为y=H)T，所以直线M V过点尸.8分若直线M N与x轴垂直，可得N(x 1,-yJ,由 A M A N =0 得（七 一 2）（项 一2）-（力-1）（%+1）=0 ,又 空+支=1,可得3西2 _ 8即+4=0,6 329解得演=2 (舍去)，x i=3:,此时直线M N过点尸号,I1 0分令。为北的中点，即。;4 3,3若。与尸不重合，则由题设知A P是R t A W P的斜边，故=乎,若。与P重合则|。|二 万|/尸|综上,存在点，使得口。|=手故D点轨迹是以0为圆心，过1为半径的圆,3轨迹方程为：1+1 2分2 0 2 1 年 7 月中学生标准学术能力诊断性测试TH USSA T暨2 0 2 2 届高三7 月诊断性检测数学试题