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1、2021届高考数学高分冲刺必刷仿真密卷（七）（新高考地区）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.己知i为虚数单位，复数z=（2+i）（l+ai）,a e R,若z w R，则。=（）A.-B.C.2 D.22 22.已 知 向 量 坂满足忖=1,=（-2,1）,且卜一q=2,则/=（）A.-1 B.0 C.1 D.23.甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军“；对乙说：“你当然不会是最差的“，则该5
2、人可能的排名情况种数为（）A.18 B.36 C.54 D.644.在 A BC中，内角A、8、C所对的边分别为a、b、c,2y/3acosC-3bcosC=3ccosfi 则角C的大小 为（）5.周髀算经是我国古代的天文学和数学著作.其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气唇长损益相同（即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同）.二十四个节气及劈长变化如图所示，若冬至暮长一丈三尺五寸，夏至唇长一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至后的那个节气（小暑）皆 长 为（）粹长逐渐变小桂长逐渐变大A.五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸 D.四尺五寸6.若函数/（x）=（e1t）2
3、的大致图象如图所示，则（）A.m 0,0 0,/?1C./n 0,0/?!D./n 17.高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有，两条路线可走，路线穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分钟）服从正态分布N（5（）,1（X）；路线走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单位为分钟）服从正态分布N（6 0,1 6）,若住同一地方的甲、乙两人分别有7 0分钟与6 4分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（）A.、B.、C.、D.、2 28.P为双曲线C:一斗=1 （0,b 0）上一点，片,
4、鸟分别为其左、右焦点，。为坐标原点.a h若|。?|=匕，且si nN PK 6=3 si nN P耳工，则c的离心率为（）A.7 2 B.7 3 C.2 D.7 6二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知函数/（尤）=2屐布的以0%-2 8 5 2的+1（0 0,，0）,若 x）的最小正周期为小,且对任意的x e R,/（此 之/（%）恒成立，下列说法正确的有（）A.0)=2B.若天)=一工，则a=6C.若 ,1 =2,贝！。=正D.若g(%)=/(x)2 (x)|在 卜-手
5、 心-。上单调递减，则g0b且l na/nZ?0,下列不等式恒成立的是()A.I ogf l 2 l og&2 B.a na b nhC.2a*+l 2a+b D.l og,b Q1 1.己知定义在R上的奇函数f（x）在（-8,0 上单调递增，则“对于任意的x e （0,1 ,不等式/（ae +2 x）+/（x l nx-x 2）N 0恒成立”的充分不必要条件可以是（）A.-a 0eC.-1-4/Q V-1ye e1 2B-7-a 7D.a_L平面B.三棱锥P-B C D四个面都是直角三角形C.P。与 所 成 角 的 余 弦 值 为 走4D.过8 C的平面与P D交 于，则”出。面积的最小值
6、为 叵7三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分，其 中 16题第一空2 分，第二空3 分。1 3.已知数列 4为等比数列,若数列 1 0-可 也是等比数歹U,则数列 4的通项公式可以为（填一个即可）14 .已知函数/（x）=（x l）e）则 f（x）在点（1,0）处的切线方程为.15 .已知关于x的不等式af+H+ooms.ceR）的解集为X3X 的 外 接 球 的 表 面 积 是.四、解答题：本题共6小题，共 7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 .（本小题满分10分）如图，在平面四边形ABC。中，Z D CB=4 5 0-D BY AD，C D=2.（1）若
7、 B =2 迷，求 8DC的面积；（2）若c o s/A O C =-且，40 =2姮，求角A 的大小.5 918.（本小题满分12 分）b已知数列 4,、也 满足：4=；,%+/=1，（1）证明：万、，是等差数列，并求数列 2的通项公式；（2）设 S“=ata2+a2a3+a3a4+anan+t,求实数a 为何值时4 a S”B D 1 PA,A B =2 B C =2 C D =4.（1）证明：BZ）1平面PAD；（2）设平面以。0平面P 8C=/,平面ABCD=G,P A =P D =2.在线段PG上是否存在点M,使得二面角POC M的余弦值为Y5?若存在，求 出 丝 的 值；若不存在，
8、请说明理由.3P G20.（本小题满分12分）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质量指 数（Bo d y M a s s I nd e x ,缩写为创 ）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是B M I =体 重（单位:kg）身 高2（单位:n?）.中国成人的BMI数值标准为：8WZK 18.4为偏瘦：18.5W8WW23.9为正常；24K8WW27.9为偏胖；BM/228为肥胖.为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了 8名员工（编号18）的身高Mem）和体重y（kg）数据，并计算得到他们的BMI值（精确
9、到0.1）如下表：编号12345678身高（cm）164176165163170172168182体重（kg）607277547255BMI（近似值）22.323.228.320.323.523.725.516.6（1）现从这8名员工中选取2人进行复检，记抽取到BMI值为“正常”员工的人数为X，求X的分布列及数学期望.（2）某调查机构分析发现公司员工的身高x（cm）和体重y（kg）之间有较强的线性相关关系，在编号为5和6的体重数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为y=0.5 x+a,且根据回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg,计算得到的其他
10、数据如下:5=1 7 0,之 光/=88920.z=l求a的值及表格中8名员工体重的平均值5；在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63kg,身高数据无误.请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm的员工的体重.（附：对于一组数据（王,凹）、（,%）、（X，），其回归直线y=的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：b=Zx/一 x yi=ln cE2-2xi-nxi=4 一2=2 1.（本小题满分12分）在圆V +y 2=4上任取一点T,过点T作x轴的垂线段T D,。为垂足，点P为 线 段 的 中 点.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)斜率
11、为以攵0)且不过原点。的直线/交曲线C于A,B两点，线段4 8的中点为E,射线。E交曲线C于点例，交直线x =6于点M且|O M=|。心|。同，求点”(0,1)到直线/的距离d的最大值.22.(本小题满分1 2分)已知函数x)=a l n x+x 2 +i,其中aeR且a/()(1)求函数“X)的单调区间；(2)当时，不等式成立，求 的取值范围.2021届高考数学高分冲刺必刷仿真密卷(七)(新高考地区)数学全解全析1.B解：z =(2 +i)(l +a i)=2-a +(l +2 a)i,因为zwR，所以l +2 a =0,解得：c i =.22.C因为B =(2,1),所以W=J？7T=6，
12、将忖一q=2两边同时平方可得：_4=4,即 片+片 2 3石=4,同2+怀 2筋=4所以1 +5-2。=4，解得。加=1，3.C先看乙，在中间有一个名次中的一个，有C；种可能，然后是甲除第一名外剩下的3个名次中的一个，有C；,最后三人名次任意，有用种可能，共的C；C；A；=5 4种情况.故选：C.4.A因为 2G t 7 co s c-3 co s C =3 cco s B,所以 2退s i n A co s C-3 s i n B co s C =3 s i n C co s B所以 2G s i n A co s C =3 s i n(C+S)=3 s i n A,因为 A,C e(O,%
13、),所以s i n A w O,co s C =-,又C w(0,兀)T T所以C =26故选：A5.B解：设从夏至到冬至，每个节气冕长为知,即夏至时冕长为 =1 5,冬至时冕长为3 =1 3 5,由每个节气辱长损益相同可知，。，用-。“=常 数，所以 4 为等差数列，设公差为d,由题意知，。1 3 =+1 2J =1 5 +1 2J =1 3 5 ,解得 d=1 0,则/=4+=1 5 +1 0=25.故选B6.B令/(%)=。得 entx-n，即 如=I n ，解得 x=l n，m由图象知x=I n /?0,m当相0时，力 1,当机0时，()V V 1,故排除A D,当机0时.，易知y =
14、是减函数，当x f十8时，y -0,/(%)-n2,故排除 C7.B对于甲，若有7 0分钟可走，走第一条线路赶到的概率为尸(X 4 7 0)=7 0-5 01 0二，走第二条线路赶到的概率为P(X 7 0)=0J =(2.5),.-0(2)0(1),所以乙应走线路.故选：B.8.B由s i n N P E E=3 s i n/P K K ,以及正弦定理可得|尸制=3|尸闾,因为|P周-忸 闻=勿,所以|尸制=3%|P g|=a,因为|61=。，|。?|=匕，所以所以co s?。？-/+2 r 3 a在 中，co s?K 8 P2ax2ccos?OF,P-c化简可得c=&，所以。的离心率e =布
15、.a故选：B9.BCD因为 f(x)=2a s i n cox co s cox-2 co s2 cox+l=s i n 2a)x-co s 2cox=Ja2+1 s i n(2o x-(p)，a.1其中C OS 8=S i n(P =!-.因为f(x)的最小正周期为万，所以(y=l,故A错误.+1 +i因为对任意的x e R,.f(x)/(xo)恒成立，以/(%)是 的 最 小 值.若x0=-,贝i J 2x1 1-9 二-F2k7i(k G Z),(p=-2k7v(k G Z).6 I 6 J 2 6所以c o s-时，/(%)0,所以g(x)=-/(x).因为,tx)在，-季 面-上 单
16、 调 递 增，所以g(x)在卜(-,，X o -小 上单调递减.当X比0-,%-)时，/(X)0,所以g(x)=-f(x).因为/(X)在 。-,改 -?)上单调递减，所以g(x)在卜,)-多 题-上 单 调 递 增，所以而一日0有OvOvavl 或aZ?l，对于选项A,当O vJvavl或都有k)g 2 0,所以+1。+人,则2时+12“，选项C正确;1人对于选项D,因为ln a-ln b 0,所以log“b=-0,选 项D正确，na故选：CD.11.CD奇函数/(X)在(-8,0上单调递增，则在(0,y)上也单调递增，即/。)是R上的单增函数；f(aex+2x)+f(x n x-x2)0
17、f(aex+2x)-f(x lnx-x2)=f(x2-xln x),则 ae+2xNx2 xnx，XG(0,1,即。之 三 二 三 山U在xe(0,1上恒成立；ex令 g(x)x2-2 x-xn x则 g(x)(2x 2 In x l)e (x?-2x x In x)x-x+4x 3+(x-1)In x(1-x)(x-3-ln x),xe(O,l记(x)=x-ln x-3,(x)=l-4 0恒成立，即(x)单减,又 (不)=0,/?(1)=-2 0,xe(x0,l,h(x)0,g(x)单 增,XG(X0,1,g(x)0,g(x)单减,因此 g(x)4g(%)=由 /In%_ 3=0 n%-In
18、/=3,/=代入得,、/、3x0-2x0 1g(x)x Ti l n x在(0,1上恒成立，则a 2 g(x0)=二,e e根据充分不必要条件的定义可以判断c、D正确，A、B错误；12.ABDBCD 中,C=1,BC=2,ZA=60,由余弦定理可得BD=B 故BO?+CD2=BC2，所以 5。_LC。，因为平面PBD _L平 面 且 平 面PBOn平面BCD=BD,所以C0_L平面PBD,C D S D；同理06,平面C8D,因为CO u平面PCD,所以平面PCD _L平面BPD,A,B正确；以D为原点、,建立如图所示的空间直角坐标系，则6(班,0,0),C(0,l,0),因 为 丽=(3 0
19、,1),BC=(-AI,O),/-BCD P 3 a所以cos 伊 c OP)=B可加广即 P D与 8 C 所成角的余弦值为t ,C 错误；因为“在线段P O上，设M(、&,0,4),则 砺=(出 一 石 ,0,-4，所以点M 到 B C 的距离d =当a=3 时，d取得最小值立I,此时 M 6 C 面积取得最小值，8。*亘=叵，D正确.7 7 2 7 713.4=-1 0(答案不唯一)取。“=一10,则 也4一 10-10-丹 加,+1所以，数列卜0 -4 和 4,都是等比数列.故答案为：%=-1 0”(答案不唯一).14.e x-y-e=0因为r(x)=_ x e)所 以/(l)=e,所
20、以/(x)在点(1,0)处的切线方程为y-0 =e(x-l),即e x-y-e=0.故答案为：e x-y-e=015.44,+oo)-=3+4=7,由不等式解集知。0，由根与系数的关系知 =3x4=12,.b,=-r7 a,c 1102。,则n-c-2-+-5=-I-4-4-t-z-2-+-5=24。H-5-N、2J./（,24。）、x-5-=4人5/51,a+b-6a-6a V -6。当且仅当 24。=工，即 一 正 时 取 等 号.一 6a 12故答案为：4上,+00).解：取 A B 1中点P,连接PG,P E,则 PG是 AgAO 的中位线，所以PG=g AO,尸 G/A。,又因为 E
21、 为 B C 中点，A D =BC,A D/B C,所以 PG=E C，P G II E C,则四边形PECG为平行四边形，所以CG=PE=712+22=75；因为，F为 AD的中点，”为 A E的中点，所以HF为中位线，所以=)ED=1-2?+2?=应,2 2由AED为直角三角形，所以4。中点F为AAED的外接圆的圆心，且 AE=2，设三棱锥B.-A E D的外接球的球心为0,由ABIH/7为正三角形，所以B1F=H F =A F =2,所以球心。在平面A ED下方，且OE_LA),所以。42=A F2+O F2,设三棱锥4 -A E D的外接球的半径为R,则 R2=4+0 产.连接用。，在
22、ABQF中，由/8 7 =6 0。得/B O =150,在耳。尸中有余弦定理得B 02 B,F2+O F2-2 BF x O F xcosZB.FO,即/?2=2+0/22x 忘 x O F x j 3 2OF 由 解 得 二，I 3所以三棱锥g-A：O的外接球的表面积是M R?=?故答案为：小；冗.317.解：（1）在ABOC中，由余弦定理可知：立=4+叱-22 4BCBC=4拒 或-2 6(舍)S nne=2 CD-BC-sin Z.DCB=4(2)由己知cos/A0C=且，5即 cos(ZBDC+90)=-sin NBDC5sin NBDC=,cos NBDC=也5 5又 sin ZDB
23、C=sin(l 35-ZD/?C)=cos ZDBC+sin NDBC=2 2 10在三角形8DC中，由正弦定理知:DCDBsin ZDBC-sin ZDCB代入数据得：OB=2叵3在 R s A D B 中，t anZDA B =73,.-.Z A =6 0.A D18.(i)b一=_L.M (1-a.)(l +%)2(2 也)2-b1 0-1,.=-1+,2 也%1 b,-b-l-/.数 列 丁 二 是以-4为首项，-1为公差的等差数列.也 T标一(一 1)-3,.心=一+=鬻.可=j1n+3.S“=4 4+4%+44+11 1 1 1 1 n-P-p -=-=-4x 5 5x 6 (+3
24、)(+4)4 +4 4(+4)4 aSn-bnan +4n+2(t z-l)n2+(3a-6)8n +3(+3)(+4)由条件可知(。-1)1+(3。-6)一8 V o恒成立即可满足条件，设/()=(。一I)/+3(。一2)一8,当0=1 时，/()=3一80恒成立，当时，由二次函数的性质知不可能成立.当。1时，对称轴一万7 7=一5(/一nJ 0，/()在口，+8)为单调递减函数,/(l)=(a 1)+(3“-6)8=4a 150,；.。1 时4as“久恒成立.综 上 知:a W 1时，4 asl t 久恒成立.19.(1)在直角梯形A B C D中，易知8 0 =2J 5，A D=2近Df
25、ic+D B2=A B2D AY D BV DB P A 且 Q 4 c D 4 =A平面(2)延长AO与6。交于点G,连结PG取AO的中点。，联结P。，因为Q 4=P O,易证尸。，面4 8。，建立如图所示的空间直角坐标系，假设存在点M符合题意，且 而 =2的(04/141)V P(0,0,y/2),D(-近,0,0),C(-20，点,0),G(-3夜,0,0)DC=(-,7 2,0),DP=(72,0,72)设面D P C的法向量=(%,y,z)n-D M =6 x+及z=0n-D C=-0 x+y=0令 x=1,则 y=1,z=-l1)D M =D P +P M =DP+A.PG饼f=(
26、-3叵入息 6-g)同理可得面D C M的法向量：=(-1,2-1.1-32)COS=A=3故存在满足条件的点，且P且M=上1;P G 3|52 3|瓜胴 73.71U2-10A+3 320.（1）8名员工中BMI值为正常”员工有5人，记抽取到BMI值为正常员工的人数为X,则X的可能取值有0、1、2,15C2C(5则P(x=o)=6 ,P(X=1)=4=R p(x =2)=半=3,，亡 28 7 C；28 V 7 Cl 14故X的分布列为:X012p32815285143 15 5 35则七(*)=0乂一+1、上 +2乂一=一28 28 14 2854(2)调查员由线性回归方程y=0.5x+a
27、预估一名身高为180cm的员工的体重为71kg,由此可计算a=71 180 x0.5=-1 9,故了=+4=0.5x170-19=66；(2)由知更正前的数据工=170，5=67.8 _E X -8-vy 8(8_、由人=0.5=-得=2x 七 丫-8xy=2x(89920 8x170 x66)=320,X,2-8X T J)/=1由f 七的此包一 _ 1 66x8+8更正后的数据%=%=70,y=-=67,88 8 8E x；y；=Z /x 8=Z X/+182 X 8,i=i i=i/=!8x-y=8x-y=8x(y+l)=8xy+8xl70，8 一-Z X 乂-8xy8-，2之 吊-8x
28、/=1 x,.y,.+182x8J-(8xy二2-i=l+8x170960.5+=0.5+0.3=0.8,320b故a=3一B：=6 7-0.8X170=69更正后该组数据的线性回归方程为y=0.8 x-6 9，因此，预估一名身高为1 8 0 c m的员工的体重y=0.8 x1 8 0 6 9 =7 5(炮).2 1.(1)设点尸的坐标为(x,y),点T的坐标为(七,%),则x=%,y-+=4且X o=x,%=2 yx2+4y2=42动点P的轨迹C的方程为工+y2 =14(2)设直线/:y=A x+相(2 0,m 0时，/(x)o,/(x)在(0,+8)上单调递增，此时/(X)的增区间为(0,
29、+8)；当a 0时，令/(力=0,解得x=-J-2-a（x.=-0-2-a-苦仝去土）,、22则尤x e时，r(x)0时,“X)的增区间为(0,+8)；(2)首先，x=l时不等式成立，由/(1)4!一2,得a41元2只需证当。a 时，/(x)-+2工,0成立,即证不等式二-m小匚-I n x.O成立,a a令，=一,则 之4a设g（r）=xv2-（x+l）2r-lnx,对称轴?=I 1 I L,2，则 g 2 g（4）=16x2 4（x+l）-Inxi己（x）=16x2-4（尤+1）-Inx则 l（x）=32x 8（x+l）=24x 8-L 2 4 x l 8 一 卜 0，(x)在口，+8)上单调递增，且 h(1)=0,故/z(x 0,于是g)0 成立.21