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1、第1课时 抛物线的简单几何性质 人教A版（2019）选择性必修第一册 (3227)1. 对抛物线下列说法正确的是（）A.开口向上，焦点坐标为B.开口向上，焦点坐标为C.开口向右，焦点坐标为D.开口向右，焦点坐标为知识点：抛物线的标准方程抛物线的顶点、焦点、准线答案：B解析：抛物线的方程即为故该抛物线的开口向上，焦点坐标为.故选.2. 抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为（）A.B.C.D.或知识点：抛物线的标准方程答案：B解析：抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，且点在该抛物线上可设抛物线的方程为将代入得 解得抛物线的方程为故选.3. 已知点在抛物线上，若点到抛物线的焦点
2、的距离等于则焦点到抛物线准线的距离等于（）A.B.C.D.知识点：抛物线的标准方程抛物线的顶点、焦点、准线答案：C解析：抛物线的准线方程为因为为抛物线上的点，所以点到焦点的距离等于它到准线的距离，所以解得即焦点到抛物线准线的距离等于故选.4. 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，若点在抛物线准线上的射影分别为，则（）A.B.C.D.知识点：抛物线的定义答案：C解析：不妨设抛物线方程为又.5. 以轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为若抛物线的顶点在坐标原点，则抛物线的方程可能为（）A.B.C.D.知识点：抛物线的标准方程抛物线的焦点弦问题答案：C ； D解析：设抛物线的方程为
3、将代入得 抛物线的方程为.故选.6. 已知抛物线的焦点为其准线与双曲线相交于两点.若为等边三角形，则.知识点：抛物线的顶点、焦点、准线双曲线的标准方程答案：解析：易知抛物线的准线方程为.将代入可得不妨设 则.由为等边三角形，得解得.7. 设抛物线的焦点为准线为为抛物线上一点为垂足如果直线的斜率为那么（）A.B.C.D.知识点：抛物线的标准方程直线的斜率答案：B解析：由抛物线的方程为可得准线：焦点设点 则 解得 点的纵坐标为. 由得 点的坐标为 故选.8. 已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为（）A.B.C.D.知识点：抛物线的顶点、焦点、准线抛物线的定义答案：C
4、解析：设，由抛物线的定义知，所以，故线段的中点到轴的距离为故选9. 方程为和的两条曲线在同一坐标系中可以是（）A.B.C.D.知识点：椭圆的标准方程函数图象的识别抛物线的标准方程双曲线的标准方程答案：B解析：方程可化为. 若则方程表示开口向下的抛物线，表示椭圆； 若则方程表示开口向上的抛物线，表示双曲线，故只有符合题意，故选.10. 双曲线： 的渐近线与抛物线：相交于三点，其中为坐标原点，若的垂心为的焦点，则（）A.B.C.D.知识点：双曲线的渐近线三角形的“四心”抛物线的顶点、焦点、准线答案：C解析：不妨设：则由可得 同理.设的焦点为易知 由为的垂心可知即所以 可得故选.11. 已知抛物线：
5、的焦点为与抛物线在第一象限的交点为且则（）A.B.C.D.知识点：抛物线的标准方程抛物线的定义答案：D解析：由得 又可得从而故选.12. 已知过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，且则直线的方程为（）A.B.C.D.知识点：抛物线的定义抛物线的焦点弦问题答案：B解析：作出抛物线的准线过点作与准线垂直，垂足为过点作与准线垂直，垂足为过点作交于点(图略).因为且所以可设则可得则故直线的斜率为又因为抛物线的焦点为所以直线的方程为.13. 已知抛物线：的焦点为准线与轴的交点为抛物线上异于点的任意点在直线上的射影为点的外角平分线交轴于点过点作交的延长线于点过点作交线段于点则（）A.B.C.D.知识点：
6、抛物线的标准方程抛物线的顶点、焦点、准线抛物线的定义答案：A ； B ； D解析：由抛物线的定义可知故正确； 易知是的平分线， 故正确； 若由是的外角平分线得 从而有于是有这样就有 则为等边三角形， 但这只在特殊位置才能实现，故错误；如图，连接由知又四边形是平行四边形， 显然又 故正确故选.14. 抛物线上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为.知识点：抛物线的顶点、焦点、准线抛物线的标准方程抛物线的定义答案：解析：设该点的坐标为则该点到准线的距离为到顶点的距离为由题意有解得则该点的坐标为.15. 若抛物线开口向上，顶点在原点为焦点为准线与轴的交点为抛物线上一点，且求此抛物线的标准方程.知识点：抛
7、物线的标准方程抛物线的顶点、焦点、准线答案：:设所求抛物线的标准方程为设由题意知.代入中，得解得或.所求抛物线的标准方程为或.解析：略16. 设是抛物线上的一个动点为抛物线的焦点.(1) 若点到直线的距离为，求的最小值;(2) 若，求的最小值.知识点：抛物线的顶点、焦点、准线抛物线的定义抛物线的其他性质圆锥曲线的最值（范围）问题答案：(1) 依题意得，抛物线的焦点为，准线方程为.由抛物线的定义知，于是问题转化为求的最小值.连接，交抛物线于点，此时取得最小值，最小值为.(2) 把点的横坐标代入抛物线方程，得，因为，所以点在抛物线内部.过点作垂直准线于点，交抛物线于点，则由抛物线的定义知，则即的最
8、小值为.解析：(1) 略(2) 略17. 已知直线，抛物线上的一动点到直线与到轴距离之和的最小值为，点到直线距离的最小值为.知识点：点到直线的距离抛物线的定义直线与抛物线的综合应用答案：； 解析：设动点到直线的距离为到准线的距离为到轴的距离为.设抛物线的焦点为由抛物线的方程可知准线方程为则 因此 其中 的最小值为焦点到直线的距离，即 所以的最小值为. 设平行于直线且与抛物线：相切的直线方程为 由消去得 因为直线与抛物线：相切， 所以解得 因此该直线的方程为 所以两条直线之间的距离为即动点到直线距离的最小值为.18. 在平面直角坐标系中，已知圆：动圆与直线：相切且与圆外切.(1) 记圆心的轨迹为曲线求曲线的方程；(2) 已知曲线上一点满足求的大小.知识点：两点间的斜率公式两点间的距离抛物线的标准方程抛物线的定义答案：(1) 由题意可知，点到点的距离等于点到定直线的距离，根据抛物线的定义可知，曲线是以为焦点为准线的抛物线，故曲线的方程为.(2) 设由得又解得故所以故.解析：(1) 略(2) 略