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1、新人教新人教A版版 选择性必修选择性必修 一一3.3.2抛物线的简单几何性质第1课时第三章圆锥曲线的方程学习目标学习目标：1.掌握抛物线的简单几何性质.2.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同.3.掌握直线与抛物线位置关系的判断。问题导学探究1.范围抛物线y2=2px(p0)在y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标(x,y)的横坐标满足不等式x 0；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸抛物线是无界曲线概念形成2.对称性观察图象，不难发现，抛物线y2=2px(p0)关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛抛物物线线的的轴轴抛物线只有
2、一条对称轴 3.顶点抛物线和它轴的交点叫做抛物线的顶点顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点(0,0)4.离心率抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率.用e 表示，e=1探究抛物线四种形式的标准方程及其性质 抛物线的几何性质标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)焦点坐标准线方程顶点坐标O(0,0)离心率e=11.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,其共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的;(
3、4)焦点到准线的距离均为p.其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为2py,左端为x2;(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.归纳总结1.判断(1)抛物线关于顶点对称.()(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.()小试牛刀答案:(1)(2)(3)2.思考：怎样根据抛物线
4、的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?解析:一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向.如果y是一次项,负时向下,正时向上.如果x是一次项,负时向左,正时向右.3.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y解析:设抛物线方程为y2=2px(p0)或y2=-2px(p0),依题意得x=,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,2|y|=2p=8,p=4.抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.答案
5、:C问题思考(1)掌握抛物线的性质,重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”,它们分别指的是什么?(2)抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些?提示:“两点”是指抛物线的焦点和顶点;“两线”是指抛物线的准线和对称轴;“一率”是指离心率1;“一方向”是指抛物线的开口方向.提示:抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.问题思考典例解析跟踪训练1.设抛物线y=mx2(m0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程.跟踪训练故所求抛物线的标准方程为y=8x2.错因分析本题在解答过程
6、中容易出现两个错误:一是不能正确理解抛物线标准方程的形式,错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程,得到准线方程为y=-;二是得到准线方程后,只分析其中的一种情况,而忽略了另一种情况,只得到了一个解.例4.斜率为1 的直线经过抛物线y2=4x 的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长典例解析直线和抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离将直线方程和抛物线方程联立，消元转化为关于x（或y 的）方程组：Ax2+Bx+C=0（或Ay2+By+C=0），其中A，B，C 为常数.若A=0，则直线和抛物线相交（直线与抛物线的对称轴平行），有一个交点；若A 0，计算判别式B2 4AC：若0，则直线和抛物线相交（有两个交点）；若=0，则直线和抛物线相切（有一个交点）；若0，则直线和抛物线相离（无交点）.归纳总结跟踪训练当堂达标4.已知抛物线y2=8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是OAB的重心,求OAB的周长.解:(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x0.(2)如图所示,由|OA|=|OB|可知ABx轴,垂足为点M,又焦点F是OAB的重心,31课堂小结课堂小结课堂小结：课堂小结：