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1、2017 年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（一）一、选择题：每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求。1.当x 0 时，下列变量是无穷小量的为（）A. 1x2B. 2x2 xC. sin xD. ln(x + e)2. lim1+x0 x = （）A. eB. e-1C. e2D. e-23.若函数 f (x) = 21 e- x , x 0a, x = 0，在x=0 处连续，则常数a=（）A.0B. 1C.1D.224. 设函数 f (x) = x ln x ，则 f (e) = （） A.-1B.0C.1D.25. 函数 f (x) =
2、x3 - 3x 的极小值为（）A.-2B.0C.2D.46. 方程x2 + 2 y2 + 3z 2 = 1表示的二次曲面是（）A.圆锥面B.旋转抛物面C.球面D.椭球面7.若 1 (2x + k )dx = 1，则常数k = （）0A.-2B.-1C.0D.18. 设函数 f (x) 在a, b上连续且 f (x) 0 ，则（）A. b f (x)dx 0aB. b f (x)dx 0aC. b f (x)dx = 0aD. b f (x)dx 的符号无法确定a9. 空间直线 x -1 = y + 2 = z - 3 的方向向量可取为（）3-12A.（3，-1,2）B.（1，-2,3）C.（1
3、,1，-1）D.（1，-1，-1） (-1)nn + a10. 一直a 为常数，则幂级数2 （）n=1A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与a 的取值有关二、填空题：1120 小题，每小题 4 分，共 40 分。将答案填写在答题卡相应题号后。11. limx - 2=x2 sin(x - 2)12. 曲线 y =x +1 的水平渐进方程为2x +113.若函数 f (x) 满足 f (1) = 2 ，则lim f (x)- f (1) = x1x2 -114.设函数 f (x) = x - 1 ，则 f (x) =x15.16.pp2 (sin x + cos x)dx = -2+1dx
4、 =0 1+ x217. 一直曲线 y = x2 + x - 2 的切线l 斜率为 3，则l 的方程为 18. 设二元函数z = ln(x2 + y)，则z =x19. 设 f (x) 为连续函数，则 x f (t )dt = 0n20. 幂级数 x 的收敛半径为 n=0 3n三、解答题：2128 题，共 70 分，接答应写出推理、演算步骤21. 求limx0ex - sin x -1x2x = 1+ t 222. 设 y = 1+ t 3，求 dydx23. 已知sin x 是 f (x) 的一个原函数，求 xf (x)dxx24. 计算 4 1dx0 1+25. 设二元函数z =2 2 +
5、-+ ，求z2 zx yxy 1及xxy26. 计算二重积分Dx2 + y2 dxdy ，其中区域D = (x, y) x2 + y2 427. 求微分方程 y dy = x2 的通解dx28. 用铁皮做一个容积为 V 的圆柱形有盖桶，证明当圆柱的高等于底面直径时，所使用的铁皮面积最小2017 年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（一）试题答案解析1. 【答案】C【解析】limsin x = sin 0 = 0x02. 【答案】C【解析】lim1+x0 2 xx lim1+=x0 x 22 2x = e23. 【答案】B【解析】因为函数 f (x) 在x = 0 处连续，则lim f
6、(x) =lim 1e- x = a =f (0) = 14. 【答案】Dx0x0 22【解析】因为 f (x) = ln x + x(ln x) = ln x +1，所以 f (e) = ln e +1 = 25. 【答案】A1【解析】因为 f (x) = 3x2 - 3 ，令 f (x) = 0 ，得驻点x= -1，x2= 1，又 f (x) = 6xf (-1) = -6 0 ，所以 f (x) 在x2 = 1处取得极小值，且极小值f (1) = 1- 3 = -26. 【答案】D【解析】可将原方程化为x2 +y + z 221123= 1 ，所以原方程表示的是椭球面。7. 【答案】C【
7、解析】(2x + k )dx = (x2 + kx)1 =1+ k = 1，所以k = 01008. 【答案】A【解析】若在区间a, b上 f (x) 0 ，则定积分 b f (x)dx 的值为由曲线ay = f (x) ，直线x = a ， x = b ， y = 0 所围成图形的面积，所以 b f (x)dx 0a9. 【答案】A【解析】因为直线方程为 x -1 = y + 2 = z - 3 ，所以其方向向量为（3，-1,2）10. 【答案】B3-121n + a2n1()n 1n + an + a【解析】n 时，un = (-1)2 0 。 unn=1= -1n=1= 2 ，n=1(-
8、1)nn + a211 1因为 n + a2 n ，而 n 发散，所以发散。由莱布尼茨判别法n=1 1 1n=1(-1)nn=1 n + a2()n知，vn =n + a2 vn+1 =n +1+ a，且lim v = 0 ，则2nn-1n=1vn 收敛。故条件收敛。11. 【答案】1【解析】limx - 2=1= 1x2 sin(x - 2)lim sin(x - 2)12. 【答案】 y = 12x2x - 21+ 1【解析】limx +1= limx = 1x 2x +113. 【答案】1x 2 + 12x【解析】 f (1) = lim f (x)- f (1) = 2 。x1x -1
9、lim f (x)- f (1) = lim f (x)- f (1) 1 = lim f (x)- f (1) lim 1 = 2 1 = 1x1x2 -1x1 x -1x +1x1x -1x1 x +1214. 【答案】1+ 1x211 1【解析】因为 f (x) = x -， f (x) = x - xx= 1+x215. 【答案】2ppppp【解析】 2 (sin x + cos x)dx = 2 sin xdx + 2 cos xdx = 0 + 2 2 cos xdx = 2 sin x 2 = 2-p216. 【答案】p2-p2-p002+【解析】1dx = arctan x +
10、 = p0 1+ x20 217. 【答案】3x - y - 3 = 0【解析】曲线上某一点的切线斜率为k = y = 2x +1，因为该切线的斜率为 3，则k = 2x +1 = 3 ， x = 1 ， y x=1 = 0 ，即切线过点（1,0），所求切线为 y = 3(x -1) ，即3x - y - 3 = 018. 【答案】2x x2 + yz(x2 )2x【解析】z = ln(x2 + y)，=x19. 【答案】 f (x)x2 + y =x2 + y【解析】 x f (t )dt =f (x) 020. 【答案】3n【解析】r= lim an+1= lim 3= 1 ，故幂级数 x
11、的收敛半径R = 1 = 3nn ann 3n+13n=0 3nr21. 【答案】limx0ex - sin x -1x2dy= limx0ex - cos x2x= limx0ex + sin x = 1 2222. 【答案】 dy = dt= 3t 2 = 3dxdxdtt2t223. 【答案】因为sinx 是 f (x) 的一个原函数，所以 xf (x)dx = xf (x)- f (x)dx = x f (x)- sin x + Cx24. 【答案】设= t ，则x = t 2 , dx = 2tdt,0 t 22 1dx = 2 2t dtx0 1+0 1+ t= 22 1- 1 d
12、t0 1+ t = 2t 2 - ln(1+ t ) 2 00= 2 (2 - ln 3)= 4 - 2 ln 325. 【答案】因为z = x2 y2 + x - y +1，所以z = 2x2 y -1yz = 2xy2 +1x2 zxy= 4xy26.【答案】D 可表示为0 q 2p,0 r 2x2 + y2 dxdy =r rdrdq=2pdq 2 r 2 dr = 2p 1 r 2 2 = 16pDD27. 【答案】 y dy = x2dxydy = x2 dx00303两边同时积分。 1 y2 = 1 x2 + C23113y2 = 2x2 + C即 y2 = 2 x2 + C328. 【答案】设圆柱形的底面半径为r，高为h，则V = pr 2 h所用铁皮面积S = 2pr 2 + 2prh ，令 dS = 4pr - 2ph = 0 dr2r=hd 2 S =dr 24p 0于是由实际问题得，S 存在最小值，即当当圆柱的高等于底面直径时，所使用的铁皮面积最小