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1、人教版(2023版)初中数学八年级上册目录点击目录跳转至对应课程11.1.3 三角形的稳定性11.1.1 三角形的边11.1.2 三角形的高、中线与角平分线11.2.1 三角形的内角12.1 全等三角形11.2.2 三角形的外角11.3.1 多边形11.3.2 多边形的内角和12.2.1利用“边边边”判定三角形全等12.2.2利用“边角边”判定三角形全等12.3.2角的平分线的性质(2)12.2.3利用“角边角”“角角边”判定三角形全等12.2.3利用“斜边、直角边”判定直角三角形全等12.3.1角的平分线的性质(1)13.1.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质13.3.2 等腰三
2、角形的判定13.2.1画轴对称图形13.2.2用坐标表示轴对称13.3.1等腰三角形的性质13.3.3 等边三角形13.4 课题学习 最短路径问题14.1.1 同底数幂的乘法14.1.3 积的乘方14.1.2 幂的乘方14.1.4 整式的乘法14.1.5 同底数幂的除法14.1.6 整式的除法14.2.2 完全平方公式14.2.1 平方差公式14.3.1 提公因式法14.3.2 公式法15.1.1 从分数到分式15.1.2 分式的基本性质15.2.1 分式的乘与除15.2.1 分式的乘除混合运算及乘方15.2.2 分式的加减15.2.3 整数指数幂15.3.1 分式方程15.3.2 分式方程的
3、应用11.1.1 三角形的边返回首页人教版(2023版)初中数学八年级上册学前温故新课早知1.线段有个端点,不向任何一方延伸,可以其长度.2.角:有的两条射线所构成的图形.两度量公共端点学前温故新课早知1.由不在同一条直线上的三条线段相接所组成的图形叫做三角形.如图的三角形记作,这个三角形的边是线段,三角形的顶点是点,是相邻两边组成的角,叫做三角形的内角,简称三角形的角.首尾顺次DEFDE,EF,DFD,E,FD,E,F学前温故新课早知2.如图,图中三角形的个数为()A.1B.2C.3D.43.三角形按三个内角的大小可以分为.三角形按边的相等关系可以分为和等腰三角形,而等腰三角形又分为底边和腰
4、不相等的等腰三角形和.C题图中的三角形有ABC,ABD,ADC.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边都不相等的三角形等边三角形学前温故新课早知4.给出下列说法:等边三角形是等腰三角形;三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形;三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确说法的个数为()A.1B.2C.3D.05.三角形两边的和第三边,三角形两边的差第三边.B正确.大于小于1.三角形的概念【例1】观察图形,回答问题.(1)图中共有多少个三角形?(2)写出其中以EC为边的三角形.(3)若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”,则以B为公
5、共角的“共角三角形”有哪些?解:(1)图中共有5个三角形.(2)ACE,DCE,BCE.(3)DBE与CBE,CBA与CBE,DBE与CBA.2.三角形三边的关系【例2】已知一个等腰三角形的两边长分别为5,6,求这个等腰三角形的周长.分析因为等腰三角形的两腰相等,所以它的三边长可能是5,5,6或6,6,5.于是,本题要分情况进行讨论.解:当长为5的边是腰时,三角形的三边长是5,5,6.此时5+56,符合三角形的三边关系.所以这个等腰三角形的周长是5+5+6=16.当长为6的边是腰时,三角形的三边长是6,6,5.此时5+66,符合三角形的三边关系.所以这个等腰三角形的周长是5+6+6=17.因此
6、,这个等腰三角形的周长是16或17.1234561.下列长度的三条线段,不能组成三角形的是().A.2,5,1B.4,9,6C.15,20,8D.9,15,8答案答案关闭A1234562.若一个三角形的两边长分别为3cm,6cm,则它的第三边的长可能是()A.2cmB.3cmC.6cmD.9cm答案解析解析关闭设三角形的第三边的长为x cm,则6-3x6+3,即3xS2B.S1B.分析BAC,DCE分别是ACD,BCD的一个外角,根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角进行证明.证明BAC是ACD的一个外角,BACACD.DCE是BCD的一个外角,DCEB.又CD平分ACE,ACD=DCE
7、,BACACD=DCEB,即BACB.12345671.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180,那么与这个外角相邻的内角的度数为().A.30B.60 C.90D.120答案解析解析关闭答案解析关闭12345672.若三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是().A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.无法确定答案答案关闭C12345673.将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则的大小为()A.85B.75C.65D.60答案答案关闭B12345674.如图,已知=125,1=50,则2的度数是.答案解析解析关闭因为为三角形的外角,所以=1+2,所以2=-1=
8、125-50=75.所以=180-2=180-75=105.答案解析关闭10512345675.如图,同一平面内的直线a,b分别经过线段OK的两个端点(其他数据如图),则a,b相交所成的锐角的度数是.答案解析解析关闭假设a,b相交所成点P(图略),则100的角是OKP的一个外角,所以a,b相交所成的锐角的度数是100-70=30.答案解析关闭3012345676.如图,用“”把1,2,3,4连接起来:.答案解析解析关闭31243=1+DCE,1=EBD+2,2=4+ABE,3124.答案解析关闭312412345677.如图,在ABC中,A=60,BD,CE分别是边AC,AB上的高,H是BD与
9、CE的交点,求BHC的度数.答案答案关闭BD,CE分别是ABC的边AC,AB上的高,BEH=ADB=90.又A=60,ABH=30.由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,知BHC=ABH+BEH,即BHC=30+90=120.11.3.1 多边形返回首页人教版(2023版)初中数学八年级上册学前温故新课早知由不在同一条直线上的三条线段相接所组成的图形叫做三角形.首尾顺次学前温故新课早知1.在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做;多边形按组成它的分成三角形、四边形、五边形是最简单的多边形.如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形就叫做.多边形线段的条数三角形n边形学前温
10、故新课早知2.多边形相邻两边组成的角叫做它的,如图,六边形ABCDEF的内角分别是;多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的,如图,是六边形ABCDEF的一个外角;连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的,如图,线段是六边形ABCDEF的一条对角线.内角FAB,B,BCD,CDE,E,F外角EDG对角线AC学前温故新课早知3.如图,从下面图形的其中一个顶点出发作对角线.学前温故新课早知4.画出四边形ABCD的任何一条边(例如CD)所在的直线,整个四边形都在这条直线的同一侧,这样的四边形叫做.5.下列图形不是凸多边形的是().6.各个角都,各条边都的多边形叫做正多边形.凸四边形D相
11、等相等1.多边形的概念【例1】(1)在如图所示的图形中,属于多边形的有()A.3个B.4个C.5个D.6个(2)下列是正多边形的是()A.三条边都相等的三角形B.四个角都是直角的四边形C.四条边都相等的四边形D.六条边都相等的六边形解析:(1)在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形,故图中第一、二、五个图形为多边形,故选A.(2)三条边都相等的三角形是等边三角形,它的三个角相等,三条边相等,是正多边形.故选A.答案:(1)A(2)A2.多边形的对角线【例2】从十五边形的一个顶点可引出条对角线,并把十五边形分成个三角形.解析:因为与每一个顶点不相邻的顶点数为12(即15-3),
12、所以从一个顶点可引出12条对角线.结合图形(图略)可知这些对角线将十五边形分成了13个三角形.答案:1213123451.位于许昌襄城首山之上的文峰塔建成于明嘉靖三十年,为外十三层、内七层楼阁式建筑,平面呈正八边形.下列图形为正八边形的是()答案答案关闭D123452.下列图形不是凸多边形的是().答案答案关闭A123453.下列说法正确的是().A.四条边都相等的四边形是正方形B.四个角都相等的四边形是正方形C.等边三角形不是正多边形D.正方形是正多边形答案解析解析关闭正多边形要求各条边都相等,各个角也都相等,两个条件缺一不可,排除A,B;等边三角形是正多边形,排除C.故选D.答案解析关闭D
13、123454.若一个正多边形的周长是100,边长为10,则该正多边形的边数n=.答案答案关闭10123455.从正八边形的一个顶点可引出条对角线,这些对角线把这个正八边形分成了个三角形.答案答案关闭5611.3.2 多边形的内角和返回首页人教版(2023版)初中数学八年级上册学前温故新课早知1.三角形的内角和等于.2.多边形的边与它的组成的角叫做多边形的外角.180邻边的延长线学前温故新课早知1.n边形内角和等于.2.六边形的内角和为().A.90 B.180C.360D.7203.多边形的外角和等于.4.如果一个多边形的内角和等于其外角和,那么这个多边形是().A.三角形B.四边形C.五边形
14、D.六边形(n-2)180D360B1.运用多边形的内角和进行计算【例1】已知在五边形ABCDE中,ABCDE=23456,求其内角中最大角和最小角的度数.分析:已知每个内角之间的关系,可以设未知数,列出它们和的表达式,利用多边形的内角和公式列出方程求解.解:设五边形的各内角度数分别为2x,3x,4x,5x,6x,则根据多边形的内角和公式,得2x+3x+4x+5x+6x=(5-2)180,解得x=27.所以6x=162,2x=54.所以最大角的度数为162,最小角的度数为54.2.运用多边形的外角和计算【例2】已知一个多边形的每个内角都相等,且每个内角的度数等于和它相邻的外角的度数的3倍,求这
15、个多边形的边数.解法1设这个多边形的边数为n.由题意知,这个多边形的内角和等于其外角和的3倍,于是得方程(n-2)180=3603,解得n=8.故这个多边形的边数为8.解法2设这个多边形的每个外角都为x,则它的每个内角都为3x.根据题意,得x+3x=180,解得x=45.所以这个多边形外角的个数是36045=8.故这个多边形的边数为8.123451.多边形的内角和不可能为()A.180B.540C.1080D.1200答案答案关闭D123452.正十边形的每一个外角的度数为()A.36B.30C.144D.150答案答案关闭A123453.如图,一个四边形的其中三个外角分别为110,85,30
16、,则等于().A.30B.45C.70D.85答案解析解析关闭的补角为180-,由多边形的外角和等于360,知(180-)+110+85+30=360,解得=45.答案解析关闭B123454.当多边形的边数增加1时,它的内角和,它的外角和.答案答案关闭增加180不变123455.已知一个多边形的每个内角都是150,则这个多边形的内角和是多少度?答案答案关闭设这个多边形的边数为n,由题意知每个外角都是30.由多边形的外角和为360,得n=12.则此多边形的内角和为180(12-2)=18010=1 800.12.1 全等三角形返回首页人教版(2023版)初中数学八年级上册学前温故新课早知1.三角
17、形:由不在同一条直线上的三条线段相接组成的图形.2.构成三角形的元素:(1);(2)三条边;(3).3.一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但、都没有改变.首尾顺次三个顶点三个内角形状大小学前温故新课早知1.形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够的两个图形叫做全等形,能够的两个三角形叫做全等三角形.两个全等三角形可以通过、得到.2.观察图中的各个图形,其中的全等图形为.(用编号表示)完全重合完全重合平移翻折旋转和,和,和 学前温故新课早知3.全等用符号“”表示,读作“”.4.如图,若把BEC沿着直线BC向左平移,就得到CFA,则FAC与ECB的关系是.5.全等三角形的相等,对应
18、角相等.6.如图,若两个三角形全等,则等于().A.72 B.60 C.58D.50全等于全等对应边D1.确定全等三角形的对应边、对应角【例1】如图,ABCABC,其中A=36,C=24,则B=.解析:ABCABC,C=C=24.B=180-A-C=180-36-24=120.答案:1202.全等三角形性质的应用【例2】如图,已知ACEDBF.(1)若AD=8,BC=3,求AC的长;(2)求证:CEBF.分析全等三角形对应边相等求AC的长;全等三角形对应角相等利用角的相等关系证明CEBF.(1)解ACEDBF,AC=DB.AC-BC=DB-BC,即AB=DC.AC=AB+BC=2.5+3=5.
19、5.(2)证明ACEDBF,ACE=DBF.CEBF.1234561.下列说法正确的是().A.形状相同的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等C.完全重合的两个三角形全等D.所有的等边三角形全等答案解析解析关闭形状和大小完全相同,能够重合的两个三角形全等;面积只跟三角形的底与高的乘积有关,与形状无关;边长不同的等边三角形不全等.答案解析关闭C1234562.如图,点E,F在线段BC上,ABF与DCE全等,点A与点D,点B与点C是对应顶点,AF与DE交于点M,则DCE=().A.BB.A C.EMFD.AFB答案答案关闭A1234563.在ABC中,B=C,如果与ABC全等的一个三角形中有
20、一个角为95,那么95的角在ABC中的对应角是().A.AB.BC.B或CD.A或C答案答案关闭A1234564.如图,ABCDEF,BE=4,AE=1,则DE的长是.答案解析解析关闭ABCDEF,AB=DE.AB=AE+BE=1+4=5,DE=AB=5.答案解析关闭51234565.如图,ADBACE,E=40,C=20,则DAB的度数是.答案答案关闭1201234566.如图,ABCAED,且C=D,指出其他的对应角和对应边.答案答案关闭解其他的对应角:CAB与DAE,B与E;对应边:AB与AE,AC与AD,BC与ED.12.2.1利用“边边边”判定三角形全等返回首页人教版(2023版)初
21、中数学八年级上册学前温故新课早知如图,ABCABC,则有:(1)AB=AB,(2)BC=BC,(3),(4)A=A,(5)B=B,(6).AC=ACC=C学前温故新课早知1.若两个三角形全等,则它们的对应边相等,对应角相等.反过来,若两个三角形满足三条边分别相等,三个角分别相等,那么这两个三角形.2.的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”).3.三角形三条边的长度确定了,这个三角形的、也就确定了.4.下列判断两个三角形全等的条件中,正确的是().A.一条边对应相等B.两条边对应相等C.三个角对应相等 D.三条边对应相等全等三边分别相等形状 大小D利用“边边边”判定两个三角形全等【例题】
22、如图,已知在四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD.求证:C=A.分析:要证明C=A,图形中没有它们所在的三角形,可以连接BD,构造CDB与ADB,题设已知条件以及DB是它们的公共边,可得到CDBADB,从而C=A,问题得证.证明:如图,连接BD.在CDB与ADB中,CDBADB(SSS).C=A.123451.如图,在ABC中,AB=AC,BE=CE,则由“SSS”可以直接判定()A.ABDACDB.BDECDEC.ABEACED.以上都不对C123452.如图,如果AC=BD,BC=AD,那么ABC,理由是.BAD三边分别相等的两个三角形全等(或SSS)123453.如图,已知AB=CD
23、,若根据“SSS”证得ABCCDA,则需要添加的条件是.CB=AD123454.如图,已知AD=BC,BD=AC.求证:ADB=BCA.ABDBAC.ADB=BCA.123455.如图,在ABC中,C=90,D,E分别为AC,AB上的点,且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证:DEAB.ADEBDC(SSS),AED=C=90,DEAB.12.2.2利用“边角边”判定三角形全等返回首页人教版(2023版)初中数学八年级上册判定三角形全等的方法:三边分别的两个三角形全等(可以简写成“”或“”).学前温故新课早知相等边边边SSS学前温故新课早知1.判定三角形全等的方法:两边和它们的夹角分别的两
24、个三角形全等(可以简写成“”或“”).2.下面说法错误的是().A.边长相等的两个等边三角形全等B.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等C.有两条边对应相等的两个等腰三角形全等D.腰对应相等且两腰的夹角相等的两个等腰三角形全等相等边角边SASC利用“边角边”判定两个三角形全等【例题】如图,在RtABC中,BAC=90,AC=2AB,D是AC的中点,将一个锐角为45的等腰直角三角尺如图放置,使三角尺斜边的两个端点分别与A,D重合,连接BE,EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.解:BE=EC,BEEC.证明:AC=2AB,D是AC的中点,AB=AD=CD.由三角形内角和定
25、理知EAD=EDA=45,EAB=EDC=135.AED为等腰直角三角形,EA=ED.EABEDC.AEB=DEC,BE=EC.BEC=AED=90,BEEC.123451.如图,使ABCADC成立的条件是().A.AB=AD,B=DB.AB=AD,ACB=ACDC.BC=DC,BAC=DACD.AB=AD,BAC=DAC答案答案关闭D123452.如图,如果AD=BC,1=2,那么ABCCDA,理由是.答案答案关闭两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(或SAS)123453.如图,AB=AC,要说明ABEACD,若以“SAS”为依据,还缺一个条件是.SAS答案答案关闭AE=AD(或EC=
26、DB)123454.如图,已知1=2,AO=BO.求证:AC=BC.答案答案关闭在AOC与BOC中,AO=BO,1=2,OC=OC,AOCBOC.AC=BC.123455.如图,点A,B,C,D在一条直线上,EAFB,EA=FB,AB=CD.(1)求证:E=F;(2)若A=40,D=80,求E的度数.答案答案关闭12.2.3利用“角边角”“角角边”判定三角形全等返回首页人教版(2023版)初中数学八年级上册学前温故新课早知判定三角形全等的方法:(1)三边分别的两个三角形全等(可以简写成“”或“”).(2)两边和它们的夹角分别的两个三角形全等(可以简写成“”或“”).相等边边边SSS相等边角边S
27、AS学前温故新课早知1.判定三角形全等的方法:(1)两角和它们的夹边分别的两个三角形全等(可以简写成“”或“”).(2)两角分别相等且其中一组等角的对边的两个三角形全等(可以简写成“”或“”).2.在ABC与ABC中,AB=AB,A=A,B=B,则ABCABC的根据是().A.SASB.SSAC.ASAD.AAS相等角边角ASA相等角角边AASC1.利用“角边角”判定两个三角形全等【例1】如图,点E,F在AC上,ADCB,且AD=CB,D=B.求证:AE=CF.分析:证明:ADCB,A=C.ADFCBE(ASA),AF=CE.AF+FE=CE+FE,即AE=CF.2.利用“角角边”判定两个三角
28、形全等【例2】如图,AD为ABC的边BC上的中线,延长AD,过点C,B分别向AD及其延长线上作垂线,垂足分别为E,F.求证:BF=CE.分析:证明CEAF,FBAF,DEC=DFB=90.AD是边BC上的中线,BD=CD.BFDCED(AAS),BF=CE.123451.如图,已知ABC的六个元素,则在甲、乙、丙三个三角形中,和ABC全等的图形是()A.甲、乙B.乙、丙C.只有乙D.只有丙答案解析解析关闭甲图中只有两个已知元素,不能确定与ABC是否全等;乙图与ABC满足“SAS”的条件,所以两个图形全等;丙图与ABC满足“AAS”的条件,所以两个图形也全等.答案解析关闭B123452.在下列叙
29、述中,两个三角形一定全等的是().A.各有一个角是45的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.各有一个角是45,腰长都是3cm的两个等腰三角形D.腰和底角对应相等的两个等腰三角形答案答案关闭D123453.如图,要判定ACFBDE,根据给定的条件和指明的依据,将应当添加的条件填在横线上.(1)若ACBD,AC=BD,则ACFBDE(ASA);(2)若ACBD,AC=BD,则ACFBDE(AAS).答案答案关闭(1)A=B(2)F=E(或AFEB)123454.如图,点A,C,D,B四点共线,且AC=BD,E=F,ADE=BCF,求证:DE=CF.答案答案关闭123455.如图,在ABC中,ACB
30、=90,点E在AC的延长线上,EDAB于点D,若BC=ED,求证:CE=DB.答案答案关闭12.2.4利用“斜边、直角边”判定直角三角形全等返回首页人教版(2023版)初中数学八年级上册学前温故新课早知判定三角形全等的方法有:(1)定义,(2),(3),(4),(5).(填字母简写)SSSSASASAAAS学前温故新课早知1.直角三角形全等的判定:斜边和一条直角边分别的两个直角三角形全等(可以简写成“”或“”).2.下列条件不能判断两个直角三角形全等的是().A.有两条直角边对应相等B.有两个锐角对应相等C.斜边和一条直角边对应相等D.斜边和一个锐角对应相等直角三角形全等既可以用一般三角形全等
31、的判定方法(直角作为一对相等的角),又可用“HL”判定,这些条件中至少有一对相等的边.相等斜边、直角边HLB利用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等【例题】如图,已知AD为ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于点F,且有BF=AC,FD=CD.求证:BEAC.分析:要证明BEAC,可证C+1=90,而2+1=90,只需证明2=C,从而转化为证明它们所在的BDF与ADC全等.而由条件知在RtBDF与RtADC中有BF=AC,DF=DC,故这两个三角形全等,从而问题得证.证明:ADBC,BDA=ADC=90.1+2=90.RtBDFRtADC(HL),2=C,1+C=90.1+C+BEC=18
32、0,BEC=90.BEAC.123451.如图,AC=BD,C=D=90,则RtABCRtBAD所根据的条件是().A.SASB.ASAC.HLD.AAS答案解析解析关闭在RtABC和RtBAD中,两条直角边对应相等,斜边为公共边,所以RtABCRtBAD(HL).答案解析关闭C123452.如图,已知AB=CD,AEBD于点E,CFBD于点F,AE=CF,则图中全等三角形有()对.A.1B.2C.3D.4答案解析解析关闭由已知可以推导出ABECDF,AEDCFB,ABDCDB.答案解析关闭C123453.如图,在ABC中,AB=AC,ADBC,给出下列结论:ABDACD;D为BC的中点;AD
33、平分BAC,其中,结论正确的是.(填序号)答案答案关闭123454.如图,在ABC中,C=90,点D在BC上,DEAB于点E,AC=AE.若CDA=60,则BDE=.答案解析解析关闭由条件AC=AE,AD是公共边,得到RtACDRtAED,ADC=ADE.CDA=60,CDE=120.BDE=60.答案解析关闭60123455.如图,DBAB,DCAC,垂足分别为B,C,DB=DC,求证:AD平分BAC.答案答案关闭12.3.1角的平分线的性质(1)返回首页人教版(2023版)初中数学八年级上册学前温故新课早知1.从一个角的顶点出发,把这个角分成的两个角的射线,叫做这个角的平分线.2.直线外一
34、点到这条直线的的长度,叫做点到直线的距离.相等垂线段学前温故新课早知1.角的平分线上的点到角的两边的距离.2.如图,OP平分AOB,PAOA,PBOB,垂足分别为A,B.下列结论不一定成立的是().A.PA=PBB.PO平分APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP3.一般情况下,要证明一个几何命题时,可以按照以下步骤进行:(1)明确命题中的和;(2)根据题意,画出,并用表示已知和求证;(3)经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.相等D已知求证图形符号角的平分线性质的应用【例题】如图,AD是BAC的平分线,DEAB于点E,DFAC于点F,且BD=CD.求证:BE=CF.分析证明
35、AD是BAC的平分线,DEAB,DFAC,DE=DF.RtDBERtDCF(HL),BE=CF.123451.下列各图中,OP是MON的平分线,点E,F,G分别在射线OM,ON,OP上,则可以解:释定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是().答案答案关闭D123452.如图,已知在ABC中,CD是AB边上的高,BE平分ABC,交CD于点E,BC=10,DE=3,则BCE的面积等于()A.10B.7C.15D.30答案答案关闭C123453.如图,在ABC中,AD是它的角平分线,AB=7cm,AC=4cm,则SABDSACD=.答案解析解析关闭答案解析关闭123454.如图,在四边形
36、ABCD中,AB=AD,CB=CD,点P是对角线AC上一点,PEBC于点E,PFCD于点F.求证:PE=PF.答案答案关闭123455.如图,1=2,AEOB于点E,BDOA于点D,且AE与BD的交点为C.求证:AC=BC.答案解析解析关闭答案解析关闭12.3.2角的平分线的性质(2)返回首页人教版(2023版)初中数学八年级上册学前温故新课早知相等角的平分线的性质:角平分线上的点到角的两边的距离.学前温故新课早知1.角的内部到角的两边的距离相等的点在上.2.三角形的三条角平分线,这点到三角形三边的距离.3.三角形中到三边的距离相等的点是().A.三条边上经过对应顶点的任意三条线段的交点B.三
37、条高的交点C.三条中线的交点D.三条角平分线的交点角的平分线相交于一点相等D点在角的平分线的判定方法【例题】如图,BD=CD,BFAC于点F,CEAB于点E.求证:点D在BAC的平分线上.分析:要证明点D在BAC的平分线上,因为DEAB,DFAC,所以只要证明点D到BAC的两边距离相等,即DE=DF,利用题目的已知条件证明DBE和DCF全等即可得到.证明在DBE和DCF中,所以DBEDCF(AAS).所以DE=DF.因为DEAB,DFAC,所以点D在BAC的平分线上.12341.关于三角形的角平分线的说法错误的是().A.两内角平分线的交点一定在三角形内B.两内角平分线的交点在第三个角的平分线
38、上C.两内角平分线的交点到三边的距离相等D.两内角平分线的交点到三个顶点的距离相等答案答案关闭D12342.如图,已知点P到AE,AD,BC的距离相等,则下列说法:点P在BAC的平分线上;点P在CBE的平分线上;点P在BCD的平分线上;点P是BAC,CBE,BCD的平分线的交点,其中正确的是().A.B.C.D.答案答案关闭A12343.如图,DBAE于点B,DCAF于点C,且DB=DC,BAC=40,ADG=130,则DGF的度数是.答案答案关闭15012344.如图,DEAB,交AB的延长线于点E,DFAC于点F,且BE=CF,BD=CD,求证:AD是BAC的平分线.答案答案关闭13.1.
39、1 轴对称返回首页人教版(2023版)初中数学八年级上册学前温故新课早知全等形是指能够完全重合的两个图形,即、完全相同的两个图形.形状大小学前温故新课早知1.如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做,这条直线就是它的.这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴).2.把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条直线叫做,折叠后重合的点是对应点,叫做.轴对称图形对称轴对称重合对称轴对称点学前温故新课早知3.轴对称图形的对称轴是().A.直线B.射线C.线段D.以上都可能4.经过线段并且于这条线段的直线叫做这
40、条线段的垂直平分线.5.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的.类似地,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.A中点垂直垂直平分线1.轴对称图形【例1】已知以下四个图案:其中是轴对称图形的图案是.(只需填入图案代号)解析:图案中能够找到一条直线,沿这条直线对折,两旁的部分能够互相重合,而图案中不能找到这样的一条直线,所以是轴对称图形.答案:2.判断两个图形是否成轴对称【例2】观察下图中的各组图形,其中成轴对称的是.(只填序号)解析:在图中都能找出一条直线,沿这条直线折叠后两个图形能完全重合,而图中不存在这样的直线,所以成轴对称的是.答案:3.轴对
41、称和轴对称图形的性质【例3】(1)如图,六边形ABCDEF是轴对称图形,CF所在的直线是它的对称轴,若AFC+BCF=150,则AFE+BCD的大小是().A.150B.300C.210D.330图 图(2)如图,四边形ABCD与四边形EFGH关于某条直线对称,根据图形提供的条件求x,y.分析轴对称与轴对称图形的性质对称轴两旁的两个图形全等全等图形的对应角相等、对应边相等.(1)解析直线CF是六边形ABCDEF的对称轴,四边形ABCF四边形EDCF.AFC=EFC,BCF=DCF.AFE+BCD=2(AFC+BCF)=2150=300.答案B(2)解四边形ABCD与四边形EFGH关于某条直线对
42、称,四边形ABCD四边形EFGH.F=B=70,GF=CB=7,即x=70,y=7.123451.下列图形中,不是轴对称图形的是()答案答案关闭D12345答案答案关闭C2.在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是()123453.在下面四个图案中,轴对称图形的个数是().A.1B.2C.3D.4答案答案关闭C123454.一名同学想用正方形和圆设计一个图案,要求整个图案关于正方形的某条对角线对称,则不符合要求的图案是().答案答案关闭D123455.如图,ABC与ABC关于直线l对称,且A=78,C=48,则B等于().A.48B.54C.74D.78答
43、案解析解析关闭成轴对称的两个图形全等,因此C=C=48,所以B=180-78-48=54.答案解析关闭B13.1.2 线段的垂直平分线的性质返回首页人教版(2023版)初中数学八年级上册学前温故新课早知1.经过线段并且于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.2.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的.3.轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的.中点垂直垂直平分线垂直平分线学前温故新课早知1.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离.2.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的.3.如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点.已知线段PA=
44、5,则线段PB的长度为()A.6B.5C.4D.3相等垂直平分线上B1.线段垂直平分线的性质【例1】如图,在ABC中,边BC上的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E,连接CE.若EDC的周长为24,ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为.解析:首先根据线段垂直平分线的性质,找出与EDC,ABC以及四边形AEDC中与周长有关的相等线段,然后列出方程,解方程即可.因为DE是BC的垂直平分线,所以EB=EC,BD=DC.根据题意,得DE+EC+CD=24,即DE+(BE+BD)=24,(AB+BC+AC)-(AE+DE+DC+AC)=12,即(BE+BD)-DE=12,-,
45、得2DE=12,所以DE=6.答案:62.应用线段垂直平分线的性质解决实际问题【例2】如图,A,B,C三点表示三个村庄,为了解决村民子女就近入学问题,计划新建一所小学,要使学校到三个村庄的距离相等,请你作图确定学校的位置.作法:如图.(1)连接AB,BC,AC;(2)分别作AB,AC的垂直平分线,且交于点P.则点P就是所要确定的学校的位置.12341.如图,在ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若BC=6,AC=5,则ACE的周长为()A.8B.11C.16D.17答案解析解析关闭DE垂直平分AB,AE=BE.AE+CE+AC=BE+CE+AC=BC+AC=11,即
46、ACE的周长为11.答案解析关闭B12342.如图,已知ABC(AC0,y0.若点P(x,y)在第象限内x0.若点P(x,y)在第象限内x0,y0,y0.x轴横轴y轴纵轴一二三四学前温故新课早知1.点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为.2.点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为.3.点P(3,-5)关于x轴对称的点的坐标为,关于y轴对称的点的坐标为.(x,-y)(-x,y)(3,5)(-3,-5)在平面直角坐标系中,作已知图形的轴对称图形【例题】如图,在平面直角坐标系中,ABC各顶点的坐标分别为A(4,0),B(-1,4),C(-3,1).(1)在图中作ABC,使ABC和ABC关于x轴对称;(2
47、)写出点A,B,C的坐标;(3)求ABC的面积.解:(1)ABC如图所示.(2)点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(-1,-4),点C的坐标为(-3,-1).123451.已知点A(3,2),B(3,-2),则点A和点B关于().A.x轴对称B.y轴对称C.第一、三象限的角平分线对称D.第二、四象限的角平分线对称答案答案关闭A123452.下列各组点关于y轴对称的是()A.(0,10)与(0,-10)B.(-9,-5)与(9,-5)C.(-9,-5)与(9,5)D.(-9,-5)与(-9,5)答案答案关闭B123453.在平面直角坐标系中,点P(3,1)关于x轴对称的点的坐标是()A.(3,
48、1)B.(3,-1)C.(-3,1)D.(-3,-1)答案答案关闭B123454.ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,A,B,C三点在格点上.作出ABC关于y轴对称的A1B1C1,并写出点C1的坐标.答案答案关闭123455.已知点A(a+2b,1),B(-2,2a-b),若点A,B关于y轴对称,求a+b的值.答案答案关闭13.3.1 等腰三角形的性质返回首页人教版(2023版)初中数学八年级上册学前温故新课早知1.有两边的三角形是等腰三角形.2.三角形的内角和是.3.在三角形中,任意两边之和第三边.相等180大于学前温故新课早知1.等腰三角形的性质1:等腰三角形的两个相等(简写成“等边对
49、等角”);性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).2.等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在就是它的对称轴.3.在ABC中,AB=AC,B=58,则C的度数是,A的度数.底角底边上的中线直线58641.等腰三角形“等边对等角”的应用【例1】已知一个等腰三角形的两角分别为(2x-2),(3x-5),求这个等腰三角形各角的度数.分析:应考虑3种情况,即(2x-2)作顶角或(3x-5)作顶角或(2x-2)和(3x-5)均不是顶角.解:若2x-2=3x-5,得x=3.故三角形的三个内角分别为4,4,172;若2(2x-2)=180-(3x-
50、5),得x=27.故三角形的三个内角分别为52,52,76;若2(3x-5)=180-(2x-2),得x=24.故三角形的三个内角分别为46,67,67.【例2】如图,在ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DEAB于点E,DFAC于点F.求证:DE=DF.分析:利用等腰三角形三线合一的性质及角平分线的性质进行证明.证明:连接AD(图略).D为BC的中点,AB=AC,AD平分BAC.又DEAB,DFAC,DE=DF.2.等腰三角形“三线合一”的应用 123451.已知等腰三角形两边的长分别为3和7,则此等腰三角形的周长为()A.13B.17C.13或17D.13或10答案解析解析关闭当腰长为3