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1、综合复习材料高中资料第二课时 椭圆及其性质【学习目标】 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质【考纲要求】椭圆方程为B级要求【自主学习】1椭圆的定义(1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距注：当2a|F1F2|时，P点的轨迹是 当2a|F1F2|时，P点的轨迹不存在2椭圆的标准方程(1) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：，其中( 0，且 )(2) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是，其中a，b满足： 3椭圆的几何性质(对,a b 0
2、进行讨论)(1) 范围： x ， y (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 (3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ； (4) 离心率： ( 与 的比)， ，越接近1，椭圆越 ；越接近0，椭圆越接近于 (5) 椭圆的参数方程为 4焦点三角形应注意以下关系：(1) 定义：r1r22a(2) 余弦定理：2r1r2cos(2c)2(3) 面积：r1r2 sin2c| y0 |(其中P()为椭圆上一点，|PF1|r1，|PF2|r2，F1PF2)【基础自测】1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 .2.若椭圆=1的离心率为，则实数m= .3设椭圆+=1(m0
3、,n0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为 . 4（2008江苏，12）在平面直角坐标系中，椭圆(ab0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率e= .典型例析例1（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0），求椭圆的方程；（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（，1）、P2（-，-），求椭圆的方程.例2. 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF2=60.（1）求椭圆离心率的范围；（2）求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.例3已知椭圆E的中心在坐标原点O
4、，经过两点A(1，)，B(2，)圆F的圆心是椭圆E的右焦点F，且圆F的半径恰等于椭圆的短半轴长()求椭圆E的标准方程；()若点P是圆F上的一个动点，求的取值范围当堂检测1. 已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是 .2. 若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆的方程为 .3. 已知以F1（-2,0），F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 .4 经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45的直线l,交椭圆于A、B两点，设O为坐标原点，则等于 .解 ()设椭圆E的标准方程为
5、mx2ny21(m0，n0，且mn)2分因为A(1，)，B(2，)在椭圆E上，所以4分解得 m，n1，满足条件所以所求椭圆E的标准方程为y216分()由()知椭圆E的右焦点为F(2，0)，短半轴长为1，所以圆心坐标为(2，0)，半径r1，所以圆F的方程为(x2)2y218分设P(x，y)，则(x2，y)，(x，y)，所以x (x2)y2x2y22x2x3 10分因为(x2)2y21，所以(x2)21，即1x21，得1x3所以 12x33，即的取值范围为1，314分解法二 由()知椭圆E的右焦点为F(2，0)，短半轴长为1，所以圆心坐标为(2，0)，半径r1，所以圆F的方程为(x2)2y218分设P(2cos，sin)，R，则(cos，sin)，(2cos，sin)，所以 cos(2cos)(sin)22cos112分因为1cos1，所以12cos13，即的取值范围为1，314分评注：()中求椭圆E的标准方程时，若设1(ab0)，则扣2分这里需要分类讨论，情况1(ab0)不可能6