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1、 十八两条直线的交点坐标1.一次函数y=x+2和y=-2x+8图象的交点组成的集合是()A.2,4B.x=2,y=4C.(2,4)D.(2,4)【解析】选D.因为y=x+2y=-2x+8x=2y=4,所以两函数图象的交点组成的集合是(2,4).2.直线3x-y=0与x+y=0的位置关系是()A.相交但不垂直B.平行C.重合D.垂直【解析】选A.易知A1=3,B1=-1,A2=1,B2=1,则A1B2-A2B1=31-1(-1)=3+10,又A1A2+B1B2=31+(-1)1=3-10,则这两条直线相交但不垂直.3.若直线x+by+9=0经过直线5x-6y-17=0与直线4x+3y+2=0的交
2、点,则b等于()A.2B.3C.4D.5【解析】选D.解方程组5x-6y-17=0,4x+3y+2=0,得x=1,y=-2,则直线x+by+9=0经过点(1,-2),所以1-2b+9=0,解得b=5.4.已知点M(0,-1),点N在直线x-y+1=0上,若直线MN垂直于直线x+2y-3=0,则N点的坐标是()A.(2,3)B.(-2,-1)C.(-4,-3)D.(0,1)【解析】选A.由题意知,直线MN过点M(0,-1)且与直线x+2y-3=0垂直,其方程为2x-y-1=0.直线MN与直线x-y+1=0的交点为N,联立方程得2x-y-1=0,x-y+1=0,解得x=2,y=3,即N点坐标为(2
3、,3).5.(多选题)下列各直线中,与直线2x-y-3=0平行的是()A.2ax-ay+6=0(a0,a-2)B.y=2xC.2x-y+5=0D.2x+y-3=0【解析】选ABC.直线2x-y-3=0的斜率为2,D选项中的直线的斜率为-2,故D项错误.其余的A,B,C均满足斜率相等且截距不相等.6.(多选题)若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0不能围成三角形,则a的取值可以为()A.1B.-1C.-2D.2【解析】选ABC.由题意可得l1和l3平行,或l2和l3平行,或l1和l2平行.若l1和l3平行,则a1=11,求得a=1;若l2和l3平行,则11
4、=a1,求得a=1;若l1和l2平行,则a1=1a,求得a=1.当三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0交于同一个点时,a=-2.综上可得,实数a所有可能的值为-1,1,-2.7.已知两条直线2x+3y-k=0和x-3y+12=0的交点在y轴上,那么k的值为_.【解析】联立两条直线的方程得2x+3y-k=0,x-3y+12=0,解得x=k-123,因为两直线交点在y轴上,所以k-123=0,所以k=12.答案:128.已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是_.【解析】联立得5x+4y=2a+12x+3y=a,解
5、得x=2a+37y=a-27,所以2a+370a-270,所以-32a2.答案: (-32,2)9.判断下列各对直线的位置关系,若相交,求出它们的交点.(1)l1:x-y-1=0和l2:3x+3y-9=0;(2)l1:x-2y+7=0和l2:3x-6y+21=0;(3)l1:3x-2y+4=0和l2:9x-6y+1=0.【解析】(1)方程组x-y-1=0,3x+3y-9=0的解为x=2,y=1.故直线l1和l2相交,交点坐标为(2,1).(2)方程组x-2y+7=0,3x-6y+21=0有无数个解,这表明直线l1和l2重合.(3)方程组3x-2y+4=0,9x-6y+1=0无解,这表明直线l1
6、和l2没有公共点,故l1l2.10.已知两点A(-2,1),B(4,3),两直线l1:2x-3y-1=0,l2:x-y-1=0,求:(1)过点A且与直线l1平行的直线方程;(2)过线段AB的中点以及直线l1与l2的交点的直线方程.【解析】(1)设与直线l1:2x-3y-1=0平行的直线方程为2x-3y+c=0(c-1),将点A(-2,1)的坐标代入,得-4-3+c=0,解得c=7.所以所求直线方程是2x-3y+7=0.(2)设线段AB的中点为M.因为A(-2,1),B(4,3),所以M(1,2).设直线l1,l2的交点为N,联立2x-3y-1=0,x-y-1=0,解得x=2,y=1,所以N(2
7、,1).所以所求直线的方程为y-21-2=x-12-1,即x+y-3=0.11.直线l1:2x-by-6=0与直线l2:x+y+a=0的交点为(2,2),则a+b=()A.0B.-1C.-4D.-5【解析】选D.由于(2,2)为两直线的交点,所以代入直线方程,可得22-2b-6=0,2+2+a=0,解得b=-1,a=-4,故a+b=-5.12.若直线l:y=kx-3与直线x+y-3=0相交,且交点在第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.|060B.|3060C.|3090D.|600,3k-31+k0,解得k33.又直线l的倾斜角为,则tan 33,所以3090.13.经过两直线2x-
8、3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0垂直的直线l的方程为_.【解析】由方程组2x-3y-3=0,x+y+2=0,得x=-35,y=-75.又所求直线与直线3x+y-1=0垂直,故k=13,所以直线方程为y+75=13(x+35),即5x-15y-18=0.答案:5x-15y-18=014.已知直线ax+by-2=0,且3a-4b=1,则该直线必过定点_.【解析】由3a-4b=1,得b=3a-14,代入ax+by-2=0,得a(4x+3y)=y+8.令4x+3y=0,y+8=0,解得x=6,y=-8.故该直线恒过定点(6,-8).答案:(6,-8)15.如图,ABC中,BC
9、边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,BAC的平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.【解析】由方程组x-2y+1=0,y=0,得顶点A(-1,0),则边AB所在直线的斜率kAB=2-01-(-1)=1.因为BAC的平分线所在直线的方程为y=0,所以直线AC的斜率为-1,AC所在直线的方程为y=-(x+1).因为BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,所以kBC=-2.又点B的坐标为(1,2),所以BC所在直线的方程为y=-2(x-1)+2.由y=-2(x-1)+2,y=-(x+1)得C(5,-6).综上,A(-1,0),C(5,-6).16.设直线l经过2x-3y+2=0和3x-4y-2=0的交点,且与两坐标轴围成等腰直角三角形,则直线l的方程为_.【解析】由2x-3y+2=03x-4y-2=0,得x=14y=10,所以两直线的交点坐标为(14,10).由题意可得所求直线的斜率为1或-1,所以所求直线的方程为y-10=x-14或y-10=-(x-14),即x-y-4=0或x+y-24=0.答案:x-y-4=0或x+y-24=0 - 6 -