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1、 考点9 变化率与导数、导数的计算一、选择题1.(2020全国卷高考理科T6)函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1)处的切线方程为()A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1【命题意图】本题考查利用导数求解函数图像的切线方程,考查计算能力,属于基础题.【解题指南】求得函数f(x)的导数f(x),计算出f(1)和f(1)的值,可得出所求切线的点斜式方程,化简即可.【解析】选B.因为f(x)=x4-2x3,所以f(x)=4x3-6x2,所以f(1)=-1,f(1)=-2,因此,所求切线的方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.2.(2020全国卷理科
2、T10)若直线l与曲线y=x和圆x2+y2=15都相切,则l的方程为()A.y=2x+1B.y=2x+12C.y=12x+1D.y=12x+12【命题意图】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用.【解析】选D.设直线l在曲线y=x上的切点为x0,x0,由题意知x00,函数y=x的导数为y=12x,则直线l的斜率k=12x0,直线l的方程为y-x0=12x0x-x0,即x-2x0y+x0=0,由于直线l与圆x2+y2=15相切,则x01+4x0=15,两边平方并整理得5x02-4x0-1=0,解得x0=1,x0=-15(舍),则直线l的方程为x-2y+1=0,即y=12x+1
3、2.二. 填空题3.(2020全国卷高考文科T15)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.【命题意图】本题考查导数的几何意义,属于基础题.【解题指南】设切线的切点坐标为(x0,y0),对函数求导,利用y|x=x0=2,求出x0,代入曲线方程求出y0,得到切线的点斜式方程,化简即可.【解析】设切线的切点坐标为(x0,y0),y=ln x+x+1,y=1x+1,y|x=x0=1x0+1=2,x0=1,y0=2,所以切点坐标为(1,2),所求的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.答案:y=2x4.(2020全国卷文科T15)设函数f(x)=exx+a.若f(1)=e4,则a=.【命题意图】本题主要考查导数的运算法则,导数的计算,方程的数学思想等知识.【解析】由函数的解析式可得:fx=exx+a-exx+a2=exx+a-1x+a2,则f1=e11+a-11+a2=aea+12,所以aea+12=e4,所以a2-2a+1=0,解得:a=1.答案:1