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1、 考点9 变化率与导数、导数的计算1.(2022新高考卷T15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是.【命题意图】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程.【解析】因为y=(x+a)ex,所以y=(x+1+a)ex,设切点为(x0,y0),则y0=(x0+a)ex0,切线斜率k=(x0+1+a)ex0,切线方程为:y-(x0+a)ex0=(x0+1+a)ex0(x-x0),因为切线过原点,所以-(x0+a)ex0=(x0+1+a)ex0(-x0),整理得x02+ax0-a=0,因为切线有两条,所以=a2+4a0,解得a0,故a的取值范围是(-,-4)(0,+
2、).答案:(-,-4)(0,+)2.(2022新高考卷)曲线y=ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为,.【命题意图】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程.【解析】因为y=ln |x|,当x0时y=ln x,设切点为(x0,ln x0),由y=1x,所以y|x=x0=1x0,所以切线方程为y-ln x0=1x0(x-x0),又切线过坐标原点,所以-ln x0=1x0(-x0),解得x0=e,所以切线方程为y-1=1e(x-e),即y=1ex;当x0时y=ln(-x),设切点为(x1,ln(-x1),由y=1x,所以y|x=x1=1x1,所以切线方程为y-ln(-x1)=1x1(x-x1),又切线过坐标原点,所以-ln(-x1)=1x1(-x1),解得x1=-e,所以切线方程为y-1=1-e(x+e),即y=-1ex.答案:y=1exy=-1ex