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1、考点9 变化率与导数、导数的计算1.(2021全国乙卷理科T12)设a=2ln 1.01,b=ln 1.02,c=1.04-1,则()A.abcB.bca C.bacD.cab【命题意图】本题主要考查比较大小问题,通过构造函数结合求导,利用函数的增减性进行判断.【解析】选B.设f(x)=ln(1+x)-1+2x+1,则b-c=f(0.02),易得f(x)=11+x-221+2x=1+2x-(1+x)(1+x)1+2x.当x0时,1+x=(1+x)21+2x,故f(x)0,所以f(x)在0,+)上单调递减,所以f(0.02)f(0)=0.故bg(0)=0.故ac.所以bca.【反思总结】题中a,
2、b都是对数,a,b相减能判断大小,此时就算是算1.01的平方也很容易算出,排除A,D;判断a和c的大小关系时,显然c不能化为对数,a,c相减的式子非常像导数中与对数相伴而生的函数类型,在导数中对数常与二次式、一次式、分式、根式同时存在,此时求导、求最值很容易判断出单调性,在本题中只需将a-c看作某个函数的值即可,构造函数时要选择在特殊点有特殊值的函数.2.(2021新高考I卷T7)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则()A.ebaB.eaaC.0aebD.0b0,则切线方程为y-b=ex0(x-a),联立方程得y0-b=ex0(x0-a),y0=ex0所以ex0(1-x0+a)=b
3、,所以关于x0的方程ex0(1-x0+a)=b有2个不同的解,设f(x)=ex(1-x+a),则f(x)=ex(1-x+a)-ex=-ex(x-a),由f(x)=0得x=a.所以当xa时,f(x)单调递减.即f(x)的最大值为f(a)=ea,又当x-时,f(x)0,当x+时,f(x)-,所以f(x)=ex(1-x+a)的大致图象如图:因为f(x)的图象与y=b有2个交点,所以0bea.方法二:(图象估算)因为过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,所以(a,b)在曲线y=ex的下方,且在x轴的上方,所以0b0; f(x)是奇函数.【命题意图】本题考查函数的基本性质,意在考查数学抽象及逻辑推理等核心素养.【解析】取f(x)=x4,则f(x1x2)=(x1x2)4=x14x24=f(x1)f(x2),满足;f(x)=4x3,x0时有f(x)0,满足;f(x)=4x3的定义域为R,又f(-x)=-4x3=-f(x),故f(x)是奇函数,满足.答案:f(x)=x4(答案不唯一,f(x)=x2n(nN*)均满足)