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1、 第一章1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运算【素养导引】1.理解空间两个向量夹角的定义.(直观想象)2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律,会求空间向量的数量积.(数学抽象、数学运算)3.掌握投影向量的概念.(数学抽象)4.能够运用空间向量的数量积解决夹角、距离、垂直问题.(数学运算、逻辑推理)一、空间向量的夹角1.定义:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则AOB叫做向量a,b的夹角,记作.2.范围:0.特别地,当=2时,ab.二、空间向量的数量积定义两个非零向量a,b,则|a|b|cos 叫做a,b的数量积,记作ab.即ab=|a|b|cos 性质a
2、bab=0; aa=|a|a|cos =|a|2运算律(a)b=(ab),R;ab=ba(交换律);(a+b)c=ac+bc(分配律)【批注】1.当=0时,两向量同向共线;当=时,两向量反向共线,所以若ab,则=0或.2.零向量与任何向量的数量积都为0.3.夹角公式:cos =abab.4.a=aa.诊断1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)向量与的夹角等于向量与的夹角.()(2)若ab=0,则a=0或b=0.()(3)向量a,b,c,满足(ab)c=a(bc).()提示:(1).与互为相反向量,所以向量与的夹角和向量与的夹角互补.(2).ab=0,a与b都可能是零向量,也可能是a与b
3、都不是零向量,但a与b垂直.(3). 任取三个不共面向量a,b,c,(ab)c是一个数与向量c作数乘,a(bc)是一个数与向量a作数乘,而a,c不在同一个方向上,所以(ab)c与a(bc)不可能相等.2.(教材改编题)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长等于2,则=_.【解析】|=|=22,=60,所以=|cos 60=222212=4.答案:4三、投影向量1.向量a在向量b上的投影向量:将向量a,b平移到同一个平面内,利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=|a|cos b|b|,向量c称为向量a在向量b上的投影向量.2.向量a在平面上的投影向量:分别由向量a的起点A和终点B作
4、平面的垂线,垂足分别为A,B,得到向量,向量称为向量a在平面上的投影向量.这时,向量a,的夹角就是向量a所在直线与平面所成的角.诊断辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)向量a在向量b上的投影向量与向量b的方向相同.()(2)向量a在直线l上的投影向量c与向量a-c垂直.()(3)向量a在平面上的投影向量为c,则向量a所在直线与平面所成的角为.()提示:(1).当2时,反向.(2).根据向量在直线上的投影定义可知,c与a-c垂直.(3).根据向量在平面上的投影定义及直线与平面所成的角的定义可知正确.学习任务一空间向量的数量积运算(数学运算)1.已知向量a和b的夹角为120,且|a|=2,|
5、b|=5,则(2a-b)a等于()A.12B.8+13C.4D.13【解析】选D.(2a-b)a=2a2-ba=2|a|2-|a|b|cos 120=24-25-12=13.2.已知正四面体D-ABC的各棱长为1,点E是AB的中点,则的值为()A.14B.-14C.34D.-34【解析】选A.如图所示,正四面体D-ABC的棱长是1,E是AB的中点.所以=(+)=-12+=-1211cos 60+11cos 60=14.【思维提升】求空间向量的数量积的步骤(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化成已知模和夹角的向量的数量积.(3)代入公式ab=|
6、a|b|cos 求解.学习任务二用数量积证明空间垂直关系(逻辑推理)【典例1】如图,在直三棱柱ABC-ABC中,AC=BC=AA,ACB=90,D,E分别为AB,BB的中点. 求证:CEAD.【证明】设=a,=b,=c,根据题意得|a|=|b|=|c|,且ab=bc=ca=0.所以=b+12c,=-c+12b-12a,所以=b+12c-c+12b-12a=-12c2+12b2=0,所以,即CEAD.【思维提升】用数量积证明两直线垂直的关注点(1)关键:取两直线的方向向量,将其用一组容易求数量积的不共面向量线性表示;(2)方法:证两直线方向向量的数量积为0.【即学即练】如图,在四棱锥P-ABCD
7、中,PA底面ABCD,ADDC,ABDC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.证明:BEPD.【证明】因为E为PC的中点,所以=12(+)=12(-+-)=12(+-)=12(+),又=-,所以=12(-)=0,所以BEPD.学习任务三用数量积求角与距离(数学运算、直观想象)角度1用数量积求角【典例2】已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等,E,F分别为AB,OC的中点,则:(1)向量与向量夹角的余弦值为_.(2)异面直线OE与BF所成角的余弦值为_.【解析】如图,设=a,=b,=c,且|a|=|b|=|c|=1,易知AOB=BOC=AOC=3,则ab=bc=ca=12.因
8、为=12(+)=12(a+b),=-=12-=12c-b,所以=12(a+b)12c-b=14ac+14bc-12ab-12b2=-12.又因为|=|=32,所以cos =-23.(1)向量与向量夹角的余弦值为-23.(2)异面直线OE与BF所成角的余弦值为23.答案:(1)-23(2)23角度2用数量积求距离【典例3】如图所示,在平面角为120的二面角-AB-中,AC,BD,且ACAB,BDAB,垂足分别为A,B.已知AC=AB=BD=6,则线段CD的长为_.【解析】因为ACAB,BDAB,所以=0,=0.因为二面角-AB-的平面角为120,所以=180-120=60.所以=(+)2=+2+
9、2+2=362+262cos 60=144,所以CD=12.答案:12【一题多变】本例若把二面角的平面角的度数改为90,其他条件不变,如图所示,求线段 CD的长.【解析】因为=+=-+,所以=(-+)2=+-2+2-2=36+36+36=108,所以|=63.【思维提升】1.利用向量求异面直线夹角的步骤2.用数量积求距离的关注点(1)解题方法:转化为求向量的模;(2)解题步骤:选择以两点为端点的向量,将此向量表示为几个已知向量的和的形式;求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模;利用公式|a|=aa求解.【即学即练】1.如图,在三棱锥A-BCD中,底面边长与侧棱长均为a,M,N分别是棱A
10、B,CD上的点,且MB=2AM,CN=12ND,则MN的长为_.【解析】因为=+=23+(-)+13(-)=-13+13+23,所以=-13+13+232=19-29-49+49+19+49=19a2-19a2-29a2+29a2+19a2+49a2=59a2.所以|=53a,即MN=53a.答案:53a2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,A1AB=A1AD=120.(1)求线段AC1的长;(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值.【解析】(1)因为=+=+,所以=1+1+4+0+212(-12)+212(-12)=6-2-2=2.(2)因为cos =1212+0+1212+1-4+21(-12)14=-147.所以异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为147. - 9 -