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1、圆学子梦想 铸金字品牌 第一章1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.2空间向量运算的坐标表示【素养导引】1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题.(数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示,会判断两个向量是否共线或垂直.(逻辑推理)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式,并能运用这些公式解决简单几何体中的问题.(逻辑推理、数学运算)一、空间向量运算的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),空间向量的坐标运算法则如下表所示:运算坐标表示加法a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)减法a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)数乘a=(a1,a2,
2、a3),R数量积ab=a1b1+a2b2+a3b3诊断 (教材改编题)已知向量a=(2,-1,3),b=(-1,2,2),则3a+2b等于()A.(1,4,12) B.(8,-7,5)C.(-8,7,-5) D.(4,1,13)【解析】选D.3a=(6,-3,9),2b=(-2,4,4),所以3a+2b=(4,1,13).二、空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则平行ab(b0)a=ba1=b1a2=b2,Ra3=b3垂直abab=0a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b均为非零向量)模|a|=aa=a12+a22+a32夹角co
3、s =ab|a|b|=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32诊断辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)若a=(0,0,1),b=(1,0,0),则ab.()(2) 已知a=(x1,y1,z1),若x1=y1=z1=1,则a为单位向量.()(3) 若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),ab,则a1b1=a2b2=a3b3.()提示:(1).由ab=0,得ab.(2).若x1=y1=z1=1,则|a|=12+12+12=3,所以a不是单位向量.(3).只有当b1,b2,b3均不为0时,a1b1=a2b2=a3b3成立.三、向量的坐标及两点间的距
4、离公式在空间直角坐标系中,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则(1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1);(2)|=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2.诊断(教材改编题)若点A(0,1,2),B(1,0,1),则=_,|=_.【解析】=(1,-1,-1),|=12+(-1)2+(-1)2=3.答案:(1,-1,-1)3学习任务一空间向量的坐标运算(数学运算)1.若a=(2,3,-1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),则a(b+c)的值为()A.(4,6,-5) B.5C.7 D.36【解析】选B.b+c=(2,0,3)+(0,2,2)=(2,2
5、,5),a(b+c)=22+32+(-1)5=5.2.直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,侧棱为3,M,N分别为A1C1,BC的中点,则=()A.2 B.-2 C.10 D.-10【解析】选B.如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),M12,32,3,N32,32,0,所以=(2,0,0),=(-1,0,3),所以=2(-1)+0+0=-2.【思维提升】空间向量坐标运算的步骤(1)将空间向量用坐标表示出来;(2)运用空间向量坐标运算公式计算.学习任务二用向量运算解决平行与垂直问题(数学运算、逻辑推理)【典例1】设a=(1,5,-1),b=(-2,3,
6、5).(1)若(ka+b)(a-3b),则k=_;(2)若(ka+b)(a-3b),则k=_.【解析】ka+b=(k-2,5k+3,-k+5),a-3b=(1+32,5-33,-1-35)=(7,-4,-16).(1)因为(ka+b)(a-3b),所以k-27=5k+3-4=-k+5-16,解得k=-13.(2)因为(ka+b)(a-3b),所以(k-2)7+(5k+3)(-4)+(-k+5)(-16)=0,解得k=1063. 答案:(1)-13(2)1063【思维提升】利用平行与垂直求参数问题的注意事项(1)适当引入参数,建立关于参数的方程;(2)最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的.【即
7、学即练】1.已知a=-5,6,1,b=6,5,0,则a与b()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向【解析】选A.因为a=-5,6,1,b=6,5,0,所以ab=-56+65+10=0,所以ab. 2.设x,yR,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且ab,bc,则|a+b|=()A.22 B.10 C.3 D.4【解析】选C.因为bc,所以2y=-41,所以y=-2,所以b=(1,-2,1).因为ab,所以ab=x+1(-2)+1=0,所以x=1,所以a=(1,1,1),所以a+b=(2,-1,2),所以|a+b|=22+(-1)2+22=3.【
8、补偿训练】已知三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)在同一条直线上,那么()A.a=3,b=-3B.a=6,b=-1C.a=3,b=2 D.a=-2,b=1【解析】选C.根据题意=(1,-1,3),=(a-1,-2,b+4),因为与共线,所以=,所以(a-1,-2,b+4)=(,-,3),所以a-1=,-2=-,b+4=3,解得a=3,b=2,=2.学习任务三用向量运算求夹角和距离(数学运算)角度1求夹角【典例2】(多选题)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成120角的是()A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)
9、【解析】选AC.对于A选项中的向量a1=(-1,1,0),cos =aa1|a|a1|=-122=-12,则=120;对于B选项中的向量a2=(1,-1,0),cos=aa2|a|a2|=122=12,则=60;对于C选项中的向量a3=(0,-1,1),cos=aa3|a|a3|=-122=-12,则=120;对于D选项中的向量a4=(-1,0,1),此时a4=-a,两向量的夹角为180.角度2求距离【典例3】如图,正四棱锥S-ABCD的侧棱长为2,底面边长为3,E是SA的中点,O为底面ABCD的中心. 求CE的长.【解析】连接SO,AC,OB,以O为原点,OA,OB,OS所在直线分别为x轴、
10、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.因为侧棱长为2,底面边长为3,E为SA的中点,所以C-62,0,0,E64,0,24,所以=364,0,24,|=3642+02+242=142,即CE=142.【一题多变】(1)本例条件不变,求异面直线BE与SC所成角的余弦值.【解析】连接SO,AC,OB,以O为原点,OA,OB,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.因为侧棱长为2,底面边长为3,E为SA的中点,所以S0,0,22,C-62,0,0,B0,62,0,E64,0,24,所以=64,-62,24,=-62,0,-22,所以cos ,
11、49519;=-122=-12.故异面直线BE与SC所成角的余弦值为12.(2)本例条件不变,若OGSC,垂足为G,求证:OGBE.【证明】连接SO,AC,OB,以O为原点,OA,OB,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.因为侧棱长为2,底面边长为3,E为SA的中点,所以S0,0,22,C-62,0,0,B0,62,0,E64,0,24,所以=-62,0,-22.因为G在SC上,所以与共线,所以可设=-62,0,-22,R,则=+=0,0,22+-62,0,-22=-62,0,22(1-).因为OGSC,即,所以=0,所以32-12(1-)=0,解得=14.所以=
12、-68,0,328.又=64,-62,24,所以=-632+0+632=0,所以,即OGBE.【思维提升】利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步骤(1)建系:根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系;(2)求坐标:求出相关点的坐标;写出向量的坐标;(3)论证、计算:结合公式进行论证、计算;(4)转化:转化为夹角与距离问题.【即学即练】1.如图,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,A1C的中点E到AB的中点F的距离为()A.2a B.22a C.a D.12a【解析】选B.由题意,得Fa,a2,0,A1(a,0,a),C(0,a,0),所以Ea2,a2,a
13、2,则|=a-a22+a2-a22+0-a22=22a.2.已知a+b=(2,2,23),a-b=(0,2,0),则cos =_.【解析】由已知得a=(1,2,3),b=(1,0,3),所以cos =ab|a|b|=1+0+364=63.答案:633.如图,以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上.(1)当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为M时,求|PM|;(2)当点P是面对角线AB的中点,点Q在面对角线DC上运动时,探究|PQ|的最小值.【解析】由题意知A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D(1,1,1).(1)由PB=2AP得P1,13,23,所以M-1,13,-23,所以|PM|=(-2)2+(-43)2=2133.(2)当点P是面对角线AB的中点时,P1,12,12,点Q在面对角线DC上运动,设点Q(a,1,a),a0,1,则|PQ|=(a-1)2+1-122+a-122=2a2-3a+32=2a-342+38,所以当a=34时,|PQ|取得最小值64,此时点Q34,1,34. - 9 -