考点35立体几何中的向量方法、 (2).docx

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1、 考点35 立体几何中的向量方法一、解答题1.(2019全国卷理科T18)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN平面C1DE.(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.【命题意图】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系,从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值,属于常规题型.【解题指南】(1)利用三角形中位线和A1D􀱀B1C可证得ME􀱀ND,证得四边形MNDE为平行四边形,

2、进而证得MNDE,根据线面平行判定定理可证得结论;(2)建立空间直角坐标系,通过向量法求得两个法向量夹角的余弦值,进而可求得所求二面角的正弦值.【解析】(1)连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以MEB1C,且ME=12B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND=12A1D.由题设知A1B1􀱀DC,可得B1C􀱀A1D,故ME􀱀ND,因此四边形MNDE为平行四边形,MNED.又MN平面EDC1,所以MN平面C1DE.(2)由已知可得DEDA.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(2

3、,0,0),A1(2,0,4),M(1,3,2),N(1,0,2),=(0,0,-4),=(-1,3,-2),=(-1,0,-2),=(0,-3,0).设m=(x,y,z)为平面A1MA的法向量,则所以-x+3y-2z=0,-4z=0,可取m=(3,1,0).设n=(p,q,r)为平面A1MN的法向量,则所以-3q=0,-p-2r=0.可取n=(2,0,-1).于是cos=mn|m|n|=2325=155,所以二面角A-MA1-N的正弦值为105.2.(2019天津高考理科T17)如图,AE平面ABCD,CFAE,ADBC,ADAB,AB=AD=1,AE=BC=2.(1)求证:BF平面ADE.

4、(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值.(3)若二面角E-BD-F的余弦值为13,求线段CF的长.【命题意图】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.【解析】依题意,可以建立以A为原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).设CF=h(h0),则F(1,2,h).(1)依题意,=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又=(0,2,h),可得=0,又因为直线BF平面A

5、DE,所以BF平面ADE.(2)依题意,=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(-1,-2,2).设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则即-x+y=0,-x+2z=0,不妨令z=1,可得n=(2,2,1).因此有cos􀎮,n􀎯=-49.所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49.(3)设m=(x,y,z)为平面BDF的法向量,则即-x+y=0,2y+z=0,不妨令y=1,可得m=1,1,-2.由题意,有|cos􀎮m,n􀎯|=|mn|m|n|=4-232+42=13,解得h=87.经检验,符合题意.所以线段CF的长为87.