考点35立体几何中的向量方法、.docx

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1、 考点35 立体几何中的向量方法一、 解答题1.(2020全国卷高考理科T18)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD.ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,PO=66DO.(1)证明:PA平面PBC;(2)求二面角B-PC-E的余弦值.【命题意图】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小,考查学生空间想象能力以及数学运算能力,属于基础题.【解题指南】(1)要证明PA平面PBC,只需证明PAPB,PAPC即可;(2)以O为坐标原点,的方向为y轴正方向建立空间直角坐标系,分别算出平面PCB的法向量为n,平面PCE的法向量为m,利用公式cos

2、49518;m,n􀎯=nm|n|m|计算即可得到答案.【解析】(1)设DO=a,由题设可得PO=66a,AO=33a,AB=a,PA=PB=PC=22a.因此PA2+PB2=AB2,从而PAPB.又PA2+PC2=AC2,从而PAPC.所以PA平面PBC.(2)以O为坐标原点,的方向为y轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题设可得E(0,1,0),A(0,-1,0),C-32,12,0,P0,0,22.所以=-32,-12,0,=0,-1,22.设m=(x,y,z)是平面PCE的法向量,则,即-y+22z=0-32x-12y=0,可取m=-33,1,

3、2.由(1)知=0,1,22是平面PCB的一个法向量,记n=,则cos=nm|n|m|=255.所以二面角B-PC-E的余弦值为255.2.(2020全国卷理科T19)(12分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.(1)证明:点C1在平面AEF内;(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值.【命题意图】本题考查点在平面的证明,同时也考查了利用空间向量法求解二面角,考查推理能力与计算能力.【解析】(1)在棱CC1上取点G,使得C1G=12CG,连接DG,FG,C1E,C1F,因为C1G=12C

4、G,BF=2FB1,所以CG=23CC1=23BB1=BF且CGBF,所以,四边形BCGF为平行四边形,所以BC􀱀GF,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD􀱀BC,所以AD􀱀GF,所以四边形ADGF为平行四边形.则AF􀱀DG,同理可证四边形DEC1G为平行四边形,所以C1E􀱀DG,所以C1E􀱀AF,则四边形AEC1F为平行四边形,因此点C1在平面AEF内.(2)以点C1为坐标原点,C1D1、C1B1、C1C所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A2,1,3、A1

5、2,1,0、E2,0,2、F0,1,1,=0,-1,-1,=-2,0,-2,=0,-1,2,=-2,0,1,设平面AEF的法向量为m=x1,y1,z1,由,得-y1-z1=0-2x1-2z1=0,取z1=-1,得x1=y1=1,则m=1,1,-1.设平面A1EF的法向量为n=x2,y2,z2,由,得-y2+2z2=0-2x2+z2=0,取z2=2,得x2=1,y2=4,则n=1,4,2,cos=mnmn=3321=77,设二面角A-EF-A1的平面角为,则cos=77,所以sin =1-cos2=427.因此,二面角A-EF-A1的正弦值为427.3.(2020新高考全国卷)如图,四棱锥P-A

6、BCD的底面为正方形,PD底面ABCD,设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明:l平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.【命题意图】本题主要考查空间线面垂直关系及线面角的求解,考查空间想象力与基本计算能力,体现了直观想象与逻辑推理的核心素养.【解析】(1)因为PD底面ABCD,所以PDAD.又底面ABCD为正方形,所以ADDC,又DCPD=D,DC,PD平面PDC,所以AD平面PDC.因为ADBC,AD平面PBC,BC平面PBC,所以AD平面PBC,由平面PAD与平面PBC的交线为l,可得lAD.因此l平面PDC.(2)以D为坐标

7、原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),=(0,1,0),=(1,1,-1).由(1)可设Q(a,0,1),则=(a,0,1),设n=(x,y,z)是平面QCD的一个法向量,则即ax+z=0,y=0.可取n=(-1,0,a).所以cos􀎮n,􀎯=-1-a31+a2.设PB与平面QCD所成角为,则sin =33|a+1|1+a2=331+2aa2+1.因为331+2aa2+163,当且仅当a=1时等号成立,所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63.【规律总结】利用

8、向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(锐角或直角时)或其补角(钝角时);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线与平面所成的角.4.(2020北京高考T16)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点.(1)求证:BC1平面AD1E;(2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值.【命题意图】考查线面平行的判定,线面角的求法.【解析】不妨设棱长AB=2,如图建系,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(2,0,0),A1(0,0,2),B

9、1(0,2,2),C1(2,2,2),D1(2,0,2),E(0,2,1),(1)=(2,0,2),=(2,0,2),=(0,2,1),设平面AD1E的法向量m=(x,y,z),则即2x+2z=0,2y+z=0,不妨取m=(-2,-1,2),m=0,m,又因为BC1平面AD1E,所以BC1平面AD1E;(2)=(0,0,2),所以cos=423=23,所以直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为23.5.(2020天津高考T17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,ACBC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M为棱A1B1

10、的中点.(1)求证:C1MB1D;(2)求二面角B-B1E-D的正弦值;(3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.【命题意图】本题考查利用空间向量法证明线线垂直,求二面角和线面角的正弦值,考查推理能力与运算能力,属于中档题.【解题指南】以C为原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.(1)计算出向量和的坐标,得出=0,即可证明出C1MB1D;(2)可知平面BB1E的一个法向量为,计算出平面B1ED的一个法向量为n,利用空间向量法计算出二面角B-B1E-D的余弦值,利用同角三角函数的基本关系可求解结果;(3)利用空间向量法可求得直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.【

11、解析】依题意,以C为原点,分别以,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),A1(2,0,3),B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3).(1)依题意,=(1,1,0),=(2,-2,-2),从而=2-2+0=0,所以C1MB1D.(2)依题意,=(2,0,0)是平面BB1E的一个法向量,=(0,2,1),=(2,0,-1).设n=(x,y,z)为平面DB1E的一个法向量,则即2y+z=0,2x-z=0,不妨设x=1,可得n=(1,-1,2).cos=226=66,所以sin

12、=306.所以,二面角B-B1E-D的正弦值为306.(3)依题意,=(-2,2,0).由(2)知n=(1,-1,2)为平面DB1E的一个法向量,于是cos=-4226=-33.所以,直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为33.6.(2020江苏高考T22)在三棱锥A-BCD中,已知CB=CD=5,BD=2,O为BD的中点,AO平面BCD,AO=2,E为AC的中点.(1)求直线AB与DE所成角的余弦值;(2)若点F在BC上,满足BF=14BC,设二面角F-DE-C的大小为,求sin 的值.【命题意图】本题主要考查利用空间向量法求异面直线所成的角及二面角.重点考查如何建立空间直角坐标系,求出相应

13、点的坐标,再利用公式求角.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(1,0,0),C(0,2,0),D(-1,0,0),E(0,1,1).(1)=1,0,-2,=1,1,1,则cos=1515.故直线AB与DE所成角的余弦值为1515.(2)由已知得F34,12,0,=74,12,0,=(1,1,1),设平面DEF的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则x1+y1+z1=0,74x1+12y1=0,令x1=2,得y1=-7,z1=5,所以n1=(2,-7,5).设平面DEC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),又=(1,2,0),则x2+y2+z2=0,x2+2y2=0,令x2=2,得y2=-1,z2=-1,所以n2=(2,-1,-1),所以|cos |=|n1n2|n1|n2|=6678=1313,所以sin =1-cos2=1-113=23913.