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1、轨迹法轨迹法定义法定义法待定系数法待定系数法直接法直接法代入法代入法参数法参数法求曲线方程第1页例1 动点P（x，y）到定点A（3，0）距离比它到定直线x=-5距离少2。求：动点P轨迹方程。O3-5Axym解法一轨迹法轨迹法思索：怎样化去绝对值号？P点在直线左侧时，|PH|-5P如图，PHy 2 =12x第2页例1 动点P（x，y）到定点A（3，0）距离比它到定直线x=-5距离少2。求：动点P轨迹方程。3-5Axym解法一 轨迹法轨迹法解法二定义法定义法如图，如图，-3n作直线 n：x=-3则点则点P到定点到定点A（3，0）与定直线）与定直线 n：x=-3 等距离。等距离。P（x，y）故，点故
2、，点P轨迹是轨迹是以以为焦点，为焦点，以以为准线抛物线。为准线抛物线。An依题设知 x -5,y 2 =12x所以动点所以动点P轨迹方程为轨迹方程为y 2 =12x第3页例例2已知圆A：(x+2)2+y2=1与点A（-2，0），B（2，0），分别求出满足以下条件动点P轨迹方程.（1）PAB周长为10;（2）圆P与圆A外切，且点B在动圆P上（P为动圆圆心）;（3）圆P与圆A外切且与直线x=1相切（P为动圆圆心）.第4页【分析】（1）依据题意，先找出等价条件，再依据条件判定曲线类型，最终写出曲线方程.（1）|PA|+|PB|=10-|AB|=6.（2）|PA|-|PB|=1.（3）P点到A距离比P
3、点到直线x=1距离多1，即P点到A距离等于P点到直线x=2距离.第5页【解析】(1)依据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10，即|PA|+|PB|=64=|AB|，故P点轨迹是椭圆，且2a=6，2c=4，即a=3，c=2，b=，所以其方程为 （y0）.（2）设圆P半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r，所以|PA|-|PB|=1.由双曲线定义知，P点轨迹为双曲线右支，且2a=1，2c=4，即a=,c=2,b=，所以其方程为第6页 （3）依题意，知动点P到定点A距离等于到定直线x=2距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p=4.所以其方程为y2=-8x.【小结】解题时应注意动点几何特征，
4、若盲目进行代数运算则可能较繁琐.第7页例2 等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为 ，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过点A，B。求：该椭圆方程。O解xyACBO|BC|=如图，设椭圆另一个焦点为DD以直线DC为x轴，线段DC中点为原点建立直角坐标系。设椭圆方程为（ab0)则|AD|+|AC|=2a，|BD|+|BC|=2a 所以，|AD|+|BD|+|AC|+|BC|=4a即第8页例2 等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为 ，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过点A，B。求：该椭圆方程。O解xyACBO得D|AD|+|AC|=2a|AC|=
5、|AD|=在ADC中|DC|2=|AD|2+|AC|2=（）2 +16=242cc2=6，b2=a2c2=（2+）2 -6=故所求椭圆方程为注：重视定义！注：重视定义！第9页例3设动直线l垂直于x轴，且与椭圆交于A、B两点，P是l上满足 =1点，求点P轨迹方程.【分析】设P点坐标为(x,y)，用直接法求得P点轨迹方程.要注意x范围经过直线l与椭圆相交取得.直接法直接法第10页【解析】设点P坐标为(x,y)，由方程x2+2y2=4得2y2=4-x2，y=，A、B两点坐标分别为(x,),(x,-)，又 =1.(0,-y)(0,-y)=1，即y2-=1，第11页 又直线l与椭圆交于两点，-2x2 点
6、P轨迹方程为 （-2x2）【小结】（1）“轨迹”与“轨迹方程”是两个不一样概念，前者要指出曲线形状、位置、大小等特征，后者指方程(包含范围).（2）求动点轨迹时应注意它完备性与纯粹性.化简过程若破坏了方程同解性，要注意补上遗漏点或者要挖去多出点.第12页 例4 设椭圆方程为 .过点M(0,1)直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满 ，当l绕点M旋转时，求动点P轨迹方程.代入法代入法【解析】设点P坐标为（x,y），A（x1,y1）,B(x2,y2),因A，B在椭圆上，所以 第13页第14页当x1=x2时，点A，B坐标为（0，2），（0，-2），这时点P坐标为（0，0），也满足，所以点P轨迹
7、方程为4x2+y2-y=0.第15页 例5设椭圆与双曲线有公共焦点F1（-4，0），F2（4，0），而且椭圆长轴长是双曲线实轴长2倍，试求椭圆与双曲线交点轨迹.参数法参数法【解析】法一：设双曲线实半轴长为a,则椭圆长半轴长为2a，由题意得2a4，由半焦距为4，可得椭圆与双曲线方程为 第16页设点P坐标为（x,y），A（x1,y1）,B(x2,y2),因A，B在椭圆上，所以 由4-可得第17页将此式代入式可得a2=2|x|，再把代入式，消去a，得 当x0，得（x-5）2+y2=9;当x0，得（x+5）2+y2=9;由2a4，得2|x|8.所以，所求轨迹为两个圆，并除去它们与y轴交点.第18页法二
8、：设椭圆与双曲线交点P（x，y），由椭圆与双曲线定义及已知条件，可得|PF1|+|PF2|=2|PF1|-|PF2|，即|PF1|=3|PF2|或|PF2|=3|PF1|，将P点坐标（x，y）代入，化简可得 （x+5）2+y2=9及（x-5）2+y2=9.因交点P不会在x轴上，y0，故2|x|8，所以所求轨迹方程是（x+5）2+y2=9（y0），第19页（x-5）2+y2=9（y0）.轨迹为两个圆，并除去它们与y轴交点.【小结】因为探讨对象是“交点轨迹”，求轨迹方程过程是一个创造性“建模”过程，并不能完全依靠已经有，所以，充分认清题设条件后或选择适当参数，建立方程组，消去参数后就得“交点轨迹方
9、程”（如方法一）或选择依据几何等式传递，构建新几何条件（如方法二）都是常见解题思绪第20页1 1求圆锥曲线轨迹方程要注意利用圆锥曲线定义解求圆锥曲线轨迹方程要注意利用圆锥曲线定义解题，从而简化解题过程题，从而简化解题过程.2 2求关于轴对称曲线方程普通步骤：（求关于轴对称曲线方程普通步骤：（1 1）设所求）设所求曲线上任一点曲线上任一点P(x,y)P(x,y)；（；（2 2）求出其关于点或轴对称点）求出其关于点或轴对称点p(x,y)p(x,y)；（；（3 3）将）将pp坐标代入已知曲线得所求曲线方程坐标代入已知曲线得所求曲线方程.3 3包括多个动点轨迹问题，可用动点代入法或参数包括多个动点轨迹
10、问题，可用动点代入法或参数法求解，分清主动点和从动点，选择适当参数是解题关键法求解，分清主动点和从动点，选择适当参数是解题关键.4 4求轨迹要注意取值范围和求轨迹要注意取值范围和“杂点杂点”去除去除.规规律律总总结结第21页 基础训练1动点P与定点A(-1,0)，B(1,0)连线斜率之积为-1，则P点轨迹方程是 ()Ax2+y2=1 Bx2+y2=1(x1)Cx2+y2=1(x0)Dy=【解析】直接法B第22页2设P为双曲线 上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，则点M轨迹方程为x2-4y2=1【解析】（代入法）设P(x1,y1)，M(x,y)则x1=2x，y1=2y，代入得x2-4y2=
11、1.3两条直线ax+y+1=0和x-ay-1=0(a1)交点轨迹方程是第23页【解析】（参数法）ax+y+1=0，x-ay-1=0.y+x得y2+y+x2-x=0,即 .a1 x1 x0 y0 且 y-1第24页4已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x-4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M轨迹方程是【解析】(定义法)动圆M与两圆C1，C2都要相切，有四种情况：动圆M与两圆都相外切，动圆M与两圆都相内切；动圆M与圆C2内切、与圆C1外切；第25页动圆M与圆C1内切、与圆C2外切.在情况下，显然，动圆圆心M轨迹方程为x=0；在情况下，如图8-55-1设动圆M半径为
12、r，则|MC1|=r+，|MC2|=r-，故得|MC1|-|MC2|=2 ；在情况下，同理得|MC2|-|MC1|=2 .由得|MC1|-|MC2|=2 .依据双曲线定义，可知点M轨迹是以C1（-4，0）、C2（4，0）为焦点双曲线，且a=，c=4，b2=c2-a2=14，其方程为第26页 知识关键点1求轨迹方程普通步骤建系、设点、列式、代入、化简、检验（检验就是要检验点轨迹纯粹性和完备性）2求轨迹方程惯用方法 （1）直接法：题目中条件有显著等量关系，或者能够利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点（x,y）解析式.（2）定义法：分析题设几何条件，依据圆锥曲线定义，判断轨迹是何种类型曲线，直接求出该曲线方程.第27页 （3）代入法：假如轨迹动点P（x，y）依赖于另一动点Q（a，b），而Q（a，b）又在某已知曲线上，则可先列出关于x、y、a、b方程组，利用x、y表示出a、b，把a、b代入已知曲线方程便得动点P轨迹方程.（4）参数法：假如轨迹动点P（x，y）坐标之间关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数法中常选角、斜率等为参数.3注意求“轨迹”与“轨迹方程”区分与联络 普通说来，若是“求轨迹方程”，求得方程就能够了；若是“求轨迹”，求得方程还不够，还应指出方程所表示曲线类型.第28页