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1、索引第七章 立体几何与空间向量补上一课与球有关的切、接问题研研究究与与球球有有关关的的切切、接接问题，既既要要运运用用多多面面体体、旋旋转体体的的知知识，又又要要运运用用球球的的几几何何性性质，要要特特别注注意意多多面面体体、旋旋转体体的的有有关关几几何何元元素素与球的半径之与球的半径之间的关系，解决此的关系，解决此类问题的关的关键是确定球心是确定球心.题型分析内容索引分层精练巩固提升索引题型一外接球角度1补形法存在侧棱与底面垂直B索引 解解析析以以线段段PA，PB，PC为相相邻三三条条棱棱的的长方方体体PABBCAPC被被平平面面ABC所所截截的的三三棱棱锥PABC符符合合要要求求，如如图，
2、长方方体体PABBCAPC与与三三棱棱锥PABC有有相相同同的的外外接接球球，其外接球直径其外接球直径为长方体体方体体对角角线PP，设外接球的半径外接球的半径为R，则(2R)2PP2PA2PB2PC212223214，则所求球的表面所求球的表面积S4R2(2R)214.索引角度2补形法对棱相等A索引 索引补形法的解形法的解题策略策略(1)侧面面为直直角角三三角角形形或或正正四四面面体体，或或对棱棱均均相相等等的的模模型型，可可以以放放到到正正方方体体或或长方体中去求解；方体中去求解；(2)直三棱直三棱锥补成三棱柱求解成三棱柱求解.感悟提升索引角度3截面法A索引与球截面有关的解与球截面有关的解题
3、策略策略(1)定定球球心心：如如果果是是内内切切球球，球球心心到到切切点点的的距距离离相相等等且且为半半径径；如如果果是是外外接接球球，球心到接点的距离相等且球心到接点的距离相等且为半径；半径；(2)作截面：作截面：选准最佳角度作出截面，达到空准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的平面化的目的.感悟提升索引角度4定义法A解析解析如如图，设点点P在底面的射影在底面的射影为H，四棱四棱锥PABCD的的侧棱棱长均相等，均相等，HAHBHCHD，A，B，C，D四点共四点共圆.索引 ABBC，ABC90，ADC90.索引到到各各个个顶点点距距离离均均相相等等的的点点为外外接接球球的的球球心心，借借
4、助助有有特特殊殊性性底底面面的的外外接接圆圆心心，找找其其垂垂线，则球球心心一一定定在在垂垂线上上，再再根根据据到到其其他他顶点点距距离离也也是是半半径径，列列关系式求解即可关系式求解即可.感悟提升索引 D索引 索引 索引 8索引 索引题型二内切球D解解析析如如图，设S在在平平面面ABC内内的的射射影影为O，R1为球球O1的的半半径径，R2为球球O2的的半半径径，F，H分分别为球球O1，球球O2与与侧面面SBC的切点的切点.索引 索引“切切”的的问题处理理规律律(1)找准切点，通找准切点，通过作作过球心的截面来解决球心的截面来解决.(2)体体积分割是求内切球半径的常用方法分割是求内切球半径的常
5、用方法.感悟提升索引 训训练练2(2023南南京京调研研)已已知知正正方方形形ABCD的的边长为2，E为边AB的的中中点点，F为边BC的的中中点点，将将AED，DCF，BEF分分别沿沿DE，DF，EF折折起起，使使A，B，C三三点点重重合合于于点点P，则三三棱棱锥PDEF的的外外接接球球与与内内切切球球的的表表面面积比比值为()A.6 B.12 C.24 D.30C解解析析如如图，依依题意意可可知知ADAE，CDCF，BEBF，所以所以PDPE，PFPD，PEPF，如，如图.所所以以在在三三棱棱锥PDEF中中，PD，PE，PF两两两两垂垂直，且直，且PEPF1，PD2，索引所以三棱所以三棱锥P
6、DEF的外接球即的外接球即为以以PD，PE，PF为邻边的的长方体的外接球，方体的外接球，则其外接球的表面其外接球的表面积为4R26.因因为三棱三棱锥PDEF的表面的表面积为正方形正方形ABCD的面的面积，索引双半径单交线公式与双距离单交线公式拓展视野索引解析解析法一法一如如图，取，取AB的中点的中点为D，连接接PD，CD，因因为PAPBa，所以所以PDAB.因因为平平面面PAB平平面面ABC，平平面面PAB平平面面ABCAB，PD 平面平面PAB，所以所以PD平面平面ABC，同理得同理得CD平面平面PAB.索引设点点O1为等等边ABC的外心，的外心，过点点O1作作O1EPD，则O1E平面平面A
7、BC，易得直易得直线O1E上任意一点到上任意一点到A，B，C三点的距离相等三点的距离相等.设O2为PAB的外心，的外心，则O2在直在直线PD上，上，过点点O2作作O2OCD，交，交O1E于点于点O，则点点O为三棱三棱锥PABC外接球的球心，外接球的球心，索引设PAB的外接的外接圆的半径的半径为r，索引索引法二法二如如图，取，取AB的中点的中点为D，连接接PD，CD，因因为PAPBa，所以所以PDAB.因因为平面平面PAB平面平面ABC，平面平面PAB平面平面ABCAB，PD 平面平面PAB，所以所以PD平面平面ABC.同理得同理得CD平面平面PAB.设点点O1为等等边ABC的外心，的外心，过点
8、点O1作作O1EPD，则O1E平面平面ABC，易得直，易得直线O1E上任意一点到上任意一点到A，B，C三点的距离相等，三点的距离相等，即三棱即三棱锥PABC外接球的球心外接球的球心O在直在直线O1E上上.索引以以D为坐坐标原点原点,以以DB,DC，DP所在直所在直线分分别为x，y，z轴建立空建立空间直角坐直角坐标系，系，索引法三法三(双半径双半径单交交线公式公式)设ABC的外接的外接圆半径半径为R1，索引设三棱三棱锥PABC外接球的半径外接球的半径为R，且平面且平面PAB平面平面ABCAB，索引D解析解析法一法一如如图，取，取PC的中点的中点O，连接接OA，OB，由由题意得意得PABC，又因又
9、因为ABBC，PAABA，PA，AB 平面平面PAB，所以所以BC平面平面PAB，所以所以BCPB，索引索引索引索引即即ACBDBC90，将三棱将三棱锥ABCD放置于直棱柱放置于直棱柱BDECFA中中，如如图所示，所示，由二面角由二面角ABCD的平面角的平面角为60，即三棱柱的外接球即即三棱柱的外接球即为三棱三棱锥的外接球，的外接球，外接球的球心外接球的球心O在上、下底面三角形外心的在上、下底面三角形外心的连线的中点，的中点，索引在在BDE中，中，BDBE2，EBD60，可得可得DE2，设外接球的半径外接球的半径为R，BDE的外接的外接圆的半径的半径为r，索引法二法二(双距离双距离单交交线公式
10、公式)在在ABC中，中，故故CA2BC2AB2，则ACBC，索引训训练练2 如如图，已已知知平平行行四四边形形ABCD中中，ACABm，BAD120，将将ABC沿沿对角角线AC翻翻折折至至AB1C所所在在的的位位置，若二面角置，若二面角B1ACD的大小的大小为120，则过A，B1，C，D四点的外接球的表面四点的外接球的表面积为_.解解析析法法一一由由已已知知得得B1AC与与DAC均均为边长是是m的的正正三三角角形形，取取AC中点中点G，连接接DG，B1G，如，如图，则有有DGAC，B1GAC，索引于是得于是得B1GD是二面角是二面角B1ACD的平面角，的平面角，则B1GD120，显然有然有AC
11、平面平面B1GD，即有平面，即有平面B1GD平面平面B1AC，平面，平面B1GD平面平面DAC，令令正正B1AC与与正正DAC的的中中心心分分别为E，F，过E，F分分别作作平平面面B1AC，平平面面DAC的垂的垂线，则两垂两垂线都在平面都在平面B1GD内，它内，它们交于点交于点O，从而得点从而得点O是是过A，B1，C，D四点的外接球球心，四点的外接球球心，连接接OA，则OA为该外接球半径，外接球半径，索引于是得于是得OGF60，索引法二法二易知易知AB1CCDA，且二者都是，且二者都是边长为m的等的等边三角形，三角形，则AB1C与与ADC的外接的外接圆的的圆心到底心到底边AC的距离相等，的距离
12、相等，FENCENGJINGLIAN GONGGUTISHENG分层精练 巩固提升3 3索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16C【A级 基础巩固】解析解析设正方体的外接球的半径正方体的外接球的半径为R，内切球的半径，内切球的半径为r，棱，棱长为1，则正方体的外接球的直径正方体的外接球的直径为正方体的体正方体的体对角角线长，正方体内切球的直径正方体内切球的直径为正方体的棱正方体的棱长，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16C解解析析由由题意意可可采采用用补形形法法，考考虑到到四四面面体体ABCD的的对棱棱相相等等，所所以以将将四四面面体体放
13、放入入如如图所所示示的的长、宽、高高分分别为x，y，z的的长方体中，方体中，并且并且x2y23，x2z25，y2z24，所以四面体所以四面体ABCD的外接球的表面的外接球的表面积为S4R26.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16D索引索引12345678910 11 12 13 14 15 164.已已知知A，B，C为球球O的的球球面面上上的的三三个个点点，O1为ABC的的外外接接圆.若若O1的的面面积为4，ABBCACOO1，则球球O的表面的表面积为()A.64 B.48 C.36 D.32A解析解析如如图所示，所示，设球球O的半径的半径为R，O1的半径的半径为
14、r，因因为O1的面的面积为4，所以所以4r2，解解得得r2，又又ABBCACOO1，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16根据球的截面性根据球的截面性质OO1平面平面ABC，所以所以OO1O1A，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16A索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16 A解析解析取取AB的中点的中点D，连接接CD，SD，如，如图，因因为AB是等腰直角三角形是等腰直角三角形ABC的斜的斜边，所以所以D是球是球O被平面被平面ABC所截所截圆的的圆心，心，CD1.又又SASBSCAB2，又点又点D是是AB的中点
15、，的中点，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16 而而SD2CD24SC2，所以所以SDC90，即，即SDCD，而而CDABD，CD，AB 平面平面 ABCABC，则SD平面平面ABC，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 167.已已知知各各顶点点都都在在一一个个球球面面上上的的正正四四棱棱锥的的高高为3，体体积为6，则这个个球球的的表表面面积为()A.16 B.20 C.24 D.32A设正四棱正四棱锥外接球的半径外接球的半径为R，则OCR，OO13R，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16A索引索引12345
16、678910 11 12 13 14 15 16设该圆锥的外接球的球心的外接球的球心为O，半径，半径为R，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 169.在在三三棱棱锥ABCD中中，若若AD平平面面BCD，ABBC，ADBD2，CD4，点点A，B，C，D在同一个球面上，在同一个球面上，则该球的表面球的表面积为_.20解解析析根根据据题意意得得，BC平平面面ABD，则BCBD，即即AD，BC，BD三三条条线两两两两垂垂直直，所所以以可可将将三三棱棱锥ABCD放放置置于于长方体内，如方体内，如图所示，所示，该三三棱棱锥的的外外接接球球即即为长方方体体的的外外接接球球，球球心心
17、为长方方体体体体对角角线的中点，的中点，即外接球的半径即外接球的半径为长方体体方体体对角角线长的一半，的一半，此此时AC为长方体的体方体的体对角角线，即，即为外接球的直径，外接球的直径，所以所以该球的表面球的表面积S4R2AC2(2242)20.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 1610.如如图所所示示是是古古希希腊腊数数学学家家阿阿基基米米德德的的墓墓碑碑文文，墓墓碑碑上上刻刻着着一一个个圆柱柱，圆柱柱内内有有一一个个内内切切球球，这个个球球的的直直径径恰恰好好与与圆柱柱的的高高相相等等，相相传这个个图形形表表达达了了阿阿基基米米德德最最引引以以为豪的豪的发现.我
18、我们来重温来重温这个个伟大大发现，圆柱的体柱的体积与与球球的的体体积之比之比为_，圆柱的表面柱的表面积与球的表面与球的表面积之之比比为_.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16解析解析由由题意，知意，知圆柱底面半径柱底面半径为r，球的半径，球的半径为R，又又S球球4R2，S柱柱2r22rh2R22R2R6R2.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 1611.(2023南南昌昌调研研)如如图，在在底底面面边长为4，高高为6的的正正四四棱棱柱柱中中有有两两个个球球，大大球球与与该正正四四棱棱柱柱的的五五个个面面均均相相切切，小小球球在在大大球球上
19、上方方且且与与该正正四四棱棱柱柱的的三三个个面面相相切切，也也与与大大球球相切，相切，则小球的半径小球的半径为_.解析解析由由题意可知大球的半径意可知大球的半径R2，设小球的半径小球的半径为r(0r2)，大大球球的的球球心心为O，小小球球的的球球心心为C，E为小小球球与与上上底底面面的的切切点，如点，如图所示，所示，连接接CO，CE，过点点O作作ODCE交交EC的延的延长线于点于点D，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16由由CO2CD2OD2，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16所以所以AB2BC216AC2，即，即ABC为直角三角形
20、直角三角形.故故ABC外接外接圆的的圆心心为斜斜边AC的中点的中点.取取AC的中点的中点为O1，连接接PO1，则PO1AC.由平面由平面PAC平面平面ABC，得，得PO1平面平面ABC.该三棱三棱锥外接球的球心在外接球的球心在线段段PO1上上.设球心球心为O，连接接OA，则OAOP，且均，且均为外接球的半径外接球的半径.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16A【B级 能力提升】设球球O的的半半径径为R，该棱棱台台上上、下下底底面面的的外外接接圆的的圆心心分分别为O1，O2，连接接O1O2，则O1O21
21、，其外接球的球心，其外接球的球心O在直在直线O1O2上上.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16解得解得OO14(舍去舍去)；所以所以R225，所以所以该球的表面球的表面积为S4R2100，综上，上，该球的表面球的表面积为100.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16C解析解析该四棱四棱锥的体的体积最大，即以底面外接最大，即以底面外接圆和和顶点点O组成的成的圆锥体体积最大，最大，设圆锥的高的高为h(0h1)，底面半径，底面半径为r，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引索引12345678910 11 12
22、 13 14 15 16索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16当平面当平面ADE平面平面ABE时，三棱，三棱锥DABE的体的体积最大，此最大，此时DF平面平面ABE，所以所以O是三棱是三棱锥DABE外接球的球心，外接球的球心，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16解解析析设三三棱棱锥ABCD的的内内切切球球球球心心为O，球球O切切三三棱棱锥的的侧面面ACD于点于点F，取，取CD的中点的中点E(如如图)，连接接BE，设正三角形正三角形BCD的中心的中心为点点G，则G在在线段段BE上上.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16ACAD，E为CD的中点，的中点，由正棱由正棱锥的性的性质可知，可知，AG平面平面BCD.BE 平面平面BCD，AGBE，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16取取BC的中点的中点H，连接接AH，EH，DH，设球球O切切侧面面ABC于点于点M，连接接FM，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16设BD的中点的中点为Q，连接接EQ，HQ，故故EHQ为等等边三角形，三角形，设球球O切切侧面面ABD于点于点N，连接接NM，NF，易知，易知FMN为等等边三角形，三角形，