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1、 补上一课与球有关的切、接问题题型分析研究与球有关的切、接问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又要运用球的几何性质，要特别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系，解决此类问题的关键是确定球心.题型一外接球角度1补形法存在侧棱与底面垂直例1 已知三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA1，PB2，PC3，则三棱锥PABC的外接球的表面积为()A. B.14C.56 D.答案B解析以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体PABBCAPC被平面ABC所截的三棱锥PABC符合要求，如图，长方体PABBCAPC与三棱锥PABC有相同的外接球，其外接球直径为长方体体对角线PP，设
2、外接球的半径为R，则(2R)2PP2PA2PB2PC212223214，则所求球的表面积S4R2(2R)214.角度2补形法对棱相等例2 已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为()A. B. C. D.答案A解析如图将棱长为1的正四面体B1ACD1放入正方体ABCDA1B1C1D1中，且正方体的棱长为1cos 45，所以正方体的体对角线AC1，所以正方体外接球的半径R，所以正方体外接球的体积为R3，因为正四面体的外接球即为正方体的外接球，所以正四面体的外接球的体积为.感悟提升补形法的解题策略(1)侧面为直角三角形或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中
3、去求解；(2)直三棱锥补成三棱柱求解.角度3截面法例3 (2021全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且ACBC，ACBC1，则三棱锥OABC的体积为()A. B. C. D.答案A解析如图所示，因为ACBC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB.连接OO1，则OO1平面ABC，OO1，所以三棱锥OABC的体积VSABCOO111.感悟提升与球截面有关的解题策略(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；(2)作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的.角度4定义法例4 (2023德州质检)已知四棱锥PA
4、BCD的侧棱长均相等，其各个顶点都在球O的球面上，ABBC，ABC90，AD2，CD2，三棱锥PABC的体积为，则球O的表面积为()A.25 B. C.32 D.答案A解析如图，设点P在底面的射影为H，四棱锥PABCD的侧棱长均相等，HAHBHCHD，A，B，C，D四点共圆.ABBC，ABC90，ADC90.AD2，CD2，AC4，ABBC2.三棱锥PABC的体积为，SABCPH，PH4，设球O的半径为R，(4R)222R2，解得R，则球O的表面积S4R225.故选A.感悟提升到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距
5、离也是半径，列关系式求解即可.训练1 (1)(2023河南顶级名校联考)四面体的四个顶点都在半径为R1的球O1上，该四面体各棱长都相等，如图.正方体的八个顶点都在半径为R2的球O2上，如图.八面体的六个顶点都在半径为R3的球O3上，该八面体各棱长都相等，四边形ABCD是正方形，如图.设四面体、正方体、八面体的表面积分别为S4，S6，S8.若R1R2R3，则()A.S8S4S6 B.S4S8S6C.S4S6S8 D.S4S6S8答案D解析设正四面体的棱长为a4，如图正四面体ABCD内接于棱长为的正方体内，则易求R1a4，a4，S44aR；设正方体的棱长为a6，则2R2a6，a6，S66a8R；设
6、八面体的棱长为a8，其外接球球心为AC的中点，则a8R3，S88a4R.R1R2R3，设R1R，R2R，R3R，S4S6S88R2.故选D.(2)(2023天津模拟)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上.若该棱柱的体积为，AB2，AC1，BAC60，则外接球的表面积为_.答案8解析由AB2，AC1，BAC60及余弦定理可得BC，所以AC2BC2AB2，ACB90，所以底面外接圆的圆心为斜边AB的中点.设ABC的外接圆半径为r，则r1.又SABCBCAC1，所以V柱SABCAA1，所以AA12，因为三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，设其外接球的半径为R，则R
7、2r212122，所以外接球的表面积S4R2428.题型二内切球例5 (2023江西大联考)已知四面体SABC的所有棱长为2，球O1是其内切球.若在该四面体中再放入一个球O2，使其与平面SAB，平面SBC，平面SAC以及球O1均相切，则球O2与球O1的半径比值为()A. B. C. D.答案D解析如图，设S在平面ABC内的射影为O，R1为球O1的半径，R2为球O2的半径，F，H分别为球O1，球O2与侧面SBC的切点.在RtSAO中，该四面体的高hSO2.又四面体的表面积S4(2)212，则SR13h，解得R1，由，得，即，解得R2，故.故选D.感悟提升“切”的问题处理规律(1)找准切点，通过作
8、过球心的截面来解决.(2)体积分割是求内切球半径的常用方法.训练2 (2023南京调研)已知正方形ABCD的边长为2，E为边AB的中点，F为边BC的中点，将AED，DCF，BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合于点P，则三棱锥PDEF的外接球与内切球的表面积比值为()A.6 B.12 C.24 D.30答案C解析如图，依题意可知ADAE，CDCF，BEBF，所以PDPE，PFPD，PEPF，如图.所以在三棱锥PDEF中，PD，PE，PF两两垂直，且PEPF1，PD2，所以三棱锥PDEF的外接球即为以PD，PE，PF为邻边的长方体的外接球，所以三棱锥PDEF的外接球半径R满足2R
9、，所以R，则其外接球的表面积为4R26.因为三棱锥PDEF的表面积为正方形ABCD的面积，所以S表224，VPDEF112.设三棱锥PDEF的内切球的半径为r，所以由S表rVPDEF，解得r，所以内切球的表面积为4r2，所以三棱锥PDEF的外接球与内切球的表面积比值为24.故选C.一、双半径单交线公式若相互垂直的两凸多边形的外接圆半径分别为R1，R2，两外接圆公共弦长为l，则由两凸多边形顶点连接而成的几何体的外接球半径：R.例1 (2023河南适应性测试)已知三棱锥PABC，ABC是边长为2的等边三角形，PAPBa，且平面PAB平面ABC，若三棱锥PABC的每个顶点都在表面积为的球面上，则a_
10、.答案或解析法一如图，取AB的中点为D，连接PD，CD，因为PAPBa，所以PDAB.因为平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，PD平面PAB，所以PD平面ABC，同理得CD平面PAB.设点O1为等边ABC的外心，过点O1作O1EPD，则O1E平面ABC，易得直线O1E上任意一点到A，B，C三点的距离相等.设O2为PAB的外心，则O2在直线PD上，过点O2作O2OCD，交O1E于点O，则点O为三棱锥PABC外接球的球心，因为ABC是边长为2的等边三角形，所以AB2，又PAPBa，所以a，PD，sinPBD.设PAB的外接圆的半径为r，则由正弦定理，得2r，则r，即O2P，所以O2D.
11、易知四边形OO1DO2为矩形，所以OO1O2D.由题意可知三棱锥PABC外接球的表面积为，设该外接球的半径为R，则4R2，所以R.连接OC，则OC，易得O1C22.在RtOO1C中，OOO1C2OC2，即4，整理得4a449a21470，解得a2或a27，所以a或a.(注：仿照此解法，可推导出双半径单交线公式)法二如图，取AB的中点为D，连接PD，CD，因为PAPBa，所以PDAB.因为平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，PD平面PAB，所以PD平面ABC.同理得CD平面PAB.设点O1为等边ABC的外心，过点O1作O1EPD，则O1E平面ABC，易得直线O1E上任意一点到A，B，
12、C三点的距离相等，即三棱锥PABC外接球的球心O在直线O1E上.以D为坐标原点，以DB，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，因为ABC是边长为2的等边三角形，所以CD23，O1CCD2，O1DCD1，又PAPBa，所以a，PD，则P(0，0，)，C(0，3，0).由题意可知三棱锥PABC外接球的表面积为，设该外接球的半径为R，则4R2，所以R.设O(0，1，z)，连接OP，OC，则OPOCR，即，解得a或a.法三(双半径单交线公式)设ABC的外接圆半径为R1，由正弦定理得2R14，故R12.如图，在PAB中，D是AB的中点，易知sinPAB(a)，设PAB外接圆的半径为R2
13、，由正弦定理，得2R2，即R2.设三棱锥PABC外接球的半径为R，则4R2，故R2，且平面PAB平面ABCAB，由双半径单交线公式得R2RR，即43，化简得4a449a21470，解得a或a.训练1 已知ABC90，PA平面ABC，若PAABBC1，则四面体PABC的外接球(顶点都在球面上)的体积为()A. B. C.2 D.答案D解析法一如图，取PC的中点O，连接OA，OB，由题意得PABC，又因为ABBC，PAABA，PA，AB平面PAB，所以BC平面PAB，所以BCPB，在RtPBC中，OBPC，同理OAPC，所以OAOBOCPC，因此P，A，B，C四点在以O为球心的球面上，在RtABC
14、中，AC，在RtPAC中，PC，所以球O的半径RPC，所以球的体积为VR3.法二(双半径单交线公式)在直角三角形PAC中，PA1，AC，则PC，故三角形PAC外接圆的半径为R1，又在ABC中，ABBC，AC，则三角形ABC外接圆半径为R2，由双半径单交线公式知，四面体PABC的外接球半径R，则外接球的体积为VR3.二、双距离单交线公式当两凸多边形相互垂直时，由两凸多边形顶点连接而成的几何体的外接球半径可用双半径单交线公式求得，若两凸多边形不垂直时，上述外接球半径可用如下双距离单交线公式求得：R.注释：关于m，n，l，：(1)m，n分别为两个面的圆心到公交线的距离；(2)l为两个面的公交线；(3
15、)关于角，当两个面外接圆圆心都在面内(或者都在补面上)时指的就是二面角；当两个面外接圆圆心一个在面内一个在补面上时，指的是二面角的补角.例2 在三棱锥ABCD中，ABCD4，CABD2，BC2，二面角ABCD的平面角为60，则它的外接球的表面积为_.答案解析法一因为ABCD4，CABD2，BC2，可得ACBC，BCBD，即ACBDBC90，将三棱锥ABCD放置于直棱柱BDECFA中，如图所示，由二面角ABCD的平面角为60，即三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，外接球的球心O在上、下底面三角形外心的连线的中点，在BDE中，BDBE2，EBD60，可得DE2，设外接球的半径为R，BDE的外接圆的半
16、径为r，由正弦定理可得2r，解得r，由球心到底面BDE的距离dBC，所以外接球的半径R，所以外接球的表面积S4R2.法二(双距离单交线公式)在ABC中，AB4，CA2，BC2，故CA2BC2AB2，则ACBC，则ABC外接圆的圆心为AB的中点O1，O1到BC的距离为AC1，在BDC中，BD2，BC2，DC4，故BD2BC2DC2，所以BDBC，则BDC外接圆的圆心为DC的中点O2，O2到BC的距离为BD1，又二面角ABCD的平面角为60，由双距离单交线公式可得三棱锥ABCD外接球的半径R，所以外接球的表面积为S4R24.训练2 如图，已知平行四边形ABCD中，ACABm，BAD120，将ABC
17、沿对角线AC翻折至AB1C所在的位置，若二面角B1ACD的大小为120，则过A，B1，C，D四点的外接球的表面积为_.答案m2解析法一由已知得B1AC与DAC均为边长是m的正三角形，取AC中点G，连接DG，B1G，如图，则有DGAC，B1GAC，于是得B1GD是二面角B1ACD的平面角，则B1GD120，显然有AC平面B1GD，即有平面B1GD平面B1AC，平面B1GD平面DAC，令正B1AC与正DAC的中心分别为E，F，过E，F分别作平面B1AC，平面DAC的垂线，则两垂线都在平面B1GD内，它们交于点O，从而得点O是过A，B1，C，D四点的外接球球心，连接OA，则OA为该外接球半径，由已知
18、得GEGFGDmm，而OEOF，于是得OGF60，在RtOGF中，OG，而AG，在RtOGA中，OA2AG2OG2m2，所以过A，B1，C，D四点的外接球的表面积为4OA2m2.法二易知AB1CCDA，且二者都是边长为m的等边三角形，则AB1C与ADC的外接圆的圆心到底边AC的距离相等，都是mm，又二面角B1ACD的大小为120，所以过A，B1，C，D四点的外接球的半径为Rm，故外接球的表面积S4R24m2m2.分层精练巩固提升【A级基础巩固】1.正方体的外接球与内切球的表面积比值为()A. B.3 C.3 D.答案C解析设正方体的外接球的半径为R，内切球的半径为r，棱长为1，则正方体的外接球
19、的直径为正方体的体对角线长，即2R，所以R，正方体内切球的直径为正方体的棱长，即2r1，即r，所以，所以正方体的外接球与内切球的表面积比值为3.2.在四面体ABCD中，若ABCD，ACBD2，ADBC，则四面体ABCD的外接球的表面积为()A.2 B.4 C.6 D.8答案C解析由题意可采用补形法，考虑到四面体ABCD的对棱相等，所以将四面体放入如图所示的长、宽、高分别为x，y，z的长方体中，并且x2y23，x2z25，y2z24，则有(2R)2x2y2z26(R为外接球的半径)，得R2，所以四面体ABCD的外接球的表面积为S4R26.3.(2023泸州一诊)已知三棱锥SABC的棱SA底面AB
20、C.若SA2，ABACBC3，则其外接球的表面积为()A.4 B.8 C. D.16答案D解析等边三角形ABC的外接圆直径2r，解得r，设外接球的半径为R，则R2r2314，所以其外接球的表面积为S4R216，故选D.4.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，O1为ABC的外接圆.若O1的面积为4，ABBCACOO1，则球O的表面积为()A.64 B.48 C.36 D.32答案A解析如图所示，设球O的半径为R，O1的半径为r，因为O1的面积为4，所以4r2，解得r2，又ABBCACOO1，所以2r，解得AB2，故OO12，根据球的截面性质OO1平面ABC，所以OO1O1A，所以R2OOr2(
21、2)22216，所以球O的表面积S4R264.5.(2023重庆质检)在RtABC中，CACB，以AB为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为()A. B. C.2 D.答案A解析如图所示，旋转体的轴截面为边长为的正方形，设O为内切球的球心.内切球半径rAC，所以该几何体的内切球的体积为，故选A.6.(2023天津检测)已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SASBSCAB2，设S，A，B，C四点均在以点O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为()A. B. C. D.答案A解析取AB的中点D，连接CD，SD，如图，因为AB是等腰直角三角形ABC的斜
22、边，所以D是球O被平面ABC所截圆的圆心，CD1.又SASBSCAB2，又点D是AB的中点，则有SDAB，SD，而SD2CD24SC2，所以SDC90，即SDCD，而CDABD，CD，AB平面 ABC，则SD平面ABC，由球的截面圆性质知，球心O在直线SD上，球半径ROD或ROD.由R2OD212，即(OD)2OD212，解得OD，或(OD)2OD212，解得OD(舍)，所以点O到平面ABC的距离为.故选A.7.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为()A.16 B.20 C.24 D.32答案A解析如图所示，在正四棱锥PABCD中，O1为底面对角线的交点，O
23、为外接球的球心.因为VPABCDS正方形ABCD36，所以S正方形ABCD6，即AB.因为O1C.设正四棱锥外接球的半径为R，则OCR，OO13R，所以(3R)2()2R2，解得R2.所以外接球的表面积为42216.8.(2023武汉模拟)已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球的体积为()A.36 B.48 C.36 D.24答案A解析设圆锥的底面半径为r，由侧面展开图是圆心角为的扇形，得2r2，解得r2.作出圆锥的轴截面如图所示.设圆锥的高为h，则h4.设该圆锥的外接球的球心为O，半径为R，则有R，即R，解得R3，所以该圆锥的外接球的体积为V36.9.在三棱锥
24、ABCD中，若AD平面BCD，ABBC，ADBD2，CD4，点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为_.答案20解析根据题意得，BC平面ABD，则BCBD，即AD，BC，BD三条线两两垂直，所以可将三棱锥ABCD放置于长方体内，如图所示，该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球心为长方体体对角线的中点，即外接球的半径为长方体体对角线长的一半，此时AC为长方体的体对角线，即为外接球的直径，所以该球的表面积S4R2AC2(2242)20.10.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的
25、发现.我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为_，圆柱的表面积与球的表面积之比为_.答案解析由题意，知圆柱底面半径为r，球的半径为R，则Rr，圆柱的高h2R，则V球R3，V柱r2hR22R2R3.又S球4R2，S柱2r22rh2R22R2R6R2.11.(2023南昌调研)如图，在底面边长为4，高为6的正四棱柱中有两个球，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为_.答案5解析由题意可知大球的半径R2，设小球的半径为r(0r2)，大球的球心为O，小球的球心为C，E为小球与上底面的切点，如图所示，连接CO，CE，过点O作ODC
26、E交EC的延长线于点D，由题意可知，OD2r，CD4r，CO2r，由CO2CD2OD2，得(2r)2(4r)2(2r)2，即r210r100，r(0，2)，解得r5.12.在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，PAPCAB2，AC4，BAC30，则该三棱锥外接球的体积为_.答案9解析如图所示，在ABC中，由余弦定理得BC2(2)242224cos 304.所以AB2BC216AC2，即ABC为直角三角形.故ABC外接圆的圆心为斜边AC的中点.取AC的中点为O1，连接PO1，则PO1AC.由平面PAC平面ABC，得PO1平面ABC.该三棱锥外接球的球心在线段PO1上.设球心为O，连接OA，则
27、OAOP，且均为外接球的半径.在RtPO1A中，PO12.在RtOO1A中，OA2OOAO，即R2(2R)24，则R.所以外接球的体积VR39.【B级能力提升】13.(2022新高考卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.100 B.128 C.144 D.192答案A解析由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为33，44.设球O的半径为R，该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O21，其外接球的球心O在直线O1O2上.当球心O在线段O1O2上时，R232OO42(1OO1)2，解得OO14(舍去
28、)；当球心O不在线段O1O2上时，R242OO32(1OO2)2，解得OO23，所以R225，所以该球的表面积为S4R2100，综上，该球的表面积为100.14.(2022全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()A. B. C. D.答案C解析该四棱锥的体积最大，即以底面外接圆和顶点O组成的圆锥体积最大，设圆锥的高为h(0h1)，底面半径为r，则圆锥的体积Vr2h(1h2)h，则V(13h2)，令V(13h2)0，得h，所以V(1h2)h在上单调递增，在上单调递减，所以当h时，四棱锥的体积最大，故选C.15.(2023
29、济南模拟)已知在矩形ABCD中，AB2，BC，E是CD边的中点.现以AE为折痕将ADE折起，当三棱锥DABE的体积最大时，该三棱锥外接球的体积为_.答案解析如图，过点D作DFAE交AE于点F，AB2，AD，DE1，AEBE2，在RtADE中有ADDEAEDF，则DF，EF，ABE是等边三角形，边长为2，由，可得ABE外接圆的半径为，设其外接圆圆心为O，连接BO，并延长BO交AE于点M，则BMAE，OB，OMOB，MEBEcos 6021，所以在OMF中，OF，当平面ADE平面ABE时，三棱锥DABE的体积最大，此时DF平面ABE，由于OD，ODOB，所以O是三棱锥DABE外接球的球心，设外接球
30、半径为R，则R，所以外接球的体积为.16.(2023常德模拟)已知正三棱锥ABCD的底面是边长为2的等边三角形，其内切球的表面积为，且和各侧面分别相切于点F，M，N，则FMN的周长为_.答案解析设三棱锥ABCD的内切球球心为O，球O切三棱锥的侧面ACD于点F，取CD的中点E(如图)，连接BE，设正三角形BCD的中心为点G，则G在线段BE上.连接AG，设AGh，BCD的外接圆半径为BG2，则GEBG1.ACAD，E为CD的中点，AECD，AE，设球O的半径为r，则4r2，解得r，即OFOG，由正棱锥的性质可知，AG平面BCD.BE平面BCD，AGBE，OFAE，sinEAG，即，解得h，OAAGOG，AF，取BC的中点H，连接AH，EH，DH，设球O切侧面ABC于点M，连接FM，同理可得AM，AHAE.H，E分别为BC，CD的中点，EHBD.，则FMEH，且，FMEH.设BD的中点为Q，连接EQ，HQ，则EQHQEH，故EHQ为等边三角形，设球O切侧面ABD于点N，连接NM，NF，易知FMN为等边三角形，故FMN的周长为3.