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1、立体几何中的截面问题及球的切接问题 知识拓展 1.立体几何中的截面问题(1)平面截球：圆(圆面).(2)平面截正方体：三角形、四边形、五边形、六边形.(3)平面截圆柱曲面：圆、椭圆、矩形.2.球的切接问题(1)长方体的外接球 球心：体对角线的交点；半径：ra2b2c22(a，b，c为长方体的长、宽、高).(2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 外接球：球心是正方体中心；半径r32a(a为正方体的棱长)；内切球：球心是正方体中心；半径ra2(a为正方体的棱长)；与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r22a(a为正方体的棱长).(3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体
2、的一部分)外接球：球心是正四面体的中心；半径r64a(a为正四面体的棱长)；内切球：球心是正四面体的中心；半径r612a(a为正四面体的棱长).题型突破 题型一 立体几何中的截面问题【例 1】(1)(2018全国卷)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为()A.3 34 B.2 33 C.3 24 D.32(2)(2020浙江新高考仿真卷三)已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成 60二面角的平面截该球面得圆N，若该球面的半径为 4，圆M的面积为 4，则圆N的面积为()A.7 B.9 C.11 D.13 解析(1)记该正方体为ABCDAB
3、CD，正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等，即共点的三条棱AA，AB，AD与平面所成的角都相等.如图，连接AB，AD，BD，因为三棱锥AABD是正三棱锥，所以AA，AB，AD与平面ABD所成的角都相等.分别取CD，BC，BB，AB，AD，DD的中点E，F，G，H，I，J，连接EF，FG，GH，IH，IJ，JE，易得E，F，G，H，I，J六点共面，平面EFGHIJ与平面ABD平行，即截面EFGHIJ为平面截正方体所得最大截面.又EFFGGHIHIJJE22，所以该正六边形的面积为 6342223 34，所以截此正方体所得截面面积的最大值为3 34，故选 A.(2)设球的球心为O，由圆M的面
4、积为 4 得圆M的半径为 2，则|OM|42222 3，又因为圆N所在的平面与圆M所在的平面所成的角为 60，则OMN30，且ONMN，则 sinOMN|ON|OM|，即 sin 30|ON|2 3，解得|ON|3，则圆N的半径r42（3）213，圆N的面积为 r213，故选 D.答案(1)A(2)D 规律方法 此类题主要考查空间想象能力及空间几何体的结构特征，解题时可寻找特殊情况使问题得到简化.【训练 1】(1)(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为()A.122 B.12 C.8 2 D
5、.10(2)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE，B1F.若平面BEF与正方体的截面是五边形，则的取值范围是_.解析(1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，所以圆柱的高为2 2，底面圆的直径为 2 2，所以该圆柱的表面积为 2(2)22 22 212.故选 B.(2)通过特殊位置来分析，当AE1 时(此时E与D接近重合)，若B1F0(此时B1与F接近重合)，此时截面是四边形，随着B1F的变大，平面BEF与正方体的截面是五边形，由此知1；随着B1F1，平面BEF与正方体的截面仍是五边形，当两者均为 1
6、时，截面是三角形，由此知2，故 12.答案(1)B(2)(1，2)题型二 外接球问题【例 2】(1)(2017新课标全国)长方体的长、宽、高分别为 3、2、1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_.(2)已知底面边长为 1，侧棱长 2的正四棱柱的各个顶点均在同一个球的球面上，则该球的体积为()A.323 B.4 C.2 D.43(3)已知直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A.3 172 B.2 10 C.132 D.3 10(4)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该四棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积
7、为()A.814 B.16 C.9 D.274(5)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为 9，则球的表面积为_.解析(1)长方体体对角线长为 322212 14，所以长方体外接球半径R142，所以长方体外接球的表面积为S4R214.(2)如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面为边长为 1，侧棱长为 2，设H、I分别为下、上底面中心，HI的中点为O，所以O为外接球的球心，所以外接球半径RAOAH2OH21，所以外接球体积V43R343.(3)如图，由题意可得棱柱上、下底面为直角三角形，所以上、下
8、底面外接圆的圆心分别为B1C1、BC的中点，分别设其分别为I、H，设HI的中点为O，则点O为三棱柱外接球的球心，在 RtBHO中，BOBH2OH2132，所以外接球的半径R132.(4)如图，设O1为底面正方形ABCD的中心，外接球球心为O，所以PO1平面ABCD，O在PO1上，设外接球O的半径为R，则RAOPO，在 RtAOO1中，RAOAO21OO21（2）2（4R）2 解得R94，所以外接球的表面积为S4R2814.(5)如图，SAAC，SBBC，设O为SC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得点O到A，B，C，S的距离相等，故点O为三棱锥外接球的球心，平面SCA平面SCB
9、，SBBC，OB平面SAC.设球O的半径为R，则 VSABCVBASC13122RRR13R39，R327，R3.所以外接球表面积为S4R236.答案(1)14(2)D(3)C(4)A(5)36 规律方法 1.常用结论(1)正方体和长方体的外接球的球心为其体对角线的中点.(2)正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点.(3)直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点.(4)正棱锥外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到.(5)若棱锥的顶点可构共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.2.构造正方体、长方体、直棱柱等用上述结论确定外接球的球心(1)同
10、一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体，求其外接球问题可构造正方体或长方体.(2)相对的棱长相等的三棱锥，求其外接球问题可构造正方体或长方体.【训练 2】(1)一个四面体的所有棱长都为 2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为()A.3 B.4 C.3 3 D.6(2)已知正三棱锥PABC，点P、A、B、C都在半径为 3的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离是_.(3)三棱锥PABC中，PAAB，PAAC，BAC120，PAABAC2，则此三棱锥外接球的体积为_.解析(1)构造正方体，则正方体棱长为 1，因此，该四面体外接球也就棱长为 1 的正方体外接球，所以外接球半
11、径R32，所以外接球表面积为S4R23.(2)如图，构造正方体，则球心为正方体的中心O，易求得正方体棱长为 2，设点O到平面ABC的距离为d，作CH垂直MN交MN于H，由VOABCVCABO，得13SABCd13SABOCH，所以d33.(3)PAAB，PAAC，PA平面ABC，构造直三棱柱PQTABC，设O1为ABC外心，O为三棱锥外接球球心，所以OO1平面ABC，易得OO112PA，在ABC由余弦定理可求得BC2 3，再由正弦定理可求得ABC外接圆半径r2，在RtAOO1中，AOAO21OO21 5，所以三棱锥PABC外接球半径R 5，外接球体积V20 53.答案(1)A(2)33(3)2
12、0 53 题型三 内切球问题【例 3】(一题多解)已知棱长为a的正四面体ABCD，证明：其内切球的半径为612a.证明 法一 如图，设AH平面BCD，则H为BCD外心，可得外接球球心在AH上，设外接球球心为O，外接球半径为R，则AOBOR，在BCD中，可得BH33a，在 RtABH中，AHAB2BH263a，在 RtBHO中，BO2BH2OH2，BO2BH2(AHOA)2，R233a263aR2，R64a，因内切球球心与外接球球心重合，所以内切球半径rOHAHAO63a64a612a.法二 如图，设AH平面BCD，设外接球球心为O，则点O也是内切球球心，由于内切球球心到各个面的距离相等，都为内
13、切球半径，设为r，VABCDVOABCVOACDVOABDVOBCD.13SBCDAH13SBCDr4，r14AH612a.规律方法 求内切球的半径常用等积法(1)正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体任一面的距离.(2)正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合.【训练 3】(1)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A.4 B.92 C.6 D.323(2)(2020金华一中月考)已知某锥体的三视图如图所示(各正方形的边长为 2)，则该锥体的体积是_；该锥体的内切球的表面积是
14、_.解析(1)由ABBC，AB6，BC8，得AC10.要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面ABC的内切圆的半径为r.则126812(6810)r，所以r2.2r43，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.由 2R3，即R32.故球的最大体积V43R392.(2)如图，由几何体的三视图可知该几何体是一个棱长为 2 2的正四面体ABCD，其可以为边长为 2 的正方体截去四个角而得，所以其体积为V23413122383.因为正四面体的棱长为 2 2，所以其底面的三角形的高为 6，该正四面体的高为4 33，设内切球的半径为r，则有4 33r2r2
15、2 632，解得r33，所以该内切球的表面积为S4r243.答案(1)B(2)83 43 补偿训练 一、选择题 1.如图，长方体ABCDABCD中被截去一部分，其中EHAD.剩下的几何体是()A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱 解析 由几何体的结构特征知剩下的几何体为五棱柱.答案 C 2.(2020北京东城区一模)正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为()A.等腰三角形 B.直角三角形 C.平行四边形 D.梯形 解析 如图所示，由三视图可得该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥所得的几何体，很明显三棱锥的两条侧棱相等，故截面是等腰三角形.答案
16、A 3.(2020福州模拟)某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球O的球面上，则球O的体积是()A.8 23 B.4 3 C.12 D.32 3 解析 由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为 2，侧棱长为 2.把该三棱锥补形为正方体，则正方体体对角线长为 2222222 3.该三棱柱外接球的半径为 3.体积V43(3)34 3.答案 B 4.(2020昆明模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若此几何体的各个顶点在同一球面上，则该球的表面积为()A.8 B.9 C.32 D.36 解析 通过三视图
17、可知，该几何体是直三棱柱D1A1C1DAC，其中底面是直角三角形，把它补成长方体如图所示：连接D1B，设外接球的半径为R，所以有 2RD1D2DB2D1D2AD2AB21443，球的表面积为4R29.答案 B 5.(2020安阳一模)已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球体积为323，则h()A.13 B.2 6 C.2 3 D.3 解析 由三视图知几何体为三棱锥，且一条侧棱垂直底面，如图，O为AC的中点，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，EO底面ABC，OBOCOA1，E为球心.设球半径为r，则V球43r3323，r2，EO 3，h2 3.答案 C 6.(2020浙江省联盟校联考)
18、已知矩形ABCD的周长为 20 2，当矩形ABCD的面积最大时，沿对角线AC将ACD折起，且二面角BACD的大小为，则折叠后形成的四面体ABCD的外接球的体积为()A.5003 B.100 C.1 000 23 D.与的大小有关 解析 设矩形ABCD的长、宽分别为x，y，则 2x2y20222x2y，所以xy50，当且仅当xy5 2时取等号，即当矩形ABCD为边长为 5 2的正方形时，矩形ABCD的面积最大.由于正方形ABCD的外接圆的圆心即AC的中点，它到各个顶点的距离相等，所以沿对角线AC折叠后形成的四面体ABCD的外接球的球心为AC的中点，故外接球的半径r5，外接球的体积V43r3500
19、3，故选 A.答案 A 7.(2018全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为 9 3，则三棱锥DABC体积的最大值为()A.123 B.18 3 C.24 3 D.54 3 解析 设等边ABC的边长为x，则12x2sin 609 3，得x6.设ABC的外接圆半径为r，则 2r6sin 60，解得r2 3，所以球心到ABC所在平面的距离d42（2 3）22，则点D到平面ABC的最大距离d1d46，所以三棱锥DABC体积的最大值Vmax13SABC6139 3618 3.答案 B 8.(2019全国卷)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，
20、PAPBPC，ABC是边长为 2 的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF90，则球O的体积为()A.8 6 B.4 6 C.2 6 D.6 解析 因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EFPB，因为CEF90，所以EFCE，所以PBCE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC平面BDP，所以PBAC，又ACCEC，AC，CE 平面PAC，所以PB平面PAC，所以PBPA，PBPC，因为PAPBPC，ABC为正三角形，所以PAPC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥PABC放在正方体中如图所示.因为AB2，所以该正方体的棱长为 2，所以该正方体的体对角线长为 6，所以三棱锥PAB
21、C的外接球的半径R62，所以球O的体积V43R343623 6，故选 D.答案 D 9.(2020重庆调研二)已知三棱锥SABC各顶点均在球O上，SB为球O的直径，若ABBC2，ABC23，三棱锥SABC的体积为 4，则球O的表面积为()A.120 B.64 C.32 D.16 解析 如图所示，由ABBC2，ABC23得AC2 3，则SABC12ABBCsin 23 3，设ABC外接圆圆心为O，则OOO，由正弦定理可知，ABC外接圆半径OA2 32sin 232，设S到面ABC距离为d，由SB为球O直径可知OO12d，VSABC13 3d4，d4 3，则OO2 3，球的半径OAOA2OO2 4
22、124，球O的表面积S44264.答案 B 10.(2020厦门质检)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是()A.B.43 C.4 D.16 解析 由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥PABC，其中侧面PAB底面ABC，在ABC和PAB中，ACBAPB90，ACBCAPBP 2.取AB的中点D，连PD，则D为ABC外接圆的圆心，且PD底面ABC，所以球心O在PD上，设球半径为R，则在 RtODB中，OD1R，OBR，DB1，由勾股定理得R2(1R)212，解得R1，所以三棱锥的外接球的表面积为S4R24.答案 C 二、填空题 11.
23、(2020杭州三校三联)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”PABCD，PA底面ABCD，PAAB2，AD1，则该“阳马”的最长棱长为_；外接球表面积为_.解析 由题意得“阳马”PABCD可以看作是棱长为 2，2，1 的长方体的一部分，则该“阳马”的最长棱为长方体的体对角线，长度为 2222123，该“阳马”的外接球为长方体的外接球，其表面积为 43229.答案 3 9 12.(2020金华十校期末调研)一个棱柱的底面是边长为 6 的正三角形，侧棱与底面垂直.其三视图如图所示，则这个棱柱的体积为_，此棱柱的外接球的表面积为_.解析 由题意可知该三
24、棱柱是一个直三棱柱，且底面是边长为 6 的正三角形，底面积为S1262sin 609 3，又因为该三棱柱的高h4，所以该三棱柱的体积为VSh9 3436 3.由正弦定理可知该正三棱柱底面的外接圆直径为 2r6sin 604 3，则其外接球的半径为R（2 3）2224，因此，此棱柱的外接球的表面积为 4R244264.答案 36 3 64 13.(2017江苏卷)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1V2的值是_.解析 设球半径为R，则圆柱底面圆半径为R，母线长为 2R，又V1R22R2R3，V243R3，所以V
25、1V22R343R332.答案 32 14.(2020西安质检三)已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，且内接于球O，若正三棱柱ABCA1B1C1的体积是 2 3，则球O的表面积为_.解析 设AA1A1B1a，则正三棱柱ABCA1B1C1的体积是34a32 3，解得a2，底面正三角形的外接圆半径ra2sin 6023，所以球的半径R222232213，所以球O的表面积为 4R2283.答案 283 15.(2020石家庄二模)在三棱椎PABC中，底面ABC是等边三角形，侧面PAB是直角三角形，且PAPB2，PAAC，则该三棱锥外接球的表面积为_.解析 由于PAPB，CACB，PAAC
26、，则PBCB，因此取PC中点O，则有OPOCOAOB，即O为三棱锥PABC外接球球心，又由PAPB2，得ACAB2 2，所以PC22（2 2）22 3，所以S4(3)212.答案 12 16.(2020大庆二模)已知点A，B，C，D均在同一球面上，AD平面ABC，其中ABC是等边三角形，AD2AB6，则该球的表面积为_.解析 由题意画出几何体的图形如图所示：把A，B，C，D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点O与A的距离为球的半径R，因为AD2AB6，所以OE3，AB3，又因为ABC是正三角形，所以AE23AB212AB22332322 3，所以ROAAE2OE2（3）2322 3，所以所求的
27、球的表面积为S4R24(2 3)248.答案 48 17.在三棱锥PABC中，PB6，AC3，G为PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC.则截面的周长为_.解析 过点G作EFAC交PA，PC于点E，F，过E，F分别作ENPB，FMPB分别交AB，BC于点N，M，连接MN，四边形EFMN是平行四边形，EF323，即EFMN2，FMPBFM613，即FMEN2，截面的周长为 248.答案 8 18.已知正四棱锥SABCD的底面边长为 2，侧棱长为 3，则内切球半径为_.解析 如图，设E为BC的中点，I为底面正方形ABCD的中心，SI平面ABCD，则内切球球心在SI上，设为O，过O作OHSE交SE于H，在 RtSIC中，易求出SI 7，即正四棱锥SABCD高为 7，在SBC中，易求出SE2 2，即正四棱锥SABCD斜高为 2 2，设内切球半径为r，则OIOHr，由 RtSIE与 RtSHO相似，得OHSOIESE，OHSIOIIESE，r7r12 2，r72 212 14 77.答案 2 14 77