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1、2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1 .请用2 B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5 亳米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2 .答题前，认真阅读答题纸上的 注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5 分，共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .为得到二=疝（2 二一习的图象，只需要将二=s m 2 二的图象（）A.向左平移勺个单位 B.向左平移泠单位C.向右平移三个单位 D.向右平移二个单位2 .已知=办+人 与 函 数/（x）=2 1 n x+5
2、 和 g（x）=/+4都相切，则不等式组，x-t z y +3 0,c ，、所确定的平面区域在x+by-20/+/+2彳-2 -2 2 =0内的面积为（）A.2%B.3 C.6兀D.1 2%3 .已知数列 ,的前项和为S“，q=l,生=2 且对于任意 1,”满足5“+1+5,1=2（,+1）,则（）A.%=7B.S1 6=2 4 0C.t z1 0=1 9D.5 2 0 =3 8 14 .一个陶瓷圆盘的半径为1 0 c 7 a 中间有一个边长为4 c 帆的正方形花纹，向盘中投入1 0 0 0 粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有5 1 粒，据此估计圆周率乃的值为（精确到0.0 0 1）（）A.
3、3.1 3 2 B.3.1 3 7 C.3.1 4 2 D.3.1 4 72、5,已知数列%满足：an=4（“e N*）诺正整数左（左？5）使 得 可+/+/=44必成ci%*一 1,n.D立，贝必=（）A.1 6 B.1 7 C.1 8 D.1 96 .在正方体A8C0-中，点P、Q分别为AB、的中点，过点。作平面a使用尸平面a ,A平MD、面 a若直线平面a =M，则 谒 的 值 为（）7 .设复数二满足（l +i）z =l-7 i,贝卜在复平面内的对应点位于（)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8 .已知函数/(x)=d+a s i n x,x e R,若 1)=2,则/(
4、1)的值等于()A.2 B.2 C.1 +Q D.c i9.已知f(x)=L 是定义在R上的奇函数，则不等式/13)寸9-7)的解集为()ex aA.(-2,6)B.(-6,2)C.(-4,3)D.(-3,4)1 0 .已知同=3忖=3,且(2 M-5)1(Q +4 B),则 2 2-5 在万方向上的投影为()72 0A.-B.1 4 C.一 D.73 3x l n x-2 x,x 0I I .已知函数/(X)=2 3 c的图像上有且仅有四个不同的关于直线y =-l 对称的点在g(x)=-l的图X H-X,X W ()像上，则上的取值范围是()A.(H)B.(；,：)C.(1,1)D.(p l
5、)1 2 .函数 =辿9(xe -4,0)或 x e(O,句)的 图 象 大 致 是()二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分。1 3 .已知数列 an为正项等比数列，a 3 a 6 佝=27，则a2aw+。6 a 2 +。6 即)的 最 小 值 为.1 4 .设/(x)=ex(Z 0),过点尸(f,0)且平行于y轴的直线与曲线C：y=/(x)的交点为Q,曲线C过 点。的切线交x轴于点R,若 S (1,/(D),则A P R S 的 面 积 的 最 小 值 是.2 215.已知双曲线。：=一 鼻=1 (a 0,b0)的左，右焦点分别为耳，F,过点耳的直线与双曲线的左，右两a b
6、7支分别交于A,B 两 点,若|A B|=|A 用，COSZBAF2=-,则双曲线C的离心率为.O16 .曲线/(X)=-+I n -在点(1,/(1)处的切线方程是.三、解答题：共 7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了 120名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为3:2,而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7:5,女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是5:3.(1)填写下面
7、列联表，并根据联表判断是否有9 5%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？男生女生总计喜欢阅读中国古典文学不喜欢阅读中国古典文学总计(2)为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调查 的 120人中筛选出4 名男生和3 名女生共7 人作为代表，这 7 个代表中有2 名男生代表和2 名女生代表喜欢中国古典文学.现从这7 名代表中任选3 名男生代表和2 名女生代表参加座谈会，记 J为参加会议的人中喜欢古典文学的人数,求 5 的分布列及数学期望E传)2 2。八士f 八一 2 n(ad-bc)2.,附表及公式：K飞+枷+板+次)，+尸(心温
8、)0.050.0250.010().(X)50.001k。3.8415.0246.6357.87910.82818.(12分)已 知 椭 圆 C:=+4=l (a b 0)的两个焦点分别为F i (一 近，0)、F2(72，0).点M (1,0)a b 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点N的坐标为(3,2),点 P 的坐标为(m,n)(n#3).过点M 任作直线1与椭圆C相交于A、B两点，设直线A N、N P、BN的斜率分别为k i、k 2、k3,若 k i+k 3=2k 2,试 求 m,n满足的关系式.19.(12 分)在以 A B C D E F、为顶点
9、的五面体中，底面 4 5。为菱形，Z A B C=120,A B=A E=E D=2 E F,EF/A B,点 G为 CD中点，平 面 E 4 O 1平面A B C D（1）证明：BDA.EG；（2）若三棱锥VE_FBC=|，求菱形AB C D的边长.20.（12分）已知A A B C的内角A，B,C的对边分别为a,b.c,且“s i n（A+8）=c s i n J.2（1）求A；（2）若A 4 B C的面积为JL b+c =5,求A A B C的周长.1 7 3x =+-t21.（12分）已知直线/的参数方程为 2 2。为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标1y=t2系，
10、曲线C的极坐标方程为。=2c o s 6.（1）求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点P（g,0）,直线/与曲线C交于A,8两点，求|4|+|尸耳的值.X=4COS6Z22.（10分）在直角坐标系X。），中，曲线C的参数方程为 个 （。为参数），将曲线C上各点纵坐标伸长到y=2sina原来的2倍（横坐标不变）得到曲线C，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线/的极坐标方程为 4p c o s 6 +3/?s i n。-25 二。.（1）写出G的极坐标方程与直线/的直角坐标方程；（2）曲线G上是否存在不同的两点M（4,4）,N（4 0）（以上两点坐标均为极坐标，0
11、 4 2 ，0 名 0)，斤(元)=2-占=义二2口1,所以(同在(0,1)上递减，在(1,丘)上递增，所以()在x =l处取得极小值也即是最小值，而(1)=0,所以/(x)=0有唯一解.也即方程有唯一解.%=1 .所以切线方程为y =2x+3.即a =2,b=3.不等式组x-a y +3 Q即x+b y-2 0 x-2 y+3 0 x+3 y-2 09画出其对应的区域如下图所示.圆x2+y2+2 x-2 y-2 2 =Q可化为(x +(y 1)?=24,圆心为A(-l,l).而方程组|工x一+32yy-+23 =0。的 解 也I x是=-ll .画出图像如下图所示 不等式组I|x“-+23y
12、y+一 320。所确定的平面区域在/+/+2x -2y -22=0内的部分如下图阴影部分所示.直线x -2y +3=0的斜率为；，直线x +3)，-2=0的斜率1 11 I为-4.所以t a n N B A C n t a n l N A f O+N A D E h-+n l,所以N B A C =?,而圆 A 的 半 径 为 阴=2#,所3l-x-2 3以阴影部分的面积是:x?x倒 指 了=3万.故选：B【点睛】本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难
13、题.3.D【解析】利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可.【详解】当.2 时，S W +S“_ =2（+1）=Sn+i-Sn=Sn-+2 n an+l=an+2.l,n =1所 以 数 列 从 第2项起为等差数列，c c，2n-2,.2所以，%=6,0=1 8.Sn=q +（的+“J-D=（_ 1）+1,S m =1 6 x 1 5 +1 =24 1,S20=20X19+1=381.故选：D.【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题.4.B【解析】结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可
14、【详解】如图，由几何概型公式可知：学=三不 焉=。3.137.%z r-10 1000故选：B【点睛】本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题5.B【解析】计算=2+1 a6+n-5 ,故+t z22+.+ak2 ak+i+%16 =ak+i+1,解得答案.【详解】当2 6时，all+i=aa2-an_an-1=(a,+1)-1,即a j=%向 一4 +1,且&=3 L故-+%-+a,J =(%。6)+(8%)+(0+1 5=a“+a6+n 5,a+ai+”+&-4+i +%16 =4+|+1,故 k=17.故选：B.【点睛】本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方
15、法的综合应用.6.B【解析】作出图形，设平面a分别交4 4、GR于点E、F,连接O E、D F、E F,取 CD的中点G,连接P G、CXG ,连接AG交片2 于点N,推导出4 P GG,由线面平行的性质定理可得出GG。尸，可得出点E为 GR的中点，MD.同理可得出点E为 4A 的中点，结合中位线的性质可求得书的值.【详解】如下图所示：设平面a 分别交A A、G A 于点E、F,连接。E、D F、E F,取 C D 的中点G,连接P G、CtG ,连接4 a 交B Q 于点N,四边形ABC。为正方形，P、G 分别为A B、C O 的中点，则 BPCG且 B P=C G,四边形B C G P为平
16、行四边形，,P G/IBC豆 P G =B C,：BC、/BC 且 B g=B C,：.P G HBG a P G =B.C,则四边形 B G P 为平行四边形，B,P/CtG ,v B R I平面a,则存在直线a u 平面a,使得Bf a,若 G G u 平面a,则G e 平面。，又。e 平面。，则C D u 平面。，此时，平面。为平面CQRG，直线A Q 不可能与平面a 平行，所以，。162平面。，：.。13。，；.。夕平面。，&G u 平面 CDD,C,平面 CDR G。平面 a =D E,，。G G,：C、F DG,所以，四边形GG。尸为平行四边形，可得G E=OG=g o =g G。
17、，八 1 1 MD.1.F为 G 2 的中点，同理可证E为 A A 的中点，.4 9 n E/?=M,=因此，温 二.故选：B.【点睛】本题考查线段长度比值的计算，涉及线面平行性质的应用，解答的关键就是找出平面。与正方体各棱的交点位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7.C【解析】化简得到Z =-3 -4 i,得到答案.【详解】/、l-7 z(l-7 z)(l-z)-6-S i，(l+z)z=l-7 z,故/=3 4/,对应点在第三象限.故选：C.【点睛】本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力.8.B【解析】由函数的奇偶性可得，/(D =-/(-1)=-2【详解】V f(x
18、)=x3+a si nx其中g(无)=/为奇函数，)=a si nx也为奇函数二/(x)=g(x)+f(x)也为奇函数=-/(-1)=-2故选：B【点睛】函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：奇函数土奇函数=奇函数；奇函数x奇函数=偶函数;奇函数十奇函数=偶函数；偶函数士偶函数=偶函数；偶函数x偶函数=偶函数；奇函数x偶函数=奇函数；奇函数通函数=奇函数9.C【解析】由奇函数的性质可得。=1,进而可知/(x)在R上为增函数，转化条件得x-3 (6 =幺二!=1一一,e+a:/e +l ex+1-r C l易知/(x)在R上为增函数.又/（一3）/（9-/）,所以x _ 3 9
19、 解得-4 x 0时，/,（x）=lnx+l-2 =lnx-l./（X）在（0,e）上单调递减；在（e,+8）上单调递增由此可得“X）图象如下图所示：其 中A3、AC为 过A点的曲线的两条切线，切点分别为3,C由图象可知，当（砥eM s）时，X）与）=一日一1有且仅有四个不同的交点设C（A?V疝，m 0,则 心。=皿机一 1 =也 一也土 _,解得：m =jm-Q A C=-1设 B,2+|，/a2t z10=9 +6%=2 7.当且仅当4=4。=3时取得最小值.故答案为：2 7.【点睛】本题考查等比数列的下标和性质，涉及均值不等式求和的最小值，属综合基础题.1 4r2【解析】1 1 1 /e
20、计算0),P R=t-Ct)=-,网5的面积为5=皂，导数S，=5，由s，=0得，=1,根据函数t t t 2t 2 产的单调性得到最值.【详解】.PQ y轴，P (t,0),：.Q(f,/(O)即。(f,J),又/(x)=*(f 0)的 导 数/(x)=%3 .过。的切线斜率J-0 2 1设 R (r,0)则|=.-te r=t,t-r t即 R(,0),P R=t-(t)=一,t t t又 S (1,7(D)即 S (1,d),.PR S 的面积为 S=C,It导数S，=：D,由 S，=()得r=i,2产当t l时，S，0,当O VfVl时，S，VO,.1=1为极小值点，也为最小值点,:.
21、A P R S的面积的最小值为E .2P故答案为：2本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.15.巫3【解析】设 忸 国=,|钻|=加,由双曲线的定义得出：|%|=2 a +”,|A制=加 一2 a,由|A却=|A用 得 为 等 腰 三 角形，设N A 8居=N A E,3 =，根据c os/B A居=1，可求出c os 得出/=2，再结合焦点-4-A F2 _ in三角形A B G招，利用余弦定理：求出“和c的关系，即可得出离心率.【详解】解：.BF2 =n,A F2 =m,由双曲线的定义得出：忸 用 _ 忸 闾=2凡则忸制=2 a +,|明|-|做1 =2。，
22、则V周=加 一2,由图可知：耳|A fJ=4 a+加,又=可，即 4 t Z +一2 =2,贝!12m=4 a +，.鸟为等腰三角形,7,/cos ZBAF2=,设4 4 3 6=4 4鸟5=6,20+Z.BAF2=7t,则 29=7i ZBAF?,7.cos 20=cos(/r-NBAF?)=-cos BAF2=,8八)八 7 1即cos26=2cos6 1 =,解得：cos6=,8 4.2 _，解得：m=2n9m 444 =4。+,即3 =4。，解得：n=a,383在4 3耳鸟中，由余弦定理得：cos/耳 BF2=cos 0-忸 町+忸周2-忸 用2阿|明即:(2a+)+()-4c2 12
23、(2。+a 44解得一壬嘴即e*乎.故答案为:2瓜【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，以及余弦定理的应用，求双曲线离心率.16.2x+y-3=0【解析】利用导数的几何意义计算即可.【详解】由已知，/(x)=-4-所以/。)=一 2,又/(1)=1,X X所以切线方程为y _ l=_ 2(x-D,即 2x+y-3=0.故答案为：2x+y-3 =0【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，要注意在某点处的切线与过某点的切线的区别，是一道容易题.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1717.(1)见解析，没 有(2)见解析，6【解析】(1)根据题目所给数据填
24、写2 x 2 列联表，计算出A：z的值，由此判断出没有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.(2)先判断出4 的所有可能取值，然后根据古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.【详解】(1)男生女生总计喜欢阅读中国古典文学423072不喜欢阅读中国古典文学301848总计7248120/C2J20(42X.8-30X30)0208 则玉+6 k23F7T,X|%23 k2-33二+1又 yi=k(x i-1),yz=k(x2-1)所 以 ki+k3=2-y 2-%_(2-弘)(3-工2)+(2-%)(3-3)-1 -3-Xj 3-(3 Xj)(3%2)2 攵(X 1)(3
25、X2)+2 女1)(3-Xj)xx2-3(%|+)+92kxxx2-(4&+2)(%+元2)+6&+12xxx2-3(x)+%2)+9c,3 k”-3.0 6 k”_2k x -(4Z 4-2)x -F 6 k+12-3+1 3V?+i_3 k23 .6 k2 c-w-3x-+93公+1 3+1_ 2(2+6)_212A2+6 一 2所以 2k2=2,所以 k2=-=1m-3所 以 m,n 的关系式为mn1=0综上所述，m,n 的关系式为mn1=0.考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，19.(1)详见解析；(2)2.【解析】(1)取 A O 中点。，连 OE QG ,可得OE_LAD,结
26、合 平 面 平 面 A5C。，可证平面A5C。，进而有O E _L 6,再由底面是菱形可得AC J_ 8 D,可得O G L B O,可证得8。平面E O G,即可证明结论；(2)设底面边长为。，由 E尸 A8,A B=2EF,=VA_r B C=VE_A B C,求出体积，建立。的方程，即可求出结论.【详解】(1)取 A O 中点。，连 OE,底面A8CZ)为菱形，A B =AD =AE=E D,：.O E A D,平面 平面 A8CQ,平面 4。n平面 A B C D =A D,O E u 平面 AD E,.OE，平面 A BCD,B D u 平面 AB C D,OE B D ,.,底面
27、A 5 C Z)为菱形，A C _ L B Z),.G 为 C O 中点，O G/A C,:.O G B D,O G p O E =O,O G,O E u平面 E OG,BD，平面E O G,E G u平面E O G,.3。LEG；(2)设菱形A B C。的边长为a,则O E =走a ,2-.-EFII A B,A B =2 E F,一E-FBC=Q 匕-F B C =F-A BC=Q E-A BC=Q，1Z1 c zr c 1 币a 6 2 苏VE-A BC=-X0 EXS.A B C=至=：.a=2,所以菱形A B C。的边长为2.【点睛】本题考查线线垂直的证明和椎体的体积，注意空间中垂直
28、关系之间的相互转化，体积问题要熟练应用等体积方法，属于中档题.2 0.(1)6 0 ;(2)V1 3 +5.【解析】(1)利用正弦定理将目标式边化角，结合倍角公式，即可整理化简求得结果；(2)由面积公式，可以求得b e,再利用余弦定理，即可求得。，结合8+c即可求得周长.【详解】A(1)由题设得as i n C=c c o s .2A由正弦定理得s i n A s i n C =s i n Ce o s 2AV C G(0,7r)/.s i n C 0 s i n A =c o s,2AA2 s i n-2c o s=c o s 224 A 1所以 c o s 一=0 或 s i n =一.2
29、 2 2当 COS=0,A =7T(舍)2“Al故，2 2解得A =6 0。.(2)S c =/bc s i n A =6,从而/?c =4.由余弦定理得a2=b2+c2-2 Z?c c o s A =b2+c2-be=S +C)2-3/?C=S +C)2-12=13.解得a-/13.a+Z?+c =Jl 3 +5 故三角形A B C的 周 长 为+5.【点睛】本题考查由余弦定理解三角形，涉及面积公式，正弦的倍角公式，应用正弦定理将边化角，属综合性基础题.2 1.(1)直线/普通方程：2%一2 6)，一1 =(),曲线。直角坐标方程：(x I)?+y 2 =i；(2)芈.【解析】(1)消去直线
30、/参数方程中的参数/即可得到其普通方程；将曲线。极坐标方程化为p 2=2 2 c o s。，根据极坐标和直角坐标互化原则可得其直角坐标方程；(2)将直线/参数方程代入曲线C的直角坐标方程，根据参数/的几何意义可知|PA|+|PB|=|r,-z2|,利用韦达定理求得结果.【详解】(1)由直线/参数方程消去；可得普通方程为：2 -2 6 y-l =0曲线C极坐标方程可化为：夕2=2 0COS。则曲线C的直角坐标方程为：x2+y2=2 x,即(x l+/=i(2)将 直 线/参 数 方 程 代 入 曲 线c的直角坐标方程，整 理 可 得：/一 也/一3=o2 4R 3设A,3两点对应的参数分别为：:
31、小，则乙+/,=t，=一=-1 2 2 4【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义的应用；求解距离之和的关键是能够明确直线参数方程中参数，的几何意义，利用韦达定理来进行求解.4422.(1)2=4,4x+3y-25=0(2)存 在，收 一 冬 卜 一【解 析】(1)先 求 得 曲 线c的普通方程，利用伸缩变换的知识求得曲线G的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.根据极坐标和直角坐标转化公式，求 得 直 线I的直角坐标方程.(2)求 得 曲 线G的圆心和半径，计 算 出 圆 心。到 直 线/的 距 离，结合图像判断出存在M,N符合题意，并求得|
32、4 一名I的值.【详 解】2 2(1)曲 线。的 普 通 方 程 为 三+汇=1,纵 坐 标 伸 长到原来的2倍f16 4,得 到 曲 线G的直角坐标方程为16 4f+y2=6,其 极 坐 标 方 程 为0=4,直线/的 直 角 坐 标 方 程 为4x+3y-25=0.(2)曲 线G是 以。为圆 心，4为半径的圆,圆 心。到 直 线/的 距 离d=|4x0+3x0-25|743+32=5由图像可知，存 在 这 样 的 点A/,N,则/，且 点。到 直 线M N的 距 离OD=5-3=2,24 44：.AMON=,.以一夕|=.3 3【点睛】本小题主要考查坐标变换，考查直线和圆的位置关系，考查极坐标方程和直角坐标方程相互转化，考查参数方程化为普通方程，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.