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1、2022届全国卷I地区高考数学模拟试卷10学校:姓名：班级：考号：第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人|得分一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1 .已知集合主(%|尸尸1 ,庐 (x,y)|尸科1 ,则 i n s中元素的个数为A.0 B.1 C.2 D.32.设 i 是虚数单位,若复数z(l+i)=4-2i,则交A.3-3i B.3+3i C.l+3i D.l-3i3.已知 a=log23+log2V3,Glog 29 Tog 2/X c=log32,贝!a,b,c 的大小关系是A.a=b c C.a bbc4 .已知向量a=(2,T),k x).若 a 3,则广6.某校
2、开设/类选修课3 门和8 类选修课4门，小明同学从中任选2 门，则A,8 两类课程都选上的概率为7.在空间中，有如下四个命题：平行于同一个平面的两条直线是平行直线；垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；若 平 面 内有不共线的三个点到平面8的距离相等，则 过 平 面。的一条斜线有且只有一个平面与平面。垂直.其中正确的命题是A.B.C.D.8.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为A翳A.1 26 B.62 C.30 D.1 49.已知等差数列&的前n项和为S,若 =1 4,公+as=9,则二一+=Q 2a3a2 018a2 019B 2 019 Q 1043 D 1 0 4 3*4 038
3、2 018 2 0191 0.已知椭圆。的焦点为人(-1,0),凡(1,0),过用的直线与。交于4 8两点.若|/&=2史5|,|加=|明则。的方程为A.+y=l 民 兰+三1 C.史+廿=1 口.七+乃=12 3 2 4 3 5 41 1 .设函数f(x)=s in(3；r)(3 0),已知f(x)在 0,2口 有且仅有5 个零点.下述四个结论:/Xx)在(0,2 页)有且仅有3 个极大值点/U)在(0,2”)有且仅有2 个极小值点/V)在(0*)单调递增 的取值范围是耳,第其中所有正确结论的编号是A.B.C,D.1 2.已知三棱锥S-A B C,A B V B C,仍 8 俏2,S A=S
4、 C-2 V 2,二面角6TC-S的大小为拳则三棱锥 S T 况1 的外接球的表面积为A 12411 D 105n C 105K n 1047r第 n 卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人 得分-二、填空题(共4 题，每题5 分，共 20分)1 3.已知直线尸产1=0与曲线片I n 矛+a相切，则 a 的值为.1 4 .已知公比 1 的等比数列 2 ,满足a绊a i o,2(a+a2)=5 ai.若 b,F(n-4)a,(C N*),且数列 “是递增数歹J,则 实 数 A的 取 值 范 围 是.1 5 .某统计调查组从A,6两市各随机抽取了 6个大型商品房小区调查空置房情况,并记录
5、他们的调查结果,得到如图所示的茎叶图.已知A市被调查的商品房小区中空置房套数的平均数为8 2,6市被调查的商品房小区中空置房套数的中位数为7 7,则广片.A n7 2x I06 77 0 y8 2 51 6 .已知双曲线(a 0,力0)的右顶点为4以/为圆心，3 为半径作圆，圆/与双曲az b2线。的一条渐近线相交于瓶十两 点,若 丽=|而(。为坐标原点)，则双曲线C 的离心率为.评卷人 得分三、解答题(共7 题，共 70分)1 7 .(本 题 1 2 分)/a 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知e电,且满足absinC _asin/1+bsinB-csinC(1)求 角 C 的大
6、小；(2)求 2 a 的最大值.1 8 .(本 题 1 2 分)如图，四棱锥A 4 成为中，底面 加力是梯形,A DHB C支A DA.A B,A B=B C=2 A D=4,阳6是等边三角形,且平面用反L 平面4%力,E 是%的 中 点，点 M在棱 和 上(1)求证:1 1 囱/;(2)若 为 A C 的中点,求平面侬与平面 W所成锐二面角的余弦值.1 9 .(本 题 1 2 分)党的十八大提出建设“美丽中国”的要求,切实增强生态意识,切实加强生态环境保护，把我国建设成为生态环境良好的国家.某中学举办了以“美丽中国,我是行动者”为主题的环保知识竞赛.赛后从参赛者中随机抽取了 1 0 0 人,
7、将他们的竞赛成绩分为6组：4 0,5 0),5 0,6 0),6 0,7 0),7 0,8 0),8 0,9 0),9 0,1 0 0,并得到如图所示的频率分布直方图.其中成绩在 4 0,5 0),5 0,6 0),6 0,7 0),7 0,8 0),9 0,1 0 0 内的频率之比为1 ：2 ：4 ：6 ：2.(D 求成绩落在 9 0,1 0 0 内的频率,并估算本次竞赛的平均成绩；(2)若将频率视为概率,成绩在 9 0,1 0 0 内的定义为优秀.从参赛者中随机抽取3人,记这3人中优秀的人数为a,非优秀人数为6,加|看引，求才的分布列与数学期望.2 0.(本 题 1 2 分)(本题满分1
8、5 分)已知过点(1,0)的直线与抛物线:f=2 p x(p 0)交于M,N两点，且O M X.a v(o 为坐标原点).(1)求抛物线 的方程；设 4(如 加，庾为，力)，。(及,姓)是抛物线少上不同的三点，点A异于点0,A B HA C,A B LA C,05%)是线段式的中点，求过的取值范围.y o2 1 .(本题 1 2 分)已知函数 f(x)=l n ：-a x,g(x)d .求 函 数 f(x)的极值点；(2)当a0时，函数力(x)=f(x)-g(x)恰有三个不同的零点,求实数a的取值范围.请考生在第2 2、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第
9、一个题目计分。2 2 .(本 题 1 0 分)在平面直角坐标系xOy中,直线1的参数方程为便二;t为参数)，曲线 G：产逗.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线&的极坐标方程为。二 4&s i n(。-2).4(1)若直线1与X,y 轴的交点分别为A,B,点P 在G 上,求 威乔的取值范围；若 直 线，与 C交于M N两点，点Q的直角坐标为(-2,1),求 Q M T刎 I 的值.2 3.(本题1 0 分)已知函数/(x)=|2 5|T A+1 I.(1)解不等式:/X x)l,Z Fl o g29-l o g2V 3=l o g 2 3V 3=a,c=l o g 32 c.
10、【备注】无4.D【解析】：向量 a E 2,-1),(3,x).a ,ZF3,.,.6-A=3,.,.A=3.故选 D.【备注】无5.D【解析】本题考查函数图象的识别,考查数形结合思想./(三3 0,f(x)=出=e；易知当自变量x 趋近于0时，函数值趋近于0,当自变量x 趋近于+8团(*,x 0,时，函 数 值 趋 后 0,当自变量x 趋近于-8时，函数值趋近于+8.故选D.【备注】无6.D【解析】本题考查古典概型,考查考生的运算求解能力.先确定所求事件的概率类型是古典概型，然后利用列举法分别求出总的基本事件个数与所求事件所包含的基本事件个数,最后代入古典概型的概率计算公式求解即可.设 3门
11、 4类选修课分别为4,念 念 4门 6类选修课分别为尻民,员,尻小明同学从中任选2门，基本事件有4念 A xA ii A B y A B zi 4氏,4风 4力 3,1 2 氏 4民,击&,&44 心民,4&力 3 稣 A场 B R,B M,R)B3,B A,B A,共 2 1 种,其中4 两类课程都选上的有小凡A 岛,小氏,4 面,述凡A 跖 A 我,4曲,益见4殳 4a,4 曲,共1 2 种，所以4 6两类课程都选上的概率为非=/故选D.【备注】无7.B【解析】平行于同一个平面的两条直线，可能平行、相交或异面，不正确;垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，正确;若平面。内有不共线的三个点到
12、平面J3的距离相等，则a与万可能平行，也可能相交，不正确;过平面a的一条斜线有且只有一个平面与平面a垂直,正确，因为一条斜线只有一条射影,只能确定一个平面.故选B.【备注】无8.C【解析】本题结合圆的方程主要考查程序框图的相关知识,考查考生的识图能力.此题通过多次循环的设置,有助于培养学生逻辑推理和数学运算等核心素养.I o 9 9执行程序框图，赁0,京0+2 =2,(1 T)+(1 T)1 6,炉 1+1=2,产 1+1=2,尸 1+1=2;5=2+2 =6,(2-o o.91)+(2 T)1 6,退出循环.故输出 S的值为 3 0.故选C.【备注】【易错警示】解决程序框图题时，循环次数是易
13、错点，当循环次数不多时，可以逐次列举.9.A【解析】本题考查等差数列的通项公式及裂项相消法求和，考查考生的运算求解能力.先求出数列 a,的通项公式,再通过裂项相消法求和.设等差数列&的公差为d 因为匕I/即 片 所 以 旧=：，所以&=加1,所(做+=力(2 a l+5 d=9,(a=1,以一!一=-=-所以二一+-一=(1-1)+(1-1)+-+(二一-Cin-n+i(7l+l)(7l+2)n+1 n+2 a2a3 2 0182 019 2 3 3 4 2 0191 1 1 1009-)=-=-.2 020 2 2 020 2 020【备注】无1 0.B【解析】本题主要考查椭圆的定义及标准方
14、程,考查运算求解能力、化归与转化思想以及数形结合思想，考查的核心素养是宜观想象、数学运算、逻辑推理.由题意设椭圆的方程为弓+白 1 (a 8 0),连接A4令|FzB =m,则|A F2B R=3皿由椭圆的定义知,4 尸 2&得 若，故:&4|二才|A/，则点力为椭圆。的上顶点或下顶点.令/力用二J(。为坐标原点)，则 s i n 吟.在等腰三角形 中，c o s 2 J老=右 所 以 乂-22(i)2,得a=3.又。2=1,所以片=孑-。2=2,椭 圆 C 的方程为=+：=1.故选B.a3 2【备注】求解圆锥曲线试题,首先考虑画图,其次考虑定义与几何性质.凡涉及焦点三角形的问题,应注意解三角
15、形知识的应用.1 1.D【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查考生的数形结合能力,考查的核心素养是数学抽象、直观想象、逻辑推理.如图,根据题意知,x,W 2 31 同,根据图象可知函数f(x)在(0,2 n )有且仅有3 个极大值点,所以正确;但可能会有3 个极小值点,所以错误;根据x W 2 n x,有 等 W 2 ”答，得5 co 5a)葭W。噜，所 以 正 确;当(0,3)时,筹+也因为当W。噜,所以署+1 2.D【解析】如 图,取 的 中 点D,连接B D,S D,则/被 呼,4 e2衣,B2,S A 瓜过点作与平面4 6 C 垂直的直线，则球心0在该直线上,设球的半径为R,连
16、 接OB,OS,可得 一 在 IX 0S D中，Z O D ,6利用余弦定理可得於*-2+(向2_ 2X 迎。x巡 x李 解得)得所以其外接球的表面积为 4 n /普.故 选 D.【备注】本题考查多面体的外接球的表面积的求解,考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力.先通过作辅助线,确定外接球球心的位置,然后利用余弦定理求得球的半径,进而可得其表面积.1 3.2【解析】根据题意y=1,得 产 1,从而求得切点为(1,a),又该点在切线上,得l-a+l=0,即Xa=2.【备注】无1 4.(-8,3)【解析】本题主要考查等比数列通项公式的求解,数列的单调性以及不等式恒成立问题，考查考生的逻辑思维能力及
17、运算求解能力.先利用已知条件求出等比数列&的通项公式,再由数列,是递增数列,列出不等式,最后确定实数才的取值范围.2(a+a/2)=5a e 今2-5/2=0=f2 或胃与舍去)，磅=a i o=(曰，)2=团/=2 1=歼2,所以数列 a 的通项公式为4=2,所 以 4=(犷/)2(GN*),所 以 如=(加1 )2”因为数列是递增数列，所以加。2 所以(加1-4)2”(犷/)2,化简得力 加2.因为W N ，所 以 A 86+9。8 2,Z 2 Z =77,可得产6,尸2,所以尸尸6-2=4.62【备注】无【解析】本题主要考查双曲线的离心率及圆，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算
18、.平均分0.55,难度0.1 1.解法一 由题意得,圆A的方程为（方a）2+y=2.设圆A与直线片芍的交点aMkx,y i）,N（X2,，则由f b ，得（尸a）、宗邑欧化简得 c x-2 a x2 a-a c-0,（y=x。所以 X 1+X 2=,X|X 2=2a4：因 为 丽=:而，所 以 为=|物 又=卫+三+2,2 2 xrx2 x2 必故京*=1 +1+2 哼整理得2 5二 50 a 2 +2 4 人。，所以2 5e-50 e+2 4=0,得一三 1 （舍去）或故,等.解法二 由题意得,圆A的方程为（ka）2+_ A z A 取物V的中点P,连接A P,A M,A N,如图,设 NP
19、=|网=x,则|洲=4%又/（a,0）,所以|曲|=a,渐 近 线 缈 的 方 程 为 冷 所 以!A P=7 舞=型，又 I m 2=庐/=且2-（5x）2,所以X-,（-）2*-哼,整 理 得 2 5c-C24 c 2450 a c+2 4 a=0,即 2 5e-50 e+2 4=0,得（舍去）或 e=|,故 e.解法三 由题意得，圆A的方程为（）2+放=灰设 圆/与 X 轴的交点为B,D,如图，由切割线定理得 1 I刎=网 I刎=（a-036）=a 2-*,又 丽 =|丽，所以I掰 2=|行-冽，取MN的中点已连接:A M,A N,则|阴,兰|洲 2 者 小一小，又力（可 ）,1 al|
20、=&渐近线犷的方程16 24为 T x,收 所 以|阴 2=|阳 2-1 =a 2 _（泻 名）2=（马 2,所以2 5-50/+2 4 3=0,即a/a2+bz c2 5e-50 e+2 4=0,得 e?3。（舍去）或一=|,故叶等.解法四 由题意得,圆A的方程为（尸a）2+/=4.取 的 中 点K连接A P t施A N,如图，则1 4 M =b,OA =a,渐近线犷的方程为y-x,缁=丝t a n 乙 例 所 以A MI.x 轴，1 掰=c,又丽=I而，所以|掰 c,I 又/人 所 以 I 阴=yj OA 2-A P2=J a 2-（-=L=）2 =亡,可 得 守 e24 省.C 6 c
21、5 5y【备注】无1 7.解：由题意及正弦定理号=号=*得 詈 游 =V 3-snA sinP sine a+因为 c=V 3,所以 或 2+2 3】.由余弦定理得c o s小 户“/=工【或.3.1 9 9 8 2+2 3 2 1 2】，2ab 2因为0 江口，所以若.（2）由已知与（1）知 C-V 3,信 三,所 以 七 二 号 二 白 二 以 二 2，3 smA sinB sinC sin-所以 a=2 s in Af 6=2 s in 庐2 s in 号 T）,所以 从2 炉2 s in（g-4）+4 s in J=5 s in/+V 5 cos J=2 V 7 s in（J+。）（其
22、中 t a n 6%,0 。4）.因为 t a n t a n-=,所以 0 5 6 3 6又 0 /W，所以 0/3),P C=(2,4,-2 7 3).设平面取的法向量为m=（*,几巧），则由:配可得-2 x1+2 y 1-2 遮 2 1 =0,2 x i+4y1-2 V 3 z1=0,取用=1,则 M=-2,ZI=-V3,所以功=(1,-2,-百)是平面如C 的一个法向量.因为6(2,0,0),5 1 是阳的中点，所以Ml,0,V 3).因 为 为 A C的中点,所以Ml,2,V 3),于是反=(3,-2,V 3),D M=(3,0,V 3).设 平 面 的 法 向 量 为 e=(如%Z
23、 2),则由%匹=。，可得n2DM=0,3 x2-2 y2+V3Z2=0,3X2+V3Z2=0，取 X 2=1,则理=0,Z2=-V3,所以7 7 2=(1,0,-%)是平面妙的一个法向量.所以I cos m,例|=如 里=生 等=它.故平面始与平面穴所成锐二面角的余弦值为当解法二 因为M 为尸C 的中点,是阳的中点，所以EM/B C,0号 陷 2,由题意易得 A DV A P,所以 PD=7A D2+4 P 2 =V 22+42=2 5/5,因为 PB V B C,所以 POylPB2+B C2=42+42=4/2,又 D gA B?+(8 0 4 0)2=2 同所以PD=DC,又 M 为小
24、的中点，所以DMLK.易知D语A B=2 遮 A DLA E,所以 DE=7A D2 +A E2 =卜+(2 回 2=4,所以就+E於 施，因此DMY EM,因此NE 超就是平面血眩与平面如。所成锐二面角的平面角.又EM/B C,所以/必良/户毋4 5。，所以c o s/P M l A故平面监与平面W所成锐二面角的余弦值为当【解析】本题考查空间中线线垂直的证明以及二面角余弦值的求解,考查逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力.试题在全面考查考生立体几何基础知识的同时,通过问题的分层设计，使不同层次考生的水平都得以发挥，体 现 了 课程标准对立体几何教学的知识要求和能力要求,使直观想象、逻辑推
25、理、数学运算等核心素养得到了有效考查.(1)要证A ELB M,只 需 证 明 工 平 面 阳 C而易知A ELPB,再通过6 C L 平面用占证得B CLA E,即可使问题得证；(2)可建立空间直角坐标系利用空间向量法求解，也可利用几何法在图形中找到所求锐二面角的平面角，然后在三角形中求解.【备注】无1 9.(1)设成绩落在 4 0,5 0)内的频率为 x,则成绩落在 5 0,6 0),6 0,7 0),7 0,8 0),9 0,1 0 0 内的频率分别为2 x,4 x,6 x,2 x.依题意得 x+2 x+4x+6 x+2 x+0.0 2 5 X 1 0=1,解得产0.0 5.所以成绩落在
26、 4 0,5 0),5 0,6 0),6 0,7 0),7 0,8 0),9 0,1 0 0 内的频率分别为0.0 5,0.1,0.2,0.3,0.1.本次竞赛的平均成绩为 4 5 X 0.0 5+5 5 X 0.1+6 5 X 0.2+7 5 X 0.3+8 5 X 0.2 5+9 5 X 0.1=7 4 (分).所以成绩落在 9 0,1 0 0 内的频率为0.1,本次竞赛的平均成绩为7 4 分.(2)由题意得小的所有可能取值为1,3.由(1)知,从参赛者中任取一人,成绩为优秀的概率为0.1,则非优秀的概率为0.9.当为1 时，3=2,左1 或 3=1,占2,A l)=C|X 0.l2X 0
27、.9+C 1 X 0.92 X 0.1=0.2 7,则 P(后3)=1-0.2 7=0.7 3.所以1的分布列为八 13P0.27 0.73所以才的数学期望 (用=1 X 0.2 7+3 X 0.7 3=2.4 6.【解析】本题考查频率分布直方图的应用、离散型随机变量的分布列及数学期望的计算，考查数学运算、数据分析、逻辑推理等核心素养.(1)利用频率之和等于1 列方程,即可解得各组的频率,然后利用平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形位于横坐标轴上的边的中点值之和求解平均数；(2)先写出/的所有可能取值及对应概率,再列出分布列,计算数学期望.【备注】无2 0.解：(1)由题意得,过
28、点(1,0)的直线不与x 轴平行,故可设直线,斜的方程为A=Z 7 j+l,设，(用，入),N(XA,71),联立直线 邠 与 抛 物 线 的 方 程,得 消 去 才 得 外 2 夕叱2 尸0,所以为%二-2 0,所以毛禹学除=7 7=1,4p o +myo+y，2+i=o,my。-2yoyf+y?-2y2=-my0（2y l y 2=-2（%+myl+1）,即（资+泥=*+2羽=-l +2光 ,由+得Q i+y2）2=3 一 1+2指一2（据+股咯+1）,修T,所 以 熬 舞设为+外=2疗硒,得(而+2 而=亍 3.当-2 时，0#-4,不合题意，舍去;(i i)当/W-2 且 加 产 0时
29、，yl-晨：=一 4,“m2+2 m m2(rn+2 y因为y Q 0,所 以 黑 0),X 2.X X当 a W O 时，f (x)0,所以函数f(x)无极值点.当aQ时，令 f (x)=0,解 得.由/f?J ,解得0 0 时，函数F(*)有极大值点3无极小值点.a 当a0时,力(上)=(力-g(x)=l n|-a 用学才 0),所以力(X),-天号=土苧4a(x 0),设在(x)二 一 d+x-4年0,贝 I4 二 1 一 1 6，当 J 即 a 2；时，方 (x)W0,所以小x)在(0,+8)上单调递减，l a 0 4所以A(x)不可能有三个不同的零点.当F 即 0 0 4 2a 2a
30、所 以%i 0,A 2 0.又kx-axx-a的图象开口向下,所以当0 求不时,A(A)0,所以A U)0,所以力(X)在(0,由)上单调递减；当用 0,所以力(X)O,所以力(X)在(禹,及)上单调递增；当 x 出时,A()0,所以力(才)0,所以力(X)在(矛2,+8)上单调递减.因为 A(2)=l n l-2a+%1%2=4,所以所以力(矛1)力(2)=0 号 o.4 a a2 a2 a2所以M a)在(0,J)上单调递增，4所以当 O a d 时，加(a)(w 尚=T n 2-2I n i-4+4X (i)Ml n 2-4+-0,4 4 4 4 16即 A(4)0.a2由零点存在性定理
31、知，力(x)在区间(物2)上有唯一的零点的因为 方(施)+A()=l n 殛-a A b+l n (-)-4-t 0,xQ 2 xQ 2 x0 x0 XOA Uo)=O,所以 A ()=0,与所以0 -0 求 fx)的极值点*u -y(x)=*广 G加 一 *).-.-4 o u -1干。能*三 个 的 零 用 =|-啥 A#4 I(2)皿 0),设点 P 的坐标为(co s q,s in a),0 a W”，/.R4 丽二-co s Q+s in+l=V2 s in(。-2)+1 0,V2+1.4(2)由 Q=4&s in(。-；)及 产 oc os，片 si n。得曲线C的直角坐标方程为(
32、户2)?+(广42)2=8,(X =-2-m 9 _%5为参数)，代 入 G得ZA V 力7=0,y=1+m设 M N两点对应的参数分别为 i,nk,则例例=-7 l,或x-6|)优解 如图，作出函数f(x)的图象，,院死或八利 用 f(x)的图象解不等式，由4-3 产3%解得若,由图象可得原不等式的解集为3%|.通解 当时，f(x)=4-3 x,则不等式f(x)Wax?-广3 可化为a x+2 1 N O,令 g(x)=a,+2 x T,易知函数g(x)=ay+2 x T的图象恒过点(0,T),由函数g(x)=a/+2 尸1 的图象可知,要使x G 1,2 时，f(*)W a-户3 恒成立,
33、需(a 0,解得 a T(9(2)0故实数a 的 取 值 范 围 是+8).4优解 当 x G 1,2 时，F(x)=4-3%则不等式f(公W a/-e3可 化 为 后 白-X2 X因为 1,2,1,所以W 三(二 T)2 TX 2 X X 4所以a2-；,4故实数a 的取值范围是q,+8).4【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法,分段函数图象的画法,不等式恒成立问题,考查考生分类讨论思想以及化归与转化思想.(1)利用零点分段法解不等式或作出函数图象解不等式；(2)利用二次函数的图象求解或分离参数求解.【备注】【归纳总结】绝对值不等式的常见解法：(1)零点分段法，含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分段法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)；利用绝对值的几何意义，由于|六a|+1 6与|x-a|-1 r 引分别表示数轴上与x 对应的点到与a,6 对应的点的距离之和与距离之差,因此对形如|a|+|引0)或 I x a 卜|尸引c(c0)的不等式,利用绝对值的几何意义求解更加直观;(3)数形结合法,在平面直角坐标系中分别作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解.