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1、2022届全国卷I地区高考数学模拟试卷7学校:姓名：班级：考号：第 I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明评卷人 得分-一、选择题(共12题，每题5 分，共 60分)I.设集合乐3尸2)以 削产l g(4-x),则 4n (GA=A.(0,4 B.(0,4)2 .已知复数2=i(l+旧 i),则如zA.V3-i B.-V3+i3.设 F(x)为奇函数，且当x 2 0 时,f(x)A.e X-1 B.e r+lC.4,+8)D.(4,+8)C.-i i D.-立+与2 2 2 2e-l,贝 I J 当 K O 时,/(=C.-e-1 D.-e*+l4.已 知 四 边 之 产 竺 边 长 为
2、 2的菱形，吐 60 ,M N分别是BC,如上的点(不含端点)，且MN/BD,则 福 丽的取值范围是A.(-2,4)B.(-2,2)C.(1,2)D.(2,4)5.已知函数/1(x)=U g(x)满足g(2-x)+g(x)=0.若 函 数 的 图 象 与 函 数 g(x)的图象恰好有2 01 9 个交点，则这2 01 9 个交点的横坐标之和为A.4 038 B.2 01 9 C.2 01 8 D.1 0096.我国古代有着辉煌的数学研究成果.周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、缉古算经等 1 0部专著,有着十分丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这1 0部专著中有7 部产生于魏晋
3、南北朝时期.某中学拟从这1 0部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为A.-B.-C.-D.-15 15 9 97.已知双曲线C:4=l(a0 0)的左、右焦点分别为凡屋。是双曲线C 上一动点，若a2 b2 E 阴 的 面 积 为0NP&F=2NP FFz,则双曲线。的离心率为A.V3+2 B.V3 C.V3+1 D.2 V38.我国古代名著 九章算术用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法一一“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”,当输入a =6 102,6 =20
4、16 01,输出的a =A.5 4B.9C.12D.189.已知在等差数列 4 中，3 3+3 9=5 4,设数列&的前n项和为S,贝 U S u=A.18 B.99 C.198 D.29710.已知半径为1 的动圆与定圆(x-3)2+(y+5)2=16 相切，则动圆圆心的轨迹方程是A.(x-3)2+(y+5)2=25 B.(x-3)2+(y+5)2=3 或(x-3)、(y+5)2=15C.(x-3)2+(y+5)2=9D.(x-3)2+(y+5)2=25 或(x-3)2+(y+5)2=911.若将函数F（x）=si n（2A+/）+V 3C O S（2A+。）（0。打）的图象向左平移;个单位
5、长度,平4移后的图象关于点0,0）对称，则。的值是A.-B.E C.-D.工42 3 612.已知某几何体的直观图、正视图、侧视图如图所示，正视图是等腰直角三角形，侧视图的外框是正方形,则直线比与平面/5所成角的正弦值为A 邛B-T第II卷(非选择题)请点击修改第I I卷的文字说明评卷人 得分-二、填空题(共4题，每 题5分，共2()分)13.已知函数f(x)=2“+/-l,若f(/-a _ 9)W f(-3),则实数a的 取 值 范 围 为.(x2-x+l,x 0)b0)与 椭 圆 有 相 同 的 焦 点“且双曲线C的渐近线方程为y=2 x,则双曲线C的方程为.评卷人 得分-三、解答题(共7
6、题，共7 0分)17.(本 题12分)在三角形/欧中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且 噤 =cs(c+BcoscsinBc.u C(1)求角)的大小;(2)若三角形1%的面积为1,加厂2+a,求a.18.(本 题12分)如图，四棱锥4 4 7龙的底面是矩形,&U底面ABCD,材为仇?的中点,且P BVAM.证 明：平面为M L平面P BD-,(2)若 既 叱1,求四棱锥片46切的体积.19.(本 题12分)2020年，国 庆“遇上”中秋，中国人把这个“超长黄金周”过出了年味.假期期间，全国各大旅游景点、车站、机场人头攒动的场景也吸引了世界的目光.外国媒体、专家和网友“实名羡慕”，这一派
7、热闹景象证明了中国抗疫的成功，也展示了中国经济的复苏劲头.抗疫的成功离不开国家强大的医疗卫生条件,下表是某省2013年至2019年医疗卫生机构数y(单位:万个)：年份2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019年份代号，1234567医疗卫生机构数w万个4.24.34 v4.74.84.84.9(1)求 y关 于 t的线性回归方程夕=G t+a S 保留两位小数)；(2)利用(1)的结果,规定若某年的实际医疗卫生机构数与估计值的差的绝对值不超过5 0 0 个,则称该年是“吻合”年.假设2 0 2 0 年该省医疗卫生机构数的估计值为实际值，现从2 0 1 3 2 0 2
8、0 年这8年中任选3 年,其中“吻合”年的个数为求 1的分布列与数学期望.附：nE (ti-t)(y ry)7参 考 公 式 与 参 考 数 据 J-,a =y%,(”,二 1 3 2.2,y=4.6.2 22 0 .(本 题 1 2 分)已知椭圆C 邑+3=l(a 6 0),直 线1：尸k/a,直 线/与 椭 圆 C 交于M N两a2 b2点，与 y 轴交于点P,。为坐标原点.(1)若 公 1,且 N 为线段,妒的中点,求椭圆，的离心率；(2)若椭圆长轴的一个端点为0(2,0),直 线Q M,Q V 与 y轴分别交于4 6两点，当 可 而=1 时,求椭圆C 的标准方程.2 1 .(本题 1
9、2 分)设函数f(x)=I n x +x2 2mx+m2,m 6 R.(1)当m=。时,求函数/(x)在 1,3 上的最小值；(2)若函数f(x)在|,|上存在单调递增区间，求实数m的取值范围；(3)若函数“X)存在极值点,求实数m的取值范围.请考生在第22、2 3 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。(x=l-t2 2 .(本 题 1 0 分)在直角坐标系x O y 中，直线I 的参数方程为1 2仕为参数).再以 =4 一 会原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系x o y 有相同的长度单位.在该极坐标系中圆C 的方程为
10、p=4 s i n8(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C与直线2交于点4、B,若点M的坐标为(一 2,1),求|M 4|+|M B|的值.2 3.(本题 10 分)已知函数 x+m+x-n.(1)若 且 不 等 式fx)6 的解集为 x|xl或 K-5,求mn的值；(2)若用n均为正实数,且工+；=1,求证：A x)m 4 n 4参考答案1.C【解析】由题可得4=(0,+8),比(-8,4),所以G 庐 4,+8),则 4 n(G而=4,+8).故选C.【备注】无2.D 解析V z=i(l+V 3i)=-V 3+i,i z|=2,z=-V 3-i,2+Z v3+l 4 2 2【备注】无3
11、.D【解析】本题主要考查函数的奇偶性,考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.通解 依题意得，当 K 0 时，A )=-A-x)=-(e -l)=-e *+1,选 D.优解 依题意得,f(T)=-f(l)=-(e Ll)=l-e,结合选项知,选D.【备注】【方法总结】在解决有关函数的奇偶性问题时,可考虑通过取特殊值的方法解决问题.4.A【解析】解法一 因 为/吐 6 0 ,所以/力分120 ,所 以 四-AD=B C 尻=2X 2c os120 =-2,荏 沆=前而=2X 2c os 0 =4.设 丽=儿 丽(0儿 1),贝 I 前=4 反，所以A M -AN=(AB+BM
12、)-(AD+DN)(AB+ABC)(AD+ID C)=A B-AD+A(AB-DC+BC 荷)+N就 D C=-2 A2+8 4-2,因为 0 A 1,所 以 询 AN(-2,4),故选 A.解法二 以A为坐标原点,所 在 直 线 为 x 轴,过点A且垂直于4 6 的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则/l(0,0),M 2,0),C(l,V3)V3),所 以 而=BC=(-l,V3),AB=D C=(2,0).因为 MN/BD,所 以 瞿=唱,设l C|oC|BM=ABC0 4 1),则 而=1 反，则 宿=AB+B M =AB+ABC=(2,0)+A (-1,7 3)=(2-A,y/
13、3 A),AN=AD+D N =AD+儿尻=(T,遮)+4 (2,0)=(2 4 T,g),所 以 宿 A/V=(2-A,5/3 A)(2 1 1,V 5)=(2-1)(2 儿 1)+3 C=-2 V+8 1-2,因为 0/1,所以A M 4 N G (-2,4),故选 A.【备注】无5.B【解析】本题主要考查函数的奇偶性、函数图象的对称性,考查考生分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养.先根据奇函数的定义得到函数A x)为奇函数,得函数f(尸1)的图象关于点(1,0)对称,再根据g(2-x)+g(x)=0得到函数g(x)的图象关于点(1,0)对
14、称,最后数形结合即可解决问题.因 为f(-x)+F(x)=卷 +等=0,所以函数/1(X)=第 为 奇 函 数，所 以 函 数/1)的图象关于点(1,0)对称.因为函数g(x)满 足g(2-x)+g(x)=o,所 以g(x)的图象也关于点数0)对称,所以函数N x)=g(x)-f(l)的图象关于点(1,0)对称，且N x)有2 019个零点，这2 019个零点关于点(1,0)对称.易知产(l)=g(l)-f(0)=0,所 以 户1是尸(x)的一个零点，其 余2 018个零点首尾结合，两两关于点(1,0)对称，和 为2 018,故所有这些零点之和为2 019.故 选B.【备注】无6.A【解析】本
15、题主要考查组合的应用、古典概型，考查的核心素养是数学建模、数学运算.从10部专著中选择2部的所有结果有量。=4 5(种)，所选的2部专著都为魏晋南北朝时期的专著的结果有量=2 1 (种)，所选的2部专著中只有1部为魏晋南北朝时期的专著的结果有C鸠=2 1(种)，所以所求概率P=誓=得 故 选A.【备注】【注意事项】解答古典概型概率问题时要注意两点:一是准确判断概率的类型;二是准确求出所有的基本事件的个数和所求事件包含的基本事件的个数.7.C【解析】本题考查双曲线的定义、标准方程、离心率，三角形的面积公式等知识，考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力,考查数学运算的核心素养.先得出咫，
16、在R t片格中，由/格 氏=22%&得 出/你 凡 殳 求 出 三 边 的 关 系,再结合双曲线的定义,求出双曲线的离心率.设/用 房=。，则在杼出中，利用余弦定理可得,|a尸2=P Fr2+P F22P F l/l c o sa=(|PF i H PF 2 l)2+2|)i|臣|-2|阳|阴|c o s。，即 4 c =4 a2+2 P FXP F2(1-c o s。)，2隹|%|格|(l c o s。)，%|又 S A R P8 =j阳|咫|si n 0=庆1-COStt I”z i-cosa所以 si n o =l-c o s a,又 si n a+cos 0 1 _阴，又N例尸尸2/%
17、屋 所 以/所 齐 与 N%石 斗 所 以I仍UBcJ%I=。,所以I P R-I室|=(遮-1)c=2a,则 离 心 率 有=言=V 3+1.故 选C.【备注】无8.D【解析】无【备注】无9.C【解析】通解 设等差数列&的公差为d,则由备+为+麴=5 4得，a i+2冰明+5小|+8庐3团+1 5户5 4,所以团+5户1 8,所 以S“=l l a】+5 5#1 1 X 1 8=1 9 8.优解 因 为a 3+%+麴=3 a=5 4,所 以36=1 8,$1=1 1或=1 9 8.【备注】无1 0.D【解析】当动圆圆心在定圆外时，动圆圆心(x,y)到析,-5)的距离为5,.析-3)?+(y+
18、5)2=2 5;当动圆圆心在定圆内时,动圆圆心(x,y)到(3,-5)的距离为3,A (x-3)2+(y+5)2=9.【备注】无1 1.D【解析】本题主要考查三角恒等变换及三角函数图象的平移变换等.先由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据三角函数图象平移变换的规律及图象的对称中心得。的值.,.,f(x)=si n(2 A+)+V 3 c o s(2A+O)=2 si n(2户 0+g),，将函数 f(x)的图象向左平移己个单位长度后，得 到 2 s i n 2()+=2 c o s(2。+学 的 图 象1.该图象关于点0,0)对称,对称中心在函数图象上，.+g=2 c o s(允 +0
19、+/)=0,解得 J i +4+kT t+p A G Z,解得 6=kw,A G Z.V 0 0 K,0.故选 D.6 6【备注】无1 2.C【解析】根据直观图、正视图、侧视图的结构特征可将该几何体放置在正方体中(如图所示,为正方体的一个顶点)，取 芯 的 中 点 连 接BF,CF,则BFVAE,得BFVCD,又ADVBF,得即L平 面ACD,所以直线8 c与 平 面 所 成 的 角 为 易 得aaF为直角三角形,且BF1FC,B O W F,则sin/BC喏=:,所以直线a 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为;.BC 2 2【备注】无1 3.-3,-2 U 3,4【解析】易 知f(x
20、)为R上的偶函数，且在 0,+8)上单调递增，则f(a 2-/9)W f(-3)等价于AI a-a-91)W f(3),等价于|a-a-91 W 3,解得-3 W a W-2 或 3 W a W 4,即 a 的取值范围为-3,-2 U 3,4.【备注】求解本题需要注意以下两点:一是能够根据函数/X x)的解析式得到/X x)为偶函数及 函 数f(x)的单调性;二是能够根据函数的性质去掉不等式中的“尸.【解析】本题考查函数的性质、绝对值三角不等式的应用，考查化归与转化思想及运算求解能力,考查数学运算的核心素养.先 解 得f(x)的最小值，再 将“对任意的x i G R,存 在&G R,使 得 (
21、由)g(&)成立”转化为“M x)a i ng(x)1 t li J,然后根据绝对值三角不等式得点“时 产|A T|,最后解绝对值不等式%|k-l|即可求解k的取值范围.4当%I，./()r a i n=7.由题意,对任意的%1 R,存 在X 2 R，使 得F(X 1)2g(矛2)成立,即F(X)mi n 2 g(X)mi n,又 g(x)=|A+A|+|户1 2|(户4)-(户 1)|=|A-1 1,Ag(xmi n=I k-l I,，注 Ik-l|=仁 庆 即 44 4的取值范围为由g.4 4【备注】无1 5.4易得椭圆的焦点为(-V 5,0),(V 5,0),【解析】本题考查茎叶图的识别
22、、平均数、中位数等知识，考查数据分析、数学运算等核心素养.先由平均数公式得出X的值，由中位数的定义确定y的值,再计算方y的值.由题意知72+77+81+80+X+86+90=8 2,70+8 2-77,可得产6,片2,所以尸尸6-2=4.6 2【备注】无1 6.x2-=l4【解析】本题主要考查圆锥曲线的性质，意在考查考生的运算求解能力.小+人 2 =5 9b _ LQ,/.a =l,b=4,双曲线C的方程为x -a匕 1.4【备注】无7 解()因为SE2B _ cos(C+F)-cosCsinB,一 2 b c所以 c s i n 氏os B+bcos 4+dcos C s i n 展0,得
23、6c o s A+(ccos B+bcos C)s i n B=0,即 bcos 力+a s i n B=0,可得 s i n Bcos J+s i n 力 s i n 斤0,因为 0B n ,所以 s i n B声0,所以 c o s J+s i n A=0,所以 t a n A=l.因为。水 n,所以a?.由题意知”c s i n 力=1,得bc=2y/2.又 6+c=2+V 2,所以由余弦定理得,a=lj+c-2bccos A=IJ+c+y/2bc=(b+cy-(2 7 2)bc=10,所以a VlO.【解析】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查学生的运算求解能力、化
24、归与转化能力.(1)对已知等式进行恒等变形,得到关于角A的关系式,进而求得A的值；(2)根据已知条件求得be,再利用余弦定理求解.【备注】无18.解：(1)；如，平面4 8,4 k 平面ABCD,：.P DVMLJ P BVAM,且 P BC P D=P,必=平面 P BD,弘=平面 P BD,二4 月_平面P BD.又 4k 平面P AM,.平面目MJ L 平面P BD.为a 1的中点，；.8 吟/由题意知AB=DO.:用人平面P BD,应f c 平面P BD,J.AMLBD,由/切 册/始 分 9 0 ,乙谢/4 如=9 0 ,得/胡沪/力庞，易得：ADB,所以竺,即=,得 AD=y/2,
25、AB AD 1 AD所以 S 矩形 D o,16kXM+%N=-赤 瓦 .(4 o是直线与桶圆有两个交点的前提条件)16-4b2“M-XN=诉 后直线 Q M;产 上(片 2)，4(0,-亘丝)，P A=(0,2M+2XM-4).工 M-2 X-2 2-X j v f*.*斤 4%+2,1.切 厂 2二 A x 的即方二(0,2(卜+1)3).2-XM同理可得而二(0,迎歧见).2-XN：.P A-P B=4(k：y 广4、=,得 房 3,(利用根与系数的关系得到两根之和与两根之XMXN-2(XM+XN)+4积,设而不求,整体代入,是解决直线与圆锥曲线位置关系问题的通法).椭圆C的标准方程为。
26、+t=L4 3【解析】本题主要考查椭圆的方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系,考查的学科素养是理性思维、数学探索.第(1)问，根据直线方程和椭圆方程可知点，为 椭 圆。的左顶点,进而求得M-畀柒，代入椭圆方程得到与=I，即 可 得 离 心 率 卡；(2)联立椭圆方程与直线的方程,根据根与系数的关系得到居+必与X的,再求出直线QV与 y轴的交点A的坐标,进而得到方,同理求得而,将x计 X、及x 曲代入可丽=1,化简可得广=3,从而求得椭圆的标准方程.【备注】无21.(1)当m=0 时,/(%)=I n x+/,其定义域为(0,+8),(x)=i +2%0,所以/(x)在 1,3 上是增
27、函数,当x =1时,/0)取得最小值f(l)=1.故函数/(x)在 1,3 上的最小值为1.(2)依题意,可知/(X)=；+2x 2m=2丫设g(x)=2%2 _ 27 n x +1,则区间|,|上存在子区间使得不等式g(x)0 成立.因为函数g(x)=2x2-2mx+1的图象是开口向上的抛物线，所以只要g(|)0 或g(|)0 即可.由9(|)。，即|-|m+1 0,解得m。，即g 3 m +1 0,解得血 知因 此,若 函 数 在|,|上存在单调递增区间，则实数m的取值范围是(-8,当.由(2)可 知/(%)=2 一：+：g(%)=2x2 2mx+1.(i)当?n 0 恒成立,此时(%)0
28、,函数f (%)没有极值点；(i i)当?n 0 时，若A =4 m2 8 0,即0 0 恒成立，此时J (x)0,函数/()没有极值点；若 =4 7 n 2 8 0,即m a 时，m-y/m2-2 _ _ m+/m2-2易知当-a 时,g Q)0,此时,f(%)0,此时J(x)0所以当m 鱼时,函数/(%)在x =叱 等 二 处取得极大值,在x =之处取得极小值.综上,若函数/(X)存在极值点，则实数m的取值范围是(a,+8)【解析】本题主要考查导数、函数的性质与极值，考查了函数的构造思想、恒成立问题、分类讨论思想、逻辑思维能力与计算能力.(1)r(x)=I n x +%2,其定义域为(0,
29、+8),尸(x),易判断函数的单调性,则最小值易得；依题意,可知/(X)=%等t l,设g(x)=2x2-2mx+1,则区间|,|上存在子区间使得不等式g(x)0成立,所以只要g(|)。或g(|)0即可,求解可得m的取值范围;(3)由可知尸(幻=空 子 江,g(x)=2x2-2mx+1,当m 0恒成立，易得结果;当m。时,分4 =4 m2-8 0与=4 m2-8 6 即 xm 3,解得 x 3-加或 K-3-/Z,因此3J=1且-3-必=5,解得m=2.故 m=2,n-2,从而 mn=.(2)由于而,均为正实数,所以 f(x)=|x+m+x-m|(x+ni)-(x-n)=nn,而附n Y +工)(小)-+-+-+2 区至二当且仅当巴伫，即m t n时取等号.m 4n 4 m 4n 4-J m 4n 4 m 4n故 F(x)泞.【解析】本题考查绝对值不等式的解法、函数的最值等，考查的核心素养是逻辑推理、数学运 算.(1)由研上0 得 m 从而将f(x)中的消去,然后根据绝对值不等式的解法写出不等式f(x)6的解集,与已知解集对照进而求解；(2)由网 均为正实数,且工+；=1,故可根据绝对值三角不等式得出/(X)与研 的关系,再利用基本不等式即可证明结论.【备注】无