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1、2021年河南省六市高考数学第二次联考试卷（理科）一、选 择 题（共12小题）.1.复数，（2+i）的实部为（）A.-1 B.1 C.-2 D.22.已知全集 U=H,集合 A=H r 7 B.S21 C.S28 D.S368.如图，每个小正方形网格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何9.若 OV aVbV l,x=ab,y=z=log/M,则 x,y,z 大小关系正确的是（）A.x y z B.y x z C.z x y D.z y 0）的左、右焦点分别为F l,尸2,点M在C的a b左支上，过点”作C的一条渐近线的垂线，垂足为N,则当取最小值1 0时,F i NE：面积的
2、最大值为（）1 2 .现有一批大小不同的球体原材料,某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面A 5C Z）为正方形，A B=2,侧 面 为 等 边 三 角 形，线段B C的中点为E,若P E=l,则所需球体原材料的最小体积为（）8 衣兀C.9T T2 队历I 兀 2 7 二.填空题（每小题5分）.1 3 .已知扇芯为单位向量，且之，（Z+2 4），则向量Z与芯的夹角为.1 4 .已知直线o r+y-1=0与圆C：（x-1）?+（y+a）2=1相交于A,3两点，且 A B C为等腰直角三角形，则实数。的值为.1 5.已知A 8 C 内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若/?s i n
3、 A =2 c s i n B,c o s B=,b=3,则A B C面积为.1 6 .若V x 0,不等式lnx+2+b（a 0）恒成立，则2的 最 大 值 为.xa三.解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.必考题:共60分1 7 .设数列%是公差大于零的等差数列，已知的=3,4 2 2 =4 4+2 4.（I）求数列伍 的通项公式；（I I ）设数列 6满足b“=c o s an冗（n 为奇数）冗（n 为偶数）求 b+bi+一 +b2 O2 i.1 8 .如图，在四棱锥 P-A B C。中，ABLPC,AD/BC,A D A.C D,且 PC=B C=2
4、A O=2 C Z)=2&,PA=2.(1)证明：PA _L平面 A 8 C D；（2）在线段尸。上，是否存在一点M,使得二面角M-AC-。的大小为6 0?如果存在，求 粤 的 值；如果不存在，请说明理由.PD1 9 .2 0 2 0 年席卷全球的疫情给世界人民带来了巨大的灾难，面对疫情，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对55位居民是否患有疫情疾病进行筛查，先到社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，己知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为2%,且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.（1）假设该疾病患病的概率是0.3%
5、,且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为9 8%,设这5 5 位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为疫情患者的概率；（2）根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将 5 5 位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：方案一：将 5 5 位居民分成1 1 组，每组5人；方案二：将 5 5 位居民分成5 组，每 组 1 1 人；试分析哪一个方案的工作量更少？（参考数据：0 W9 0 4,0.98 =0.
6、801）2 0.已知圆M：（x-1）2+y2=,动圆N与圆M 相外切，且与直线x=-5相切.4 2（1）求动圆圆心N的轨迹C的方程；（2）已知点P（-5，-），。（1,2）,过 点P的直线/与曲线C交于两个不同的2 2点 4,B（与。点不重合），直线Q A,Q8 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值;若不是，说明理由.2 1 .已知函数/(x)=xlnx,g(x)=x2+ajc(W R).（1）求函数/（X）的单调区间；（2）设f （x）图象在点（1,0）处的切线与g （x）的图象相切，求a的值；（3）若函数尸（X）=2f（X）+g a）存在两个极值点x|,如 且|X L X 2|W|,求
7、尸（X I）x2-F（及）|的最大值.选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4 一 4；坐标系与参数方程|Y=1+c n c；C L2 2.在平面直角坐标系x O），中，直线/的参数方程为1 G为参数,O W a T t）.以l y=l+t*s i n d坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=4 c o s。.（I ）求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（I I）设直线/与曲线C交于A,B两 点,求 O A B面积的最大值.选修4 一 5：不等式选讲2 3 .已知函数/（x）=2 x+a+,（1）当a=
8、2时，解不等式/（x）+x3,又 B=xx2-6x+5W0=x|lWxW5,所 以(CRA)DB=X|3VXW5=(3,5J.故选：B.3.在五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如图所示.下列说法正确的是()甲2 108 90123乙12 3 40A.甲的平均得分比乙多，且甲比乙稳定B.甲的平均得分比乙多，但乙比甲稳定C.乙的平均得分比甲多，且乙比甲稳定D.乙的平均得分比甲多，但甲比乙稳定解：由茎叶图可知，5 场比赛甲的得分为1、2、10、39、38；5 场比赛乙的得分为11、22、23、24、30乙运动员的得分大部分集中在22 24分之间，而甲运动员的得分相对比较散故乙篮球运动员比赛
9、得分更稳定.-乂-甲-1=+-2-+-1-0-+3-9-+-3-8-=1Q1 8,-乂-乙-=-1-1-+-2-2-+2-3-+-2-4-+-3-0=2”2,乙7 的g平诋均小得舛分公比“甲田好松5 5甲的最高分为3 9,乙的最高分为30故最高得分甲比乙高，在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，且乙比甲稳定故选：C.4.“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的 登鹳雀楼，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面。点看楼顶点A 的仰角为 30,沿直线前进79米到达E 点，此时看点C 的
10、仰角为45,若 8 c=2 A C,则楼高A 8约 为（）解：不妨设A C=x,根据条件可得3c=B E=2x,ABAC+BC=3x,tan/A D B 喘 A B D=t a nZADB=3X，.DE=BD-BE=（3V3-2）x=79.79 XW7 B,S21 C.528 D.S36解：模拟程序的运行，可得i=l,S=0,S=l,不满足条件，z=2,S=3；不满足条件，i=3,S=6；不满足条件，i=4,S=10；不满足条件，i=5,S=15；不满足条件，i=6,S=21；不满足条件,i=7,S=28；由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出i 的值为7.所以判断框中的条件可填写“SN21
11、?”.故选：B.8.如图，每个小正方形网格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何A.8B.12C.18D.22解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱台ABC-OEF；如图所示：所以四边形EFC。面积最大，由于 AB=AC=4,DE=DF=2,BC=42,E F=2,故 x(W 2+2 V 2)X742+(V 2)2=1 8，SA D EF-|x2 X 2=2SA A B C 4X 4 X 4=8,SAE DE=SADF C=1X(2+4)x 4=1 2 故选：c.9.若 OVaV8Vl,x=ab,y=b0,z=log必，则 x,y,z 大小关系正确的是（）A.x
12、y zB.y x zC.z x yD.z y x解：V O a/?l；.abaabalog b=1 ；.x y 0）的左、右焦点分别为F l,尸 2,点 M在 C 的左支上，过点”作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为N,则当取最小值10 时，F i N B面积的最大值为（）解：由题意得，|M F 2|+|M M =|M n|+2a+|M M 2|F i M+2a=8+2。，当且仅当M,Fi,N三点共线时取等号，.I M BI+I M M 的最小值为 b+2a=10,，-1 0 2 V 2 b，即 a b 苧，当且仅当方=2。=5 时，等号成立，SAF1NF2=2SA F i K）=2 x|N F
13、1l-|N 0|=a b 则 A B C 的面积 5=a csi n B=X3 X3 X2 2 2 4 16故答案为：名 匡.1616.若V x 0,不等式lnx+2+h(0)恒成立，则电的最大值为e?.x a为 1 a x-a解：设/(x)=/u+2+,则/(x)=-3=一 丁，X X/X-函 数/(无)在(0,。)上单调递减，在(m +8)上为增函数，即当元=a时,函 数 f(x)取得最小值/(a)=lna+3,由3+lnab得 也 0,得 0 今.由 g (a)今.e e即当。=为 时，g (a)取得最大值，最大值为g (玲)=心,e e故上的最大值为好,a故答案为：e2.三.解答题：本
14、题共5 小题，共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.必考题：共 60分17.设数列 斯 是公差大于零的等差数列，已知0 =3,022=04+24.（I）求数列 小 的通项公式；si n a n冗（n为 奇 数）0,：.d=3f，”=3+3（-1）=3n.（II）当为奇数时，bn=si n 3n n=si n n=0,当 n 为偶数时,bn=C O S3T T=co sO =1,故 儿 是以2为周期的周期数列，且从+a=1,：.bi+b2+-+&202i =1010（4+历）+4=1010+0=1010.,18.如图，在四棱锥 P-A 3c。中，ABLPC,AD/BC,A D L
15、C D,且 P C=8 C=2A O=2C D=2&,P A=2.（1）证明：P A L平面 A 8 C Z）；（2）在 线 段 上，是否存在一点M,使得二面角M-A C-0的大小为60?如果存在，求 粤 的 值；如果不存在，请说明理由.PD【解答】证明：（1）在四棱锥P-A B C力中，ABLPC,AD/BC,A D 1 C D,且 P C=B C=2 A D=2 C D=2近,PA=2.A B=A C=VAD2X；D22.,.ABACBC2,PA2+AC2=P C2,J.ABVAC,APLAC,：AB A.PC,.A B _L 平面 P AC,J.PALAB,：ABrAC=A,.P AJ
16、L 平面 AB CC.解：(2)以A为原点，A 8为x轴，A C为y轴，4 P为z轴，建立空间直角坐标系，设 在 线 段 上，存在一点M (a,b,c),使得二面角M-A C-。的大小为60 ,且 黑=入，(0 W入W 1),A(0,0,0),C(0,2,0),尸(0,0,2),0(-1,1,0),a二 一 人面=(a,h,c -2),p p=(-1,1,-2),；15.9 4 5,则方案二的工作量更少.2 0.已知圆M：(x-1)2+y2,动圆N与圆M相外切，且与直线x=-2 相切.4 2(1)求动圆圆心N的轨迹C的方程；(2)已知点尸(-5，-=)，Q (1,2),过点尸的直线/与曲线C交
17、于两个不同的2 2点 A,B(与。点不重合)，直线QA,Q B的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值;若不是，说明理由.解：圆 M：(X-1)2+y 2=1的圆心M(1,0),半径为设 N到直线x=的距离为4,因 为 仁 眼 川-微，所以N到直线x=-1 的距离等于N到 M(1,0)的距离.由抛物线的定义可得，N的轨迹C为抛物线，C的方程为/=4 x；(2)设 直 线/的 方 程 为(y+),即 2x -2畋+1 -?=0,因为4,B与。不重合，所以，5设 QA,Q8 的斜率分别为&i,ki,k、+k2=入,A(x i,y i),B(x2,”)，2x-2m y-m+l=0联立，9 消去x,可得
18、V-4 冲-2 m+2=0,y =4 x则 y i+2=4 m,yy2=2 -2 m,0,解得 m 0,有 由 f(x)V0,有e e：.f(%)的单调递减区间为s,单调递增区间为A,Q)；e e(2)由(1)及题意，易得/(幻 图象在点(1,0)处的切线斜率为/(1)=1,则该切线方程为y=x -1,y=x-l联立 2，消去y整理得：(。-1)x+i=o,y=x +ax由4=(a-1)2-4=0=q=3 或-1 ；2(3),:F(x)=x2+ax+2 lnx,xe(0,+),F，(x)=2x+a 二？+ax+乙，X X设 g(x)=2x2+ar+2,由(1)知函数F(X)的两个极值点X l,
19、X 2满足2 2+X+2=0,则 X +X 2=q，汨12=1,不妨设O X 1 1 F(X 2),:.|F(X 1)-F(X 2)|=F(x j)-F(x2)=x 1+ax j+21n x j -(x 2+ax2+21n x2)=9 9/、1 2 1 221c 2X j-X 2+a(x j -x2)+21n 二x；-y 21n x；=2 2 21n x 2，X2 x2 X2令 t=x|，则 1，又|*2 陵2-45，gp 2X|-3X2-2 0.解得 1X2W2,，l x,4 4，2设h（t）气-工-21nt（lt 4 4）,则h（t）=1=匚；）（）,t t t J：.h（力 在（1,4上
20、为增函数,h（4）21n4=-41n2 即 iFCx-FC x2）|-41n2；：.F（xi）-F（X2）|的最大值为毕-41n2-选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4 一 4；坐标系与参数方程|Y=1-1 +cnc?C t22.在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为1 G为参数,0WaViT）.以 y=l+ts in a坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=4cos。.（I）求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程：（II）设直线/与曲线C交于A,8两点，求OAB面积的最大值.解：（I）直线/的参
21、数方程为1 C为参数，OWaVn）,转换为普通方|y=l+ts in a程为 sinax-cosay+cosa-sina=0.x=P cos 8曲线c的极坐标方程为p=4cose,根据，y=P sine，转换为直角坐标方程为a-2）,x2+y2=P 22+y2=4.（II）把直线/的参数方程为卜=l+tcsa（f为参数，oWaVir）,代 入（%-2）2+y2Iy=l+t*,sinCI=4,得到：P+2(sina-cosa)t-2=0,所以力+介=2(cosa-sina),tt2=-2,故|AB|=|t J-12 I t 2=12-8s i na cos a，IcosCl-s in a|i点
22、O(0,0)到直线/的距离 d=-J=F-5=v I cos a-s in a|,v cos a +sin a所 以 SA 0A B X lAB|-d=y XVi2-8sinCL cos a|co s(I-sinCL|V3-sin2CC V l-s in 2 a=V(s in 2 a-2)2-l 2后当且仅当sin2a=-1,即 a 3匕时，等号成立，故OAB面积的最大值为2&.选修4 一 5：不等式选讲2 3.已知函数/(x)=|2x+“|+l,(1)当。=2 时，解不等式/(x)+x2；(2)若存在“0-2，1,使得不等式/(x)6+以+浮|的解集非空，求 b 的取值范围.解：(1)当 a=2 时，函数f (x)=3+21+1,解不等式/(x)+x2化为3+2|+l+xV2,BP|2x+2|l-X,.X-1 2x+2 1 -x,解 得-3 x -不等式的解集为0-3X-当；(2)由/(x)26+|21+展|,得 6W|2x+q|-|2x+q2|+i,设 g(x)=2x+a-|2x+tz2|+l,则不等式的解集非空，等价于bWg(x)侬；由 g(x)(2x+a)-(2x+a2)|+1=a2-a+,|a2-a|+l；由题意知存在。日-得，1,使得上式成立；而函数/?(a)=|屏-小 1 在阳1 上的最大值为(-、)=，3o 9 v 13/?W；9即匕的取值范围是(-8,