《2021年安徽省“五校联盟”高考数学第二次联考试卷（学生版+解析版）（理科）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年安徽省“五校联盟”高考数学第二次联考试卷（学生版+解析版）（理科）.pdf（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年安徽省“五校联盟”高考数学第二次联考试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5 分）设集合4=,B=x|log2x 0 ,则 4 n B =（）A.x|x 0 B.x|xl C.x|xl2.（5 分）已知a,b e R,i 是虚数单位，若（l+i）（l-6 i）=a,则 的 值 为（）bA.2 B.3 C.4 D.53.（5 分）下列说法中错误的是（）A.命题“V xl,-x 0”的否定是“%1,石一修,0”B.在 AA8C 中，3 o s in A 8S3C.己知某6 个数据的平均数为3,方差为2,
2、现又加入一个新数据3,则此时这7 个数的平均数和方差不变D.从装有完全相同的4 个红球和2 个黄球的盒子中任取2 个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立4.（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1,该三棱锥所有表面积中，最大面的面积为（）A.2 B.272 C.2 G D.4 05.（5 分）已知平面向量&=（百，-1）,|&|=/2,且（&+潺）0-5）=2,则|d-b|=（）A.V 2 B.2 C.V 3 D.36.（5分）电 影 流浪地球中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句.讲的是“开车不喝酒，
3、喝酒不开车”.2 0 1 9 年，公安部交通管理局下发 关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤 酒 后 酒 精 在 人 体 血 液 中 的 变 化 规 律 的“散 点 图”见 图，且图表所示的函数模型/=4 n（针）+1 3,0,x 2 ,假设该人喝一瓶 啤 酒 后 至 少 经 过.）小时才可以驾车,9 0-e 5*+i 4,x.2则 的值为（）（参考数据：/15 B 2.71,/3 0。3.4 0）车辆驾驶人员血
4、液酒精含量阈值驾驶行为类别阈值(mg/100mL)饮酒驾车 2 0,80)醉酒驾车 80 ,+o o)1-xJOoooO753I*3WOO-/8W*:SK10 12 14 16时间(h)A.5 B.6 C.7 D.87.（5分）古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”.在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如清代诗人黄柏权的 茶壶回文诗（如图）以连环诗的形式展现，2 0 个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如 2 0 2 0 年 0 2 月 0 2日（2 0 2 0 0 2
5、0 2）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把 2 0 2 0 0 2 0 2 这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（1 1,2 2,9 9）,则共有多少个这样的三位回文数（）A.64 B.72 C.80 D.908.（5 分）设a=log54,b=In i,C=,则（）A.abc B.bac C.cba D.ac/5 D.3瓜-近44r2 v211.（5 分）如图，已知4，月分别为双曲线C：r 4 =l（a0,力 0）的左、右焦点，过尸ar b的直线与双曲线C 的左支交于A、3 两点，连 接 入乙，BF2,在 A48g 中，AB=BF2,A.2 B.V
6、2 C.A/3 D.22%12.(5 分)已知函数/(x)=cos(yx-7 )(0),内、x3 e 0,TI,且 V x e 0,划都有/(3)期(x)/(%)，满足/*3)=。的实数有且只有3 个，给出下述四个结论：满足题目条件的实数内有且只有1个;满足题目条件的实数超有且只有1个；/（x）在（0,台 上单调递增；的取值范围是（,?.其中正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.x-3 y+4.013.（5 分）若实数x,y 满足约束条件,3 i y 4,0,则 z=3x+2y的 最 小 值 是.X+.014.（5 分）若二项式（V+0）
7、7的 展 开 式 的 各 项 系 数 之 和 为 则 含/项 的 系 数 是.X15.（5 分）已知抛物线y2=2px（p0）的焦点尸到准线的距离为2,过焦点F 的直线与抛物线交于A,3 两点，且|A P|=3|F 8|,则线段4?的中点到y 轴 的 距 离 为.16.（5 分）已知菱形ABC。的边长为4,对 角 线 必=4,将 4 3。沿 着 如 折 叠，使得二面角 A-8 D-C 为120。，则三棱锥A-8 8 的 外 接 球 的 表 面 积 为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第172 1题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要
8、求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知数列 ,S,是明的前项的和，且满足S.=2a“-l（”eN*）,数列 4 是等差数列，b2+bb=a4 a5-b4=2b（、.（1）求 4 ,的通项公式;（2）设数列 S,的前n项和为T ,设 c,=（-l）n-%,求%的前 项的和Dn.4+一+218.（12分）如图，在三棱锥A-3 8 中，AABC是边长为3 的等边三角形，C D =CB,C D 1.平面A B C,点、M、N分别为A C、8 的中点，点 P 为 线 段 上一点，且/平面A P N .（1）求证：B M L A N；（2）求直线赫与平面ABC所成角的正弦值.A1 9.(1
9、2 分)已知圆C:(x-l)2 +y 2 =1 6，点产(-1,0),尸是圆C上一动点，若线段PF的垂直平分线和C P 相交于点M.(1)求点M的轨迹方程E.(2)A,5是 M 的轨迹方程与x 轴的交点(点A在点5左边)，直线G”过点7(4,0)与轨迹 E交于G,H两点，直线AG与x =l 交于点N,求证：动直线NH过定点.2 0.(1 2 分)公 元 1 6 5 1 年，法国一位著名的统计学家德梅赫(De m e r e)向另一位著名的数学家帕斯卡(8.P as c H)提出了一个问题，帕斯卡和费马(民?皿)讨论了这个问题，后来惠更斯(C.”“y g e/w)也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃
10、至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名运动员约定谁先赢A(k l,k e N*)局，谁便赢得全部奖金a元.每局甲赢的概率为爪0 0 1),乙赢的概率为1-0,且每场比赛相互独立.在甲赢了“(?幻局，乙赢了(%)局时，比赛意外终止.奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比0:殳分配奖金.(1)规定如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比玲：2 分配奖金.若=4,7/7 =2,=1,求 玲：心.(2)记事件A为“比赛继续
11、进行下去乙赢得全部奖金“，试求当左=4,m =2,=1时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率以p),并判断当p 时，事件A是否为小概率事件,并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.0 5,则称该随机事件为小概率事件.2 1.(12 分)已知函数/(x)=0(%2+，n r +z 2),g(x)=ax1+x +axlnx.(1)若函数f。)在 X =-1处取极小值，求 实 数 的 值；(2)设加=0,若对任意X (0,+o o),不等式/(x).g(x)恒成立，求实数a的值.(二)选考题：共10分.请考生在第22、2 3题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与
12、参数方程22.(10分)已知曲线C的极坐标方程是0=4cos.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线/的参数方程是:夜x=ni+tL 2（，是参数）.叵y=t2(1)若直线/与曲线C相交于A、8两点，且|A 2|=JiW,试求实数加值.(2)设M(x,y)为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围.选修4-5：不等式选讲2 3.已知函数/(x)=|2 x+l|-|x-l|.(1)求不等式f(x)0,=x|log2x 0 ,则 A|8=（）A.x|x0）B.x|x 1 C.x|x【解答】解：由A 中不等式变形得：（x+l）（x-l）0,解得：*l,即 A=xx l
13、,由5 中不等式变形得：log2X0=log2 1，解得：x ,即 8=x|xl,则 A0|B=x|尤 1,故选：B.2.（5 分）已知a,AwR,i 是虚数单位，若（1 +，）（1-6）=。，则色的值为（）bA.2 B.3 C.4 D.5【解答】解：由（l+i）（l-初）=a,得（l+0）+（l b）i=a,M1l+b=a/口则，得 a=2,b=l.1-/7=0/.-=2.b故选：A.3.（5 分）下列说法中错误的是（）A.命题“V xl,f 一 尤 0 的否定是“玉01,B.在 MBC 中，A B o sin A 8 s3C.已知某6 个数据的平均数为3,方差为2,现又加入一个新数据3,则
14、此时这7 个数的平均数和方差不变D.从装有完全相同的4 个红球和2 个黄球的盒子中任取2 个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立【解答】解：命 题“V xl,V x 0”的 否 定 是 b A l,-%,0”满足命题的否定形式，所以A 确：A B,则a 6,利用正弦定理可得a=2rsin A,Z =2rsin B,故sin A sin 8.由同角三角函数的基本关系可得co sA v co sB,所以3 正确；这 6 个数的平均数为3,方差为2现又加入一个新数据3,此时这7 个数的平均数为3,方差为2x7x1=1,所以C 不正确；6 3从装有完全相同的4 个红球和2 个黄球的盒子
15、中任取2 个小球，则事件“至多一个红球”包含：事件：没有红球和事件，只有一个红球；与“都是红球”互斥且对立，所以。正确；故选：C.4.（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1,该三棱锥所有表面积中，最大面的面积为（）A.2 B.2夜 C.2右 D.4夜【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体A-3 8;如图所示：所以：C D=2,B C =2,B D =2y/2,AO=J（曰+2。=后,A D =2叵,AB=2近,所以S w c =SMCO=/x2x2 2=2 0 ,=x2x2=2,SM m=x2叵xy/6 =2G .故选：C.5.（5 分）已
16、知平面向量。=（百，-1）,b =4 1,且 3 +26（1-6）=2,则|d-6|=（）A.夜 B.2 C.73 D.3【解答】解：平面向量a=（遥，-1）,出|=&,ii.（a+2b）-（a-b）=2,a2+a-b-2b2=2,可得M 6=2,则IG 万|=y/a2-2a-b+b2=,4一4+2=应.故选：A.6.（5分）电 影 流浪地球中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句.讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发 关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监
17、督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤 酒 后 酒 精 在 人 体 血 液 中 的 变 化 规 律 的“散 点 图”见 图，且图表所示的函数模型/（X）=,0 s m（x）+13,0,，x 2 ,假设该人喝一瓶啤酒后至少经过（N,）小时才可以驾车,90d+14,x.2则 的值为（）（参考数据：打15。2.7 1,/3 0=3.4 0）车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别阈值(mg/100m L)饮酒驾车2 0,8 0)醉酒驾车8 0,+o o)AlxJooooo753IJwoo-/8uoceE10 12 1
18、4 16时间(h)A.5 B.6 C.7 D.8【解答】解：由散点图可得该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于2 0,今（,2 得 J n.2.90-5（,+14 2 0 g-05 2/n l 5 2 x2.7 1=5.4 2 ,二的值为 6故选：B.7.（5分）古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”.在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如清代诗人黄柏权的 茶壶回文诗（如图）以连环诗的形式展现，2 0个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如 2 02 0年 0 2
19、 月 02日（2 02 002 02）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把 2 02 002 02 这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9 个（11,2 2,99）,则共有多少个这样的三位回文数（）A.64 B.72 C.80 D.90【解答】解：3位回文数的特点为，百位和个位数字相同但不能为零，第一步，选百位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间数字，有10种选法；故3位回文数有9x10=90个，故选：D.8.(5 分)设”=logs4,b=ln2,c=7r0,则()A.abc B.bac C.cba D.acb【解答】解：0=log51 log54
20、log55=1,.O v a v l,.-0=/nl/?27A?=1 ,.0Z?1 ,又.a=也=应=*=*=2,且加5V而=2,b ln2 ln2 ln5-ln2 ln5 ln2 In5h.0ba =1,c 1,：.ba故选：B.9.(5 分)f(x)=2 f(4-x)-x2+2x-,则 y=f(x)在(2,f(2)处的切线方程为()A.2 x-y-3 =0 B.2x+3y+7=0 C.2 x-y +3=0 D.2x+3y-7=0【解答】解：取x=2,得f(2)=2f(2)-1,可得/(2)=1,对函数 f(x)=2/(4-x)-x2+2 x-l 求导，得 f(x)=-2f(4-x)-2x+
21、2,f(2)=-2 f(2)-2,得 尸(2)=-*,由此可得曲线y =/(x)在点(2,f(2)处的切线斜率&=-(.,.所求切线方程为y-l =(x2),化简2 x+3 y-7 =0,故选：D.1 0.（5分）已知A A B C的内角A,B,C对的边分别为a ,b,当内角C最大且。=3时，A A B C的面积等于（）A.9+3遮 B.2&C.2 7 543【解答】解：因为sin A +sin 8=sin C,2由正弦定理得a +b =c,2or2所以/+2ab+/=,4sin A +sin B =sin C ,23 V6-3 5/24所以9(。2+从一62)=5/+5 8 2 8次?,2
22、2、由余弦定理得c o s Clab5a 2+5从-8岫 1 0 15a 5b 0、_1一国 人 丁 丁-8)=当且仅 当 =也，即a =b时取等号，此时c o sC取得最小值2，C取得最大值,b a 9所以sin C =生叵,9A A B C M f f i 5 =-s i n C =i x 3 x 3 x =2 5/5.2 2 9故选：C.1 1.（5分）如图，已知K，鸟分别为双曲线C：=l（a 0,60）的左、右焦点，过 匕的直线与双曲线C的左支交于A、8两点，连接A 6,BF2,在中，A B =BF?,A.2B.V2C.石D.3夜2【解答】解：设|4 卜机，由双曲线的定义可得|A|=?
23、“-2 a,由|AB|=|B玛可得?-2 a=|8 6|一|3 4|=2 4,即 有 机=而，因为AABE为等腰三角形,所以cosNABg=cos(万一2N 6A/9=-cos2N6AB=1 2COS2 Z FtAF2=石，解得 cosNf；A H=,在 作 中,“叫 渭 土(2)2+(4a)2-(2c)2 _ 12 x 2。x 4。8化为。=述”，即有e=乳2 a 2故选：D.12.（5 分）已知函数/。）=以拈（8-彳0（0 0）,X、x2 x3 e 0,下,且 V x e 0,划都有/（芭）颗（x）/（%），满足/（匕）=0 的实数W有且只有3 个，给出下述四个结论:满足题目条件的实数内
24、有且只有1 个;满足题目条件的实数超有且只有1个：/（x）在（0,台 上单调递增；。的取值范围是（月,q .6 6其中正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解：。，当x e 0,7 时，cox-&-,7 ra）-.设。丫-与=，进行替换，作出函数丁=8$，的图象如下图所示：由于函数=f(x)在 0,划 上满足/(鼻)=0的实数占有且只有3个，即函数y =c o s/在-生，加女 上有且只有3个零点，由图象可知网”7 心 一 女 红，解得”0旦，结论不正确；2 3 2 6 6由图象知，y =c o sr在 ,，侬-口上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，结论正确，结论错误；M
25、/。万2 4 /2 4 加y 2 4、3 X G(0,)时，CDX-G(-,-)，1 0 3 3 1 0 3,1 3 1 9 7 ia)2 4 7 4 八 、*,1冗冗 2 万、出由,co 知-0）的焦点尸到准线的距离为2,过焦点下的直线与抛物线交于A ,8 两点，且|A F|=3|F B|,则线段他的中点到），轴的距离为_g_.【解答】解：抛 物 线 丁=2*50）的焦点/到准线的距离为2,可得0 =2,即有抛物线的方程为y?=4x,则 F（1,O）,准线的方程为x =-l,设直线AB的方程为x =%y +l,与抛物线的方程 2=4x 联立，可得/_4 守-4=0,设 A,8 的纵坐标分别为
26、必，力,则 y +y?=4？，y%=7，由|A F|=3|F B|,可 得 标=3 河，即有0-凹=3（%-。），由解得?=3，3可得旗的中点的横坐标为2 加+1 =2 +1=9 .3 3所以线段A3的中点到y 轴的距离为故答案为：-31 6.（5分）己知菱形A B C D 的边长为4,对角线8 =4,将 A A B D 沿 着 如 折 叠，使得二面角 A-B ）-C为 1 2 0。，则 三 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为 口旦.-3 -解答 解:将A A B D沿 3 折起后，取 BD中点为E,连接,C E ,则 A E L 8。，C E ,所以N A E C 即为二面角A-8
27、DC的平面角，所以N A E C =1 2 0。；AAfiD与ABC。是边长为4 的等边三角形.分 别 记 三 角 形 与 ABC。的重心为G、F ,贝IJEG=!EA=毡，EF=-E C =；B P EF=E G；3 3 3 3因为A43D与M C D 都是边长为4 的等边三角形，所以点G 是AAfiZ）的外心，点 F 是 ABCD的外心；记该几何体ABC。的外接球球心为O,连接O F,OG,根据球的性质，可得O/7,平面8 8,OG1平面ABD,所以AOGE与 AOFE都是直角三角形，且OE为公共边，所以 RtAOGE 与 RtAOFE 全等，因此 NOEG=NOEF=1NAEC=60。，
28、2所以。=迪；3因为 AE_L5）,C E 上 B D ,A E C E=E ,且 A E u 平面 AEC,C E u 平面 AEC,所以3D_L平面AC；又O E u 平面A C,所 以 如 _LOE,连接OB,则外接球半径OB=y/OE2+BE2=马 包，3所以外接球表面积为吆.3故答案为：吗.三、解答题：共 7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1 7-2 1 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.17.（12分）已知数列 ,S”是的前项的和，且满足S.=2%-l（wN*）,数列 0“是等差数列，b2+b
29、6=a4,a5-Z?4=2h6.（1）求 “,的通项公式;(2)设数列 S“的前”项和为7；,设%=(-1)区+&2)处+4,求 c,j的前 项的和值.2+也,+2【解答】解：(1)=1时，4=1；.2 时，an=Sn-5,1 =(2 a-l)-(2 a,l-l)=2a-2%,则 4=2%，所以%是 以1为首项，2为公比的等比数列，所以6=2 -。由 ,是等差数列，设公差为“，由 2b&=a+%=q =8,a,b4=1 6 4=2b6,得=4,4=6,所以 2 d=6-4,即 d=l,所以6“=；(2)由(1)可得 S“=2 -l,7；,=(2 +22+23+.+2,)-n=2(12 )-n=
30、2n+,-n-2,1 2C=(-1)(T+2)”+4=(一)(3+4)2 =(_ )(2 2 1 +221),“也+2 (n +l)(n +2)n +1 n+20 3 o 3,4“=-(+)+(+)-(+)-.+(-1)(+-)=-2+(-l)n-.2 3 3 4 4 5 n+1 n+2 n+21 8.(1 2分)如图，在三棱锥A-B 8中，AABC是边长为3的等边三角形，CD=CB,CD V平面ABC,点M、N分别为A C、C D的中点，点P为线段电 上一点，且BM/平面4 W.(1)求证：B M L A N；(2)求直线A P与平面A8C所成角的正弦值.【解答】（1）证明:CD 平面A8C
31、 1BM u 平面ABC jCD V BM,（2 分）又.正 AA8C 中，AM=MC=BM A.A C,（2 分）BM LCDBM LAC 面 ACD,C Z）QA C=C|:.BM LAN,（1 分）（2）解：连接用。交 4 V 于G,连接P G,作 P7/JL3C于“，连接A/,平面48C_L平面BCD平面ABC 平面BC=BC，n P”_L平面ABC,（2 分）PH VBC.NE4”为”与平面ABC所成角，（1分）又,：AN,DM 都是A A Q 的中线，；.G 为AAC）的重心.（1分）又；BM/平面PANP平 面/平面 APN=PG=BM/PG,（2 分）:.P为BD的三等分 点,
32、PH=-CD=（1分）3.RtAAHP 中：PH=,AH=J AB2+BH2-2 AB-BH-cos=V7,AP=22,（1 分）./D.PH 1 夜 公、.sin Z.PAH=-=-=（1 分）AP 2V2 4法二：建立如图空间直角坐标系：（1 分）8（3,0,0）,N（0,5,0）,0（0,3,0）,A（5,0,-）,M（7 0,-）,P（XO，%,0）（2 分）丽=4 丽=（%-3,%,0）=/1（-3,3,0）,-.P（3-3A,34,0）（1 分）设面APN的法向量为n=(x,y,z),APn=0_=A N n=0(3A-)x-3Ay+z=02=(A-l)x+(2)y=0,(1 分)
33、3 3 3 G 八 2 x+y-z=02 2 22 2-2-，z=-22 1 2A 1令 x=1,贝 U y 二_ Q 3G 2 2-2BA/-n=(-,0,)-(1,4 4 2A-1_73 )=0 n 2 =L (1 分)22-1 3.尸(2,1,0),(1 分)又.面4?C 的法向量为：；=(0,1,0),(1 分)AP.n(；,L 拘(0,1,0)72.s i n 岁(&-2)+)3+2)=4s”6(y+%)=0,(X +2)(七-2)(占 +2)(X2-2)所以直线M 7恒过(2,0).20.(1 2 分)公 元 1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫(Oe/wre)向另一位著名的数
34、学家帕斯卡(8.PascH)提出了一个问题，帕斯卡和费马(在 e/w a)讨论了这个问题，后来惠更斯(C.小)也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名运动员约定谁先赢A(A1N*)局，谁便赢得全部奖金。元.每局甲赢的概率为p(O p l),乙赢的概率为1-p,且每场比赛相互独立.在甲赢了(?幻局，乙赢了(%)局时，比赛意外终止.奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比:2 分配奖金.(1)规定如果出现无人先赢上局则比赛意外终止的情况，甲、乙便
35、按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比为：七分配奖金.若=4,m=2,”=1,p=,求 用：2.记事件A 为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当&=4,777=2,=1时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率/(p),并判断当p.g 时，事件A 是否为小概率事件,并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.0 5,则称该随机事件为小概率事件.【解答】解：(1)设比赛再继续进行X 局甲赢得全部奖金，则最后一局必然甲赢.由题意知，最多再进行4 局，甲、乙必然有人赢得全部奖金.3 3 Q当 X=2时，甲以4:1 赢，所以尸(X=2)=二x二=；4 4 1 6当 X=3时，甲以4:2
36、赢，所以 P(X =3)=C；x=瓦；1 2 a 07当 X=4时，甲以4:3 赢，所以。(X =4)=C；x()2 x，x=-.-4 4 4 2 5 6所以,甲赢的概率为2+21 6 3 22 7 2 4 3H-2 5 6 2 5 6所以，外：殳=2 4 3:1 3；(2)设比赛继续进行y 局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.当 丫 =3 时，乙以4:2 赢，P(Y=3)=(1 -p)3；当 y=4时，乙以4:3 赢，P(y =4)=C；p(l-P)3=3 p(l-p)3；所以，乙赢得全部奖金的概率为P (A)=(1 -p)3+3 p(l -p)3=(1 +3 p)(l -p)3.于是甲赢
37、得全部奖金的概率f (p)=1-(1 +3 p)(l -pH.求导，1(P)=-3(1-p F-d +3 P A 3(1-p)2(-l)=1 2 p(l-p)2.4 4因为去，尸 o,所以f(p)在号)上单调递增，于是/(P)*=/(3=黑.3 O Z D故乙赢的概率为1-竺=卫=0.0 2 7 2 0 ,/z(f)单调递增，/?(-1)=-+6 f-l 0 时,令”)=0,得 x=lna,当(-8,阳)时,0 ,单调递增，所以九 而 n=h(lna)=a-alna-1,所以-L.O ,H P lna+L,0，a令0 (a)=Ina+-1 f则/(a)=?，所以 (a)在(0,1)上单调递减，
38、在。,”)上单a a调递增，又 9 (1)=0 ,所以 a =l.(二)选考题：共 10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.(10分)已知曲线C的极坐标方程是0=4c o s6.以极点为平面直角坐标系的原点，极历x=ni+t轴为X 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线/的参数方程是：L 2”是参数).衣 F(1)若直线/与曲线C相交于A、3 两点，且|4 8|=9，试求实数加值.(2)设M(x,y)为曲线C上任意一点，求x+y 的取值范围.【解答】解：(1)曲线C的极坐标方程是0=4c o s6,即 p=4/?c o s
39、6*,化为直角坐标方程是：x2+y2=4x,即(X-2)2+/=4；直线/的直角坐标方程为：y=x-m,圆心(2,0)到直线/的距离(弦心距)为圆心（2,0）到直线y=x-机的距离为：即 12-0-m=及0 -2J 7 H-2|=1,解得机=1或相=3；（5 分）（2）曲线C的 方 程 可 化 为 2了 +丁=4,其参数方程为F =：+2；o s为 为 参 数）;y=2sin 又M（x,y）为曲线C上任意一点，x+y=2+2c o s。+2sin 6 =2+2/2 sin（。H ）,r.x+y的取值范围是2-2&,2+2 3 .（10分）选修4 5 不等式选讲12 3.已知函数f（x）=|2x
40、+l|-|x l|.（1）求不等式,f（x）2 的解集；（2）若关于x 的不等式/（X）,。-1 有解，求a的取值范围.x+2,x.l【解答】解：（1）函数/（x）=|2x+l|-|工 一 1|=,-1-x-2,天，-2当为.1时，不等式化为x+2 v2,解得x vO,可得x 0；当 L X 1 时，不等式化为3 x 2,解得x 2,可得_ _ L x 2；2 3 2 3当，时，不等式化为 尤 2 T,可得T v%,L2 2综上可得，原不等式的解集为（Y,；）；2（2）关于x 的不等式有解，即为：a/（“）加 ,，2由 x.l 时，X+2.3；13 x v l 时，3x 3:22工，时，X-2.22可 得/（幻血=一，即有4一寸._ 3,2 2解得-1 都7 3；所以a 的取值范围是-1，3.