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1、2021年湖南省高考数学对口招生试卷一、单选题(本大题共10小题，共 40.0分)1.己知集合4=-2,0,1,B=x|x 0 ,则4 n B =()A.10,1,-2 B.0,1 C.(0,+oo D./2.设全集为R,函数f(x)=lg(x 1)的定义域为M,则CRM为()A.(0,1)B.(0,1 C.(一 8,1 D.(-8,1)3.己知a W R,函数/(x)=a/一%,若 存 在 0,1,使得/(t+2)-/(t)M 2成立，则实数a 的取值范围为()A.0,1 B.(-8,1 C.0,i D.K T4.若把函数解=遥麓星的图象沿窝轴向左平移三个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸
2、长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数察=或礴的图象，则源=理喻的解析式为()A.”二 首 而 黑溢升三1f qB.”二磷如警 图#-iC.察=陶顿1 -I5.已知久、y满足2+-2)2=3,A.-V3,V3C.(co,3 u V3,+8)6.不等式|W|?的 解 集 是()A.(0,2)C.(2,+8)7,=1 是“直线 m y +mr F l 翻mD.群=掇鼬I i则 揪 取 值 范 围 是()B.-”L 3 3 JD.(-8,一争 U 停,+8)B.(-00,0)D.(-00,0)U(0,+8)1=0与圆2+y2=2相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既
3、不充分也不必要条件8.集合4=%|x-1|2,B=工已 3 工 A.(1,2)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,3)9.若m,n是两条不同的直线，a,0,y是三个不同的平面，则下列说法正确的是()A.若m U a,a l/?,则m 1 0B.若a n 0 =m,0 n y =n,m/n,则&0C.若a 1 3，6 工丫，则a _ L yD.若m J L a,m/p,则a _ L，1 0 .某学校有教师1 6 0人，其中有高级职称的3 2人，中级职称的5 6人，初级职称的7 2人.现抽取一个容量为2 0的样本，用分层抽样法抽取的中级职称的教师人数应为()A.4 B.6 C.7 D.9二、
4、单空题(本大题共5小题，共2 0.0分)1 1 .若a是第三象限角，且tm a =,贝i j c o s a =.1 2 .已知点力(1,1)、B(0,3)、C(3,4),则 向 量 荏 在 前 方 向 上 的 投 影 为.1 3.如图三角形数阵为杨辉三角：按照如图排列的规律，第n行 3)从左向右的第3个数为.11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 4 .圆C i：/+y 2 +2%+8 y 8 =0与圆C 2：M+y 2 4 x 4 y 2 =0的公共弦长等于1 5 .已知/(%)=/+x为奇函数，则y =/(X)在 =
5、1处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为.三、解答题(本大题共7小题，共7 2.0分)1 6,已知数列回是等差数列，且0(1)求 数 列 的通项公式(2)令 冈，求 数 列S前几项和S.1 7.某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响，部分统计数据如表:使用智能手机不使用智能手机总计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218总计201030(I)根据以上2 x 2列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0。05的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响？(II)从学习成绩优秀的12名同学中，随机抽取2名同学，求抽到不使用智能手机的人数X 的分布列及数学期望.参考公式:K2其中7 1
6、=Q+b+c+d参考数据:n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K fc0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.8281 8.函数y=|/-2%3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性.19.如图所示，四棱锥产一 ABCD的底面4BCD是菱形，其对角线4C=2,BD=五.AE、CF都与平面4BCD垂直，AE=1,CF=2.(1)求二面角B-A F-。的大小；(2)求四棱锥E-4B C D 与四棱锥F-A B CD 公共部分的体积.20.设椭圆捺+=l(a b 0)的焦点分别为&(一 1,0)、F2
7、(l,0),直线八%=。2交谢于点4且丽=2丽.(1)试求椭圆的方程；(2)过握、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点(如图所示)，试求四边形DMEN面积的最大值和最小值.21.(本题满分13分)如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30相 距 卡+0 海里的B处有一艘走私船,正沿东偏南45的方向以3 海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以2也海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C 处，走私船到达。处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以3 0 海里/小时的速度沿着直线追击.a(I)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距
8、多少海里？(n)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船?x+y-2 02 2.在平面直角坐标系中，已知不等式组,x-y +2 2 0 x 0,A C B=1.故选：D.利用交集定义直接求解.本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2.答案：C解析：本题主要考查集合的基本运算，求出函数的定义域是解决本题的关键，比较基础.根据函数的定义域以及集合的基本运算，即可得到结论.解：要使函数有意义，则x-l 0,即x l,所以函数/(久)=lg(x-1)的定义域为M=(l,+oo),则 CRM=故选C.3.答案：B解析：解：:/(t+2)-/(t)=a(t+2)2-
9、(t+2)-at2-t=4at+4a-2,二原命题等价于存在t e 0,1,使得4at+4a-2 2成立，即存在t 6 0,1,使得a W急成立，而今W l,因此a 1.故 选:B.化简/(t+2)-/(t),再由参数分离和存在性问题解法，由函数的单调性可得所求范围.本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题.4.答案：C解析：试题分析：根据题意，由于把函数窜=痴曲的图象沿客轴向左平移我个单位，得到般=痴(嘉端婴)，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，争=得到解析式为C考点：三角函数的图象变换点评：主要是考查了三角函数的图
10、形的变换，属于基础题。5.答案：D解析：设直线方程为y=k x,再根据圆心(0,2)到直线的距离小于等于半径，求得5的取值范围.本题主要考查点到直线的距离公式，直线的斜率公式，属于基础题.解：由题意可得，?表示圆/+(y 2产=3上的点 y)与原点(0,0)连线的斜率，设为匕故此直线方程为y=kx,再根据圆心(0,2)到直线的距离小于等于半径，可得荻鼻 V3,求得k 一直或k 更，故2的取值范围是k -勺或k 立，故选D.6.答案：A解析：解：由题意曰 0，X解得：0 c x 2,故不等式的解集是(0,2),故选：A.求 出 二 0,解不等式，求出不等式的解集即可.X本题考查了解绝对值不等式问
11、题，考查转化思想，是一道基础题.7.答案：C解析：判断是充分条件，还是必要条件，根据充分条件与必要条件的定义即可.而直线与圆是否相切，就看圆心到直线的距离，距离等于圆的半径，则相切，否则不相切.而直线若和圆相切，则圆心到直线的距离等于半径.明白了这些，这道题就容易求解了.而要注意的知识点是，直线和圆相切便得到圆心与直线的距离等于半径；圆心和直线的距离等于半径，便得到相切.还要熟悉的是充分条件和必要条件的定义，点到直线的距离公式，圆的标准方程.(l)m=l时，直线方程为：x-y+2=0,则圆心(0,0)到这条直线的距离为：专=2,又圆的半径为遮，.直线与圆相切.；.皿=1是直线与圆相切的充分条件
12、.(2)若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即：黑 =鱼,即病 一 2 m +1 =0,巾=1；m =1 是直线与圆相切的必要条件.综上得出巾=1 是直线与圆相切的充要条件.故答案选：C.8.答案：B解析：本题考查了集合的运算以及不等式的解法属于基础题.先由题意解出集合4 B,再利用交集的运算求解即可.解：因为集合4=x|x -l|2 =x|-l x 3 ,B =x|3X 9 =x|1 x 2 ,A B =x|1 x 3 A x|-1%2 =x|-1%2 .故选3.9.答 案:D解析：解：由m,n 是两条不同的直线，a,/?,y 是三个不同的平面，知：在4 中，若m=a l/?,则m与
13、口 相交、平行或mu6,故 A错误；在8 中，若an=m,6 n y =n,m/n,则a 与 相交或平行，故 B错误；在C 中，若a 10,1 y,则a 与y 相交或平行，故 C错误；在。中，若7 n l.a,m/3,则由面面垂直的判定定理得a _ L/?,故。正确.故选：D.在4 中，m与/?相交、平行或mu仪 在B中，a 与0 相交或平行；在C 中，a 与y 相交或平行；在。中,由面面垂直的判定定理得a 1 0.本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题.10.答 案:C解析：本题主要考查分层抽样的应用，比较基础.根据分层抽样的定义即可得到结论.解：
14、中级职称的5 6 人，.抽取一个容量为2 0 的样本，设抽取的中级职称教师有n 人，用分层抽样法抽取的中级职称的教师人数为挤=2，160 20解得n=7,即中级职称的教师人数应为7人,故选：C.11.答案：一 郎10解析：解：,a 是第三象限角，且tana=1=史sin2a 4-cos2a=1,3 cosa(jcosa)2+cos2a=1,A cosa 3)从左向右的第3个数为9(n-l)(n-2)=1(n2-3n+2),故答案为：|(n2 3n+2),按照如图排列的规律，第n行(n 2 3)从左向右的第3个数分别为1,3,6,10,15,2 1,，找到规律即可求出.本题考查了归纳推理的问题，
15、关键找到规律，属于基础题14.答案：2遍解析：解：将两圆方程化为标准方程得：(X +1)2 +(y +4)2=2 5,(x -2)2+(y -2)2=10,圆心口(一1,一 4),半 径 巳=5,圆心。2(2,2),半 径 万=国，:.C&=V(-l-2)2+(-4-2)2=3V 5，v CXC2 1 AB,：.D 为力B 的中点，即4。=BD=AB,在R t A C 1。中，GD=V 2 5 -/I D2.同理 C 2 O =y/1 0-AD2,CrD+DC2=(7 传2，即C 2 5 -A+y/iQ-AD2=3后解得：AD=V 5 则 4 B =2AD=2 V 5.故答案为：2 6将两圆方
16、程化为标准方程，找出圆心C i 坐标，半径万=5,圆 心 坐 标，半径万，利用两点间的距离公式求出G 0 2 的长，R t 4 G。中，利用勾股定理表示出GD,同 理 表 示 出=V 10-/1D2,由+D C?=G C 2 列出关于4 0 的方程，求出方程的解即可得到4 0 的长，进而确定出4 B 的长.此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，圆的标准方程，熟练掌握定理是解本题的关键.15.答案：!解析：解：/(x)=为奇函数，即有/(#)=-/(%)，1 x 3+ax 2 x=1 x 3-ax 2-x,3 3可得a =0,即y(x)=|x3+%,导数/(%)=x2+
17、1,则y =f(x)在X =1处的切线斜率为尸(1)=2,切点为(1,5，即有切线方程为y -9 =2 Q -1),令x =0,可得y =-|,令y =0,可得x =1.则切线与两坐标轴围成的三角形面积为:x|x|=i故答案为：由奇函数的定义，可得a =0,求得f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，求得x,y轴上的截距，由三角形的面积公式计算即可得到.本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的奇偶性的定义和直线的点斜式方程和三角形的面积的计算，属于中档题.1 6.答案：（1）回；（2）区.解析：试题分析：（1）直接利用等差数列的通项公式求出
18、公差0，再写出通项公式；（2）数 列 区1可看作是由一个等差数列回和等比数列S对应项相加得到的数列，其 前0和可用分组求和法求和.试题解析：（1）冈，又 回，.5 分 S，S.1 2 分考点：（1）等差数列的通项公式；（2）分组求和法.1 7.答案：解：（1）由列联表可得K2 =n(ad-bc)2 _ 3 0 x(4 x 2-8 x i6)2(Q+b)(c+d)(Q+c)(b+d)12x18x20 x10=1 0 7.8 7 9所以能在犯错误的概率不超过0.0 0 5的前提下认为使用智能手机对学习有影响.（2）根据题意，X可取的值为0,1,2.P(X=0)=*,P(X =1)=饕=捺P(X =
19、2)=*所以X的分布列是:X012P11 11 63 31 43 3X 的数学期望是 E(X)=0 x-+l x i f +2 xi i =；.X A JJ JJ 1 5解析：本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.(1)由列联表求出K2 =1 0 7.8 7 9,从而能在犯错误的概率不超过0.0 0 5 的前提下认为使用智能手机对学习有影响.(2)根据题意，X 可取的值为0,1,2.分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望.1 8 .答案：解：由图象知函数关于x=l 对称，则函数的单调递减
20、区间为(一 8,-1 ,1,3 ,单调递增区间为-1,1 ,3,+8).解析：根据图象结合函数单调性直接进行判断即可.本题主要考查函数单调区间以及单调性的判断，利用数形结合是解决本题的关键，是基础题.1 9 .答案：解：(1)解：连接A C、B D 交于菱形的中心。，过。作。G 1 4 F,G 为垂足，连接B G、DG.由B 0 J.4 C,B D _ L C F 得B D _ L平面A C F,故于是4 F J 平面B G。，所以B G 1 4 F,DG 1 A F,N 8 G 0 为二面角B 4 尸一 0的平面角.由F C 1 4 C,FC=AC=2,得/F A C =,0 G=.由。B
21、_ LOG,OB=OD=得N B G D =2 N B G。=g.(2)解：连接E B、E C、E D,设直线A F 与直线C E 相交于点H,则四棱锥E -4 B C D 与四棱锥F 4 B C D 的公共部分为四棱锥H-4 B C D.过H作H P !_ 平面A B C。，P 为垂足.因为E A _ L平面A B C D,F C J 平面Z B C D,所以平面A C E F 1 平面4 B C D,从而P e A C,HP A.AC.由港+君=就+就=1得又因为S 药族=故四棱锥 一 4 B C D 的体积V =-S A R r n H P =越.3 X/LAD C U 9解析：(1)连
22、接/I C、B D 交于菱形的中心。，过。作。G 1 4 F,G 为垂足，连接8 G、D G,根据定义可知N B G D 为二面角B -A F-。的平面角，在三角形B G D 中求出此角即可；(2)连接EB、EC、E D,设直线AF与直线CE相交于点H,则四棱锥E-力 BCD与四棱锥F-4BCD的公共部分为四棱锥 一 ABCD,过“作HP 1平面ABCD,P为垂足，然后求出H P,利用体积公式U=E菱形ABCD P 求解即可.本题考查空间位置关系，二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知识.考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力.20.答案：解：(1)由题意，|FiQ|=2c=2,
23、A(a2,0)AF=2 AF尸 2为A 0 的中点,a2=3,b2=2椭圆方程为9 +?=1(5分)(2)当直线CE与%轴垂直时，DE=,此时MN=2a=2V3.四边形DMEN的面积S=竺 等 =4.同理当MN与x轴垂直时，四边形DMEN的面积S=空 磬 =4.当直线DE,MN均与x轴不垂直时，设DE：y=k(x+l),代入椭圆方程，消去y得：(2+3k2)x2+6k2x+(3fc2-6)=0设。(修，为)，后(2，%)，则与+x2=蒸p%1%2=不工所以，出 _ 不 1 =竺 啜 手，所以|。图=7 不7%一小1 =嘤能，同理|MN|=46(表+1)(9分)所以四边形的面积S=彗型=9 X警
24、 第2 X竺砂2 2 2+3H 2+p24(1+“)6(H+表)+13令 =/+*，则s=4 六因 为 =1 +表？2,当人=1时，”=2,5 =黄，且S是以比为自变量的增函数，所以翁S S 4.综上可知，g S 4.故四边形DMEN面积的最大值为4,最 小 值 为(13分)解析：由题意，正出1 =2C=2,4（。2,0）,利 用 丽=2 丽，可得尸2为力心的中点，从而可得椭圆方程；（2）分类讨论：当直线CE（或MN）与x轴垂直时，四边形DMEN的面积S=臀=4；当直线DE,MN均与x轴不垂直时，设。E：y=k（x+l）,代入消去y,求出|DE|,|M N|,从而可得四边形的面积的表达式，利用换元法，即可求得结论.本题考查椭圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查韦达定理的运用，正确求弦长是关键.21.答案：解：如图，由题意知，在三角形BCD中，所以当走私船发现巡逻艇时，两船相距 海里；因为所以设 追击时间为3则所以即巡逻艇被骗东15。方向才能最快追上走私船.区区_ 解析：本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，（1）先在三角形4BC中根据余弦定理求出BC的长，然后在三角形BCD中利用余弦定理求出CD的长；（2）先求出，然后在三角形CDE中利用正弦定理求出，即可求解.S22.答案：（1）其面积S=-X 4 x2 =42