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1、2021年高考数学一模试卷(15)一、单项选择题(本大题共12小题，共60.()分)1.己知纯虚数z满足(l-i)z =2+a i,则实数“等于A.2 B.1 C.-1 D.-22.已知向量五=(一2,2),b=若向量五方，则血=()A.-1 B.1 C.-D.23.已知集合4=L2,3,4,B=xx=,n E A ,则4 n B的子集个数是()A.2 B.3 C.4 D.164.设”14,仁3度c=钞%则有()A.a b c B.a c b C.c a b D.c b 0)外切，则r=()A.VTo B.V5 C.叵 D,528.已知m 6是正实数，则“a b 2”的()A.充分不必要条件B
2、.必要不充分条件C.既非充分也非必要条件D.充要条件9.如果：在1 0进制中2 0 0 4 =4 x 1 0 0 +0 x 1 0 1 +0 x 1 0 2 +2 x 1 0 3,那么类比：在5进制中数码2 0 0 4折合成十进制为（）1 0.1 1.1 2.A.2 9B.2 5 4C.6 0 2D.2 0 0 4若函数/(x)=J%2+2/,(0)c os x +X,则/0的值为()A.0D.71在棱长为1的正方体4 B C D -&B 1 G D 1中，E,尸分 别 是 和AB的中点，平 面 交 棱A。于点尸，则PE =（）C-T已知抛物线f=2 x的焦点为F,点P在抛物线上，以P尸为边作
3、一个等边三角形P FQ,若点。BjB片D-V在抛物线的准线上，则|PF|=（)A.1B.2C.2 V 2D.2 V 3二、填 空 题（本大题共4 小题，共 20.0分）1 3.设双曲线捺一?=l（a 0）的渐近线方程为3 x 土 2 y =0,则该双曲线的离心率为1 4.已知等差数列 an的前 项和为Sn,a4+a8=2,Sn=1 5.已知平面区域U =(x,y)|x +y S 6,%0,y 0,A=(x,y)|x 0.%2 y 0,若向区域U内随机投一点P,则点P落在区域A的概率为.1 6.设f(x)=s inx +3 x,则不等式/(2 x)+/(I -x)k)0.250.150.100.
4、050.025k1.3232.0722.0763.8415.024参考公式：长“黑黑20.已知函数/(%)=(x+l)bix-x+1.(I)若x/(x)4/+ax+1,求 a 的取值范围;(口)证明：(x-l)f(x)0.21.如图，点 F 是抛物线T：x2=2py(p 0)的焦点，点A 是抛物线上的定点，且 而=(2,0),点B,C 是抛物线上的动点，直线AB,A C斜率分别为灯，k2.(1)求抛物线T的方程；(2)若的-自=2,点。是点8,C处切线的交点，记 BCD的面积为S,证明S为定值.2 2.在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为(a为参数)，直线C2的直角坐标方程为y=75%
5、,以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线G和直线的极坐标方程；(2)若 直 线 与 曲 线G交于A,8两点，求念|+焉2 3.已知函数f(%)=|x|+|x+1|.(I)解关于的不等式/(%)门2；(口)若 m b,c E R+f 函数/(x)的最小值为机，若Q +b+c=/n,求证：ab be ac【答案与解析】L答案：A解析：本题考查复数的有关概念的应用，复数的运算，比较基础.通过复数的运算，根据复数的概念，即可得到结论.解Ari：由 题gp-意yr.z =2+ai=/(2+品ai)(访l+i)=丁2 a +a丁+2 1,，复数z是纯虚数，等=0且 等丰0解得a
6、=2,故选A2.答案：A解析：解:向量五=(2,2),b=(1,rn)向量苍石，-2 2;7=片解得T H =-1.故选：A.由向量方E，列出方程，能求出切.本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量平行等基础知识，考查运算求解能力,考查函数与方程思想，是基础题.3.答案：C解析:本题主要考查集合的基本运算，属于基础.根据集合的基本运算求得A n B =1,2 ,即可得A n B 的子集个数.解：集合A =1,2,3,4 ,B=xx=V n,n E A-=1,V 2,V 3,2),则A n B =1,2 ,则4nB的子集个数2 2 =4,故选C.4.答案：B解析：解：。l o g U
7、 3 =1，0 c =)0 4 (1)0 =1,：.a c b.故选：B.利用指数函数和对数函数的性质求解.本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的性质的合理运用.5.答案：A解析：解：设公比为外由8 a 2 +1 5=0,得8 a 2 +a2q3=0.解得q =-2,所 晦=T L故选：A.先由等比数列的通项公式求得公比4,再利用等比数列的前项和公式求之即可.本题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式.6.答案：B解析:本题考查几何体的体积的求法，三视图的应用，考查空间想象能力以及计算能力.判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可.解：
8、几何体的直观图如图：是一个圆柱被截去一半的几何体，几何体的体积为：1X2X 7TX 12=71.故选B.7.答案：C解析：本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题.利用两圆外切，两圆圆心距等于两圆半径之和来求出r 的值.解：圆/+y2 =的圆心坐标为(0,0),半径为r,圆(-3产+(y +1)2=/的圆心坐标为(3,-1),半径为r,两圆外切，二 两圆圆心距等于两圆半径之和，J(3-0)2+(1 0)2=2 r,解得r 二手.故选C.8.答案：A解析：解：由m 6 是正实数，4 热.4+展2 J2 2,反之不成立，例如取Q =b=2,uab 2”的充分不必要条件，故选：A.由 小 b 是正实数，
9、a b 2,反之不成立,助 3 a b yj 3例如取a=b=2,即可判断出结论.本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.9.答案：B解析：解：(2004)5=2 x 53+4=254.故选反本题考查的知识点是类比推理，由 10进制的转换方法类比推理出5 进制的转换方法，5 进制与十进制数之间的转换，只要我们根据10进制转换方法逐位进行转换，即可得到答案.类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).10.答案：B解析：本题考查导数的运算，属于基
10、础题.先 求 导,令x=0,得1(0),再令“狎可.解：f(x)=|2+2/,(0)cos x+x,f(x)=x 2 f,(0)sin x+1,令x=0,尸(0)=0-2/z(0)sin0+1=1,f(x)=x 2sin%+1.飞)=合2$呜+1 屋.故选B.11.答案：D解析：本题考查了平面的性质，由已知可得0、H、尸、&四点共面，根据平面知识将PE纳入到三角形中求解即可.解：过点G 作交直线CD于点G,过点E 作HQC iG,交.C D、CW1于点H、Q,连接Bi Q,”广交AD于点P,HQ Z/B-yF,所以Q、H、F、Bi四点共面，易求得H D =Ci Q =%由4 P D H 4 P
11、 4 F可得黄=襄=2,PD HD则PD=，在R t A P E O中，PE=1-+-=,3y j 9 4 6故选o.12.答案:B解析：求出抛物线的焦点坐标G，o),利用抛物线的简单性质求出直线方程，然后求出结果.本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力.解：抛物线的焦点坐标G，0),可得直线P F：y =V 3(x-1),可 得:y =V3(X_A),可 得:x=p则y =|P F|=|+2.故 选:B.13.答案：星2解析：解：双曲线今一9=1 90)的渐近线方程为3%2、=0,b _3Aa =P 3b=-2af c=Va2 4-b2=a,2双曲线的离心率e =.a 2故
12、答案为：叵.2根据双曲线捻一?=l(a 0)的渐近线方程为3 x2 y=0,确定a,。的关系，求出c,即可求出该双曲线的离心率.本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，确定a,b,c 的关系是关键.14.答案：1 1解析：解：由 等 差 数 列 的 性 质 可 得=。4 +。8 =2,故S11-1-1-(-%-+-%-1-)=-1-1-X-2=1 122故答案为：1 1由等差数列的性质可得%+的 1 =。4 +。8 =2,代入求和公式故S=卬 笠 吆),计算即可.本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题.15.答案：|解析：解利用线性规划知识可画出。和 4对应的平面区域，如图所示易知S
13、 aAO B=:x 6 x 6 =1 8,S 4 0 D C =：x 4x 2=4,故。=2=|.4Zl o 716.答案:(8,1)解析：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于基础题.根据题意，由函数的解析式可得/(-%)=-/(工)，可得函数”X)为奇函数，求出函数的导数，分析可得函数/(%)在 R上为增函数；据此原不等式可以变形为f(2 x)进而可得解可得x 的取值范围，即可得答案.解：根据题意，/(%)=sinx 4-3%,有/(一%)=s i n(-x)+3(-%)=-(s i n x+3 x)=-f(x),则函数f(%)为奇函数；又由f (%)=
14、cosx+3 -2 0,则函数/(%)在 R上为增函数；不等式 f(2%)+f(l%)V0,B P/(2 x)-/(l%),则f(2 x)等价于2%x-1；解可得 为平行四边形，贝 i J C M D N,又C M C 平面PAD,D N u 平面PAD,C M 平面 PAD,（口）解：由（I）知 C M D N,P A D 是等边三角形，.71P4：AB L AD,P A I A B,且 4。C PA=4,AD u 平面 PAD,PA u 平面 PAD,：.AB _L平面 PAD,又D N u 平面 PAD,D N L AB,y.AB ryAP=A,4 B u平面 ABP,AP u 平面 4
15、BP,D N J平面 ABP,B P CM _L平面 ABP,CM 为三棱锥 C 一 APM 的高，则得 CM=ON=6，Sh P A M=|SAPX B=|X|X2X2=1.P-ACM=C-PAM=3 X SAPAM X CM =三.解析：（I）取PA的中点N,连接MN,DN.可得四边形CMN为平行四边形，则CM DN,再由线面平行的判定可得CM平面PAD,（口）由（1 ）C M DN，P4D是等边三角形，贝UDN 1 PA,由已知证得AB 1平面PAD,可得D N 1 AB,则D N,平面A B P,即CM为三棱锥C-4 P M的高，求得CM=DN=百，再由等积法求三棱锥P-ACM的体积.
16、本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题.19.答案：解：根据分层抽样原理知，抽样比例是言=2,抽取的7人中愿意生育“二孩”的人数为2 0 x 2=2；现 从7人中抽2人，抽到的2人不愿意生育“二孩”的概率为P=货=吧.C孑 21（2）根据以上数据，填写2 x 2列联表如下,不愿意愿意合计3040岁2515404050 岁25530合计502070计算依=70 x(25x5-25x15)240 x30 x20 x50X 3.646；且3,646 2,076,所以有90%的把握认为生育“二孩”的意愿与年龄有关.解析：(1)计算抽样比例，由
17、此求出抽取的人数；利用古典概型的概率公式求出对应的概率值；(2)根据以上数据填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论.本题考查了分层抽样方法与独立性检验的应用问题，是基础题.20.答案：解：(1)函数的定义域为(0,+8)求导函数，可得f(x)=?+Inx 1=Inx+p=xlnx+1,题设%/(%)%2+ax 4-1 等价于 x a,令g(%)=Inx-%,则g(%)=：-1.当0 0；当工工1时，grM 0,.x=1是g(x)的最大值点，g(%)W g(l)=-1.综上，。的取值范围是-1,+8).(口)由(I)知，g(x)g(X)=-1,即 x-x +IW O；当0 V%1 时，/(%
18、)=(%+l)Znx%+1=xlnx 4-(Inx%+1)1 时,f(x)=Inx+(xlnx-%+1)=Inx+x(lnx 4-1)0所以。一 1)/(%)NO.解析：(I)函数的定义域为(0,+8)求导函数，可得f(x)=乎+m-1=Znx+3从而xf(x)S/+QX+1可转化为，nx-4 a,令g(x)=x-x,求出函数的最值，即可求得。的取值范围；(口)由(1)知,g(%)g(l)=-1,BP/nx-x+1 0,可证 0 x 1 时,f(x)1 时，f(%)0,从而可得结论.本题考查导数知识的运用，考查分离参数法求参数的范围，考查不等式的证明，属于中档题.21.答案：解:(1)设4(与
19、,出)，可知?(04)，故 丽=(一右,：-y()=(2,0).(x0=-2 I _ P，代入2 =2 p y,得p=2.17。一 5抛物线T的方程为2 =4y.(口)过。作 y 轴的平行线交BC于点E,并设B%,分。(外,?)，由(I)得4(2,1).d_i 近_ r _*k/2-k1 r X=2，2+2 3 I+2 4 X2 X1 =8._ Xi+X2直线DBy=x-今,直线COy=%-?，解得产，_右每直线BC的方程为y 一苧=牛 Q _ x j,将孙代入得知=等.BCD的面积为 S=|x ED x(%2-Xi)=i(y-y0)(x2-%i)=|x 约 咨 x(x2-xx)=32(定值)
20、解析：本题考查了抛物线的方程，抛物线与直线的位置关系，属于中档题，(1)设4(&/0),可知F(0,故丽=(一%(4 7 0)=(2,0).求得4 坐标，代 入 公=2 2,得p=2.即可(口)过力作)，轴的平行线交BC于点E,.并设以冷,今，由0.七=学-=手=2-(x=得不 一 X1=8.联立直线、直 线 方 程 得D X窘.由题意yE=直 送，即可求 BCD的面积为s=1 X仇=丁 8ED x(x2-i)=|(7E-%)(%2-X i)=|x 3；产 x(x2-x j =32(定值)22.答案：解：(1)曲线G 的普通方程为(X 2)2+(y 2)2=1,则G 的极坐标方程为p2-4pc
21、os d-4PsM 9+7=0.由于直线C2过原点，且倾斜角为以故其极坐标方程为。=6 R).(P2 4pcos6 4psin8+7=0I 0=I 3得 p2 (2V5+2)p+7=0,故Pi+P2=2V3+2,P1P2=7,所以 1 I _ I。川+1。8|_。1+。2 _ 2V1+20A 0B OAOB P1P2-7解析：本题考查参数方程与普通方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化，极坐标方程的应用.(1)利用同角三角函数的平方关系，消去参数可得曲线C 1的普通方程，求出直线C 2的倾斜角，可得其极坐标方程；(2)由互化公式p2 =/+y 2,pc os。=x,psi n。=y,把G的
22、直角坐标方程化为极坐标方程，与C 2的极坐标方程联立，利用极坐标的几何意义，即可求得焉+焉的值.23.答案：解:(1)/(%)2 2即 田+。+1|2 2,可 然 曾+12叫:；算；2叫1 2,解得久 ;或X G 0或X ；或|x-x-l|=1,当且仅当久(x+1)a h +h e 4-c a +2ab+2bc+2ca=3(a b 4-bc+cd),可得3(a b +b e +cd)1,当且仅当Q =b=c=取得等号，即 a b +b e +Q C.解析：(I)由绝对值的意义去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集；(口)运用绝对值不等式的性质可得/(%)的最小值 2,再由三个数的完全平方公式和基本不等式，结合不等式的性质即可得证.本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，考查不等式的证明，注意运用均值不等式和不等式的性质，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题.