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1、2021年高考数学一模试卷(18)一、单项选择题(本大题共12小题，共60.()分)1.已知集合4=%|0%4,B =xx=2n-l,n E N*,则 n 8 =()A.1,3 B.1,2,3 C.3 D.1 2 .设，是虚数单位，则(的虚部为()A.-|B.-|i C.|D.|i3 .从 4,B,C 三个同学中选2 名代表，则 A被选中的概率为()A.：B.J C.i D.|4.在 48 C中，角 A、8、C 的对边分别是、氏 c,若C=2(4+B),则 扁 鼻 等 于()A.-更 B.-1 C.2 D.-4235.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且xe 0,+8)时，广(久)0,若。=一
2、/(1 1 1，b=f(n(-i),c =/(e0 1),则“，b,c 的大小关系为()A.b a c B.b c a C.c a b D.a c。，则下列结论正确的是()A.命 题“pAq”是真命题：B.命 题“p A(q)”是假命题：C.命 题“(p)V q”是假命题：D.命题是假命题.8 .已知数列 a n 中的=1，。2=展，。3=总，。4=京7?.a n=1+2+；+n，则数列 册 的前 项 的 和 匕=()C Dj n+l ,2 n+l一是其右焦点，点4(6,0),则|P A|+|P 用的最小值是()A 三 B.n+l n9.P是双曲线三一工=1 右支上一点,16 9A.3B.6C
3、.1 6D.1 91 0.若不等式3尤2-1 08鹏 b 0),若满足a =2 b,则C的离心率为()A.；B.立 C.3 D.正1 2 .函数f(x)=x2 -a x+1在区间,3)上有零点，则实数a的取值范围是()A.(2,+8)B.2,+8)C.2,y)D.2,|)二、填空题(本大题共3小题，共1 5.0分)1 3,设 向 量荏=(%,%+1),而=(1,一2)，且 布 而，则=-y 11 5.将函数/(乃=s in(4x-J)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的最小正周期是三、多空题(本大题共1小题，共5.0分)1 6 .己知底面边
4、长为1,侧棱长为我的正四棱柱的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为_(1)_，体积为_(2)_.四、解答题(本大题共7小题，共8 2.0分)1 7 .如图，在正方体4B CD -4B 1 G D 1中，。是A C的中点.(1)求证：4名平面。0c；(2)求异面直线4劣和O Ci所成角的大小.1 8 .对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了 6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下:甲293230313028乙312933322728分别求出甲、乙两人最大速度数据的平均数、方差，试判断选谁参加该项重大比赛更合适.(备注：参考公式：平均数于=+X 2 +Xn)；方差S 2 =(Xr
5、-X)2+(X2 一 元 产+(Xn 一X)2.)19.已知数列 an 中.%=2,且an=2即-1 -n+2(n 2 2,n e N*).(I)求。2,并证明 5-n 是等比数列；(口)设 勾=翡，求数列出 的前项和%.20.已知函数/(x)W +lnx-1.(1)当a=2时，求/(x)在(1/(1)处的切线方程；(2)若a 0,且对x (0,2e时，f(x)0恒成立，求实数的取值范围.21.已知抛物线C：y2=2px(p 0)的焦点为F,圆O：/+y2=32与C交于M,N两点，且4 0MN的面积为1 6,过点F的直线/与抛物线交于P,Q两点.(1)求抛物线C的方程；(2)若 点 在 直 线
6、/上，且4(1,2),求证：I(AR=我 其中心R,kAP,该。分别表示直线AR,AP,4 0的斜率22.在直角坐标系My中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为p=4cos0,曲线C2的极坐标方程为p=V3sind,不与坐标轴重合的直线/的极坐标方程为8=%(p R),设/与曲线G，异于极点的交点分别为A,B.(1)当 埸=与 时，求 明;（n）求4 8中点轨迹的直角坐标方程.2 3.设函数/(X)=%2一%一1.(I)解不等式：1/(%)I 1;(1 1)若 比 一 叫 1,求证：|/(x)-f(a)|2(|a|+l).【答案与解析】1.答案：A解析：本题
7、考查集合的交集，是基础题.利用交集定义直接求解.解：由0 2 n-l 1,0 I n 2 c l,l n(e 1)2 c 0,即可比较a,b,c的大小.解：因为人久)是定义在R上的奇函数，且x e 0,+8)时，f(x)1,0 ln2 l,l n(e -1)一 2 0,所以c a ,若a J.a,b l a,利用线面垂直的性质定理可得可/b,正确.故选：D.7.答案：B解析：【试题解析】解：因为s in x o=T l，所以不存在沏e R,使sinxo=净 命题p是假命题；命题q：Vx G R,都有/+尤+1 0,命题q是真命题，飞 是假命题，所以命题“p A(%)”是假命题，8正确.故选：B
8、.判断利用命题的真假，然后推出正确的选项即可.本题考查命题的真假的判断，复合命题的真假的判断，是基本知识的考查.8.答案：A解析:本题考查了等差数列的前项和公式、“裂项求和”方法、推理能力与计算能力，属于中档题.即=11 ,1 1、石 忘=返亘=一不行)利用“裂项求和”即可得出.2解：-1+2+3+71 一 或n+1)-2(7-n+1),2.数列 Qn 的前 n 项的和s 九=2(1-+(1-4-b -W)1=2(1-)2n=可故选A.9.答案:A解析：解：根据题意，设双曲线的左焦点为M,双曲线的方程为至一廿=1,其中Q =J 石=4,16 9若产是双曲线的右支上一点，则有|P M|P F|=
9、2a =8,PA +PF =PA +PM-2 a A M-2 a =3,当 P A M 三点共线，即 P在 x 轴上时，等号成立，故选：A.根据题意，设双曲线的左焦点为M,由双曲线的方程求出a的值，由双曲线的定义可得|P M|P F|=2a=8,进而分析可得|P 4|+PF =PA +PM-2a A M-2a=3,即可得答案.本题考查双曲线的定义及应用，利用三点共线以及双曲线的几何性质是解决本题的关键.10.答案：A解析：本题是恒成立问题，通过研究函数的单调性，借助于最值求出参数的范围.属于基础题.构造函数/(X)=3x2,(x)=-l o gax.h(x)=/(x)+g(x)(0 x 根据不
10、等式3 7 -l o g 0对任意(0,分恒成立，可得/6)工 渥)，从而可得0 Q VI且心 以，即可求出实数。的取值范围.解：构造函数/(%)=3x2,g。)=-l o gax,(0%1),不等式3/-l o gax 0对任意 G (0彳)恒成立，1 1一 卬 一 卬3 x|-l o ga1 0.10 a ,.实数。的取值范围为碎,1).故选：A.11.答案：C解析：解：a=2d故选：C.运用a,b,c 的关系和离心率公式即可求出.本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率，属于基础题.12.答案：C解析：由题意可得/一 ax+l=O 在区间(a 3)内有解，利用函数有一个零点或者两个
11、零点，列出关系式,即可求得实数a 的取值范围.解：由/(%)=尤2 一 数+1在区间&3)内有零点，可得/一。+1=o在区间(右 3)内有解.函数f (%)=%2-ax+1 过(0,1),7(5)OG 0 -3)2 01 或 1 /a/o,(/(|)/(3)0 2 7 3上)0解,2解 卜 切(3)0 a 0/(3)0 5解彳i a二 得2 a-,2 2-3 2 COSZCOIO GL=(鱼)2 +(e)2-(鱼)2 =7 32 x V 2 x V 6 24 0 1 0 C 1 =6即异面直线45和O C i所成角的大小为也解析：(1)连接A C交C C i于点。连接。则。/AD 1.再由线面
12、平行的判定可得平面D 0 Q；(2)由(1)知，OO、A D,可得N O i O C i为 异 面 直 线 和0 G所成角，设正方体4 B C。一必当口久的棱长为2,求解三角形得答案.本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了空间角的求法，是中档题.18.答案：解：布=:(2 9+3 2 +3 0+3 1 +3 0 +2 8)=3 0,S*=:(2 9 -3 0)2+(3 2 -3 0)2+(3 0 -3 0)2+(3 1 -3 0)2+(3 0 -3 0)2+(2 8 -3 0)2 =|,=(3 1 +2 9 +3 3 +3 2 +2 7 +2 8)=3 0,S1=-(
13、3 1 -3 0)2+(2 9 -3 0)2+(3 3 -3 0)2+(3 2 -3 0)2+(2 7 -3 0)2+(2 8 -3 0)2=乙 63 甲、乙两人最大速度数据的平均数相同、甲的方差小于乙的方差，二甲的成绩更稳定，甲参加该项重大比赛更合适.解析：利用平均数公式和方差公式求解.本题考查两组数据的平均数和方差的求法，解题时要认真审题，是基础题.19.答案：解：(1)由 即=2即-1一 冗 +2(1之2,7 1/7*),且=2,得a2=2 al 2 +2 =4,a3=2a2-3 4-2 =2 x 4 3 +2 =7.再由厮=2 a九_i-n +2,得 册-n =2Q7 1T-2 n +
14、2,即-n=2an_i-(n-1),n-2(n 2,n e/V),(an-几 是以2为公比的等比数列.(I I)由(I )得，an 九=(%1)2nt,B|J an=2n一1+n,bn=翡=1+1 个设“=忌，且其前项和为,12 3n 小 区+于+示+布1 1 2 3 n 2 =了 +亍+中+苏 一 得：押=2 +号 一.+专+/)-,1 n 0 2+n=-=2-.1-1 2n 2n2F=4一需，则 又 飞+4-券解析：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题.(I)在已知的数列递推式中分别取7 1 =2,3,结合已知的首项即可求得。2,。3 的值，再把
15、递推式两边同时减n即可证明 an-町是等比数列；(H)由 斯-馆 是等比数列求出数列 即 的通项公式，代入勾=悬，分组后利用错位相减法求数列 b 的前 项和治.20.答案：解：(l)a=2 时,f M =l+l n x-l,所以广)=一(+5,则/(1)=-1,又/(I)=1,所以切线方程为 y -1 =-(x-1),即久+y-2 =0.(2)因为a 0,且对x e (0,2 e 时，/(x)。恒成立，即7 +Inx 1 。对x G (0,2 e 恒成立，所以a x(l bix)对x e (0,2 e 恒成立.设。(%)=%(1%)=x xlnx,x G(0,2 e ,=1 -Inx-1 =-
16、Inx,当Ov%v l 时,g(x)0,g(x)为增函数；当l Vx We时，gXx)0,g(x)为减函数;所以g(x)mg=g(l)=1-仇 1 =1，则实数。的取值范围是(l,+8).解析：本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值.(1)首先求得切线的斜率为-1,然后利用点斜式方程可得f(x)在(1/(1)处的切线方程是x+y -2 =0；(2)结合恒成立的条件进行恒等变形，构造函数g(x)=x(l-/n x)=x-xlnx,x G (0,2 e ,结合题意可得实数a的取值范围是(1,+8).21.答案：解：(1)不妨设点M Q o，%)在第一象限，rx02+y02=3 2联立方程
17、，y02=2px0,0设P(右，y i)，?。2，丫 2)，则y i +yz=4 m,yry2=-4,由题意可解得-2 ikAAKR=-=-+1-1-1 m而%p +%=左二+也 二=左 二+21 J AP AQ X _I x2-l my!my2工+2)=2_2。+%)=j，+2,m my2/m m y/z m故心Rk/p+k/Q2解析：本题考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题.&2 +y02=32(1)由条件，不妨设点MO。,小)在第一象限，联立方程，y 0 2 =2 p%o 即可求解；xo 7 o =1 6(2)设直线/:%=m y +l(?n H 0),联立抛物线方程求出y i +y?
18、=4 m，y i、2 =-4，分别求出该R,与kA P+kAQ,即可得证.22.答案：解：(1)将。0=全代入6的极坐标方程0 =4 孙 0 得 四=4 如?=-2 也 将期=手代入G 得 PB=V 3s i n =四,4 2-A B =PA-PB=2 V 2+y.(I I)r PA=4 c o s 0,pB=V 3s t n 0,A B 的中点的极径p =2cos0+与 sinS，p2=2pcos0+p s i n。，x2+y2=2 x +日y，即AB的中点轨迹的直角坐标方程为x 2 y 2-2 x?y=0.解析：(I )根据|A B|=5-p e l 可得；(1 1)根据。中=中得中点轨迹
19、的极坐标方程，再根据互化公式化成直角坐标方程.本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题.23.答案：解:(1)：由得一 1 一一工一1 1,解得一l x 0或l x 2,故不等式的解集为(一 1,0)U (1,2)(U)证明：可 V 1,故 I f(%)f(a)l =|x2-x a2+a|=|x a|-|%4-a -l|x 4-a -l|=|x a +2 a l|x 可 +|2Q 1|V 1 +2a+1 =2(|a|+1).l/(x)-/(a)|2(|a|+l).解析：(1)由题意可得一1 2 一一1 1,解得即可，(I I)简|/Q)f(。)|为 1%Q|X+Q 1 ,小于|%+Q 1|即|(x -Q)+(2a 1)1 .再由 I(%a)+(2 a 1)|x a|+2a 1|1 +2 1 a l +1,从而证得结论本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，用放缩法证明不等式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.