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1、2021年高考数学一模试卷(36)一、单项选择题(本大题共4小题，共20.0分)1 .己知a,b ER,0 a b l,则下列不等式镇课的是()A.a3 b3 B.2a 2b C.log2a log3b D.loga2 0)的部分图象如图所示，则/(%)的单调递减区间为()A.(fc7r-i,k7r+)(/cGZ)12B.(2/C T T ,2/C7T+)(E Z)C.(fc-i,/c+j)(/c6Z)D.(2/c-i,2fc+)(fcGZ)4 .直线/平面a相交，若直线/不垂直于平面a,贝 联)A与a内的任意一条直线不垂直 B.a内与/垂直的直线仅有1条C.a内至少有一条直线与/平行 D.a
2、内存在无数条直线与/异面二、填空题(本大题共12小题，共54.0分)5 .已知集合4 =-1,1,2 ,8 =1,2,4,则 力 nB=.6 .已知复数2 =%+、力 且|z-2|=遍，则/+y2的 最 大 值 是.7 .行列式，|(a、b、c、d G (-1,1,2)所有可能的值中，最小值为.8 .若/(%)=log2(x2+2)(%0),则它的反函数是广 1(%)=.9.从甲、乙、丙等5名候选学生中选2 名作为青年志愿者，则甲、乙、丙中2个被选中的概率为1 0 .在(1 一(1 +乃 5 的展开式中，/项 的 系 数 为(用 数 字 作 答).1 1 .已知函数/(切=%2,则X1 2.过
3、抛物线C:/=2 p y(p 0)的焦点尸的直线交该抛物线于A、B 两点，若4|4 F|=|BF|,。为坐标 原 点,则耦1 3.若a e (0,兀)，且3 c o s 2 a =s i n -a),则s i n 2 a 的值为.1 4,已知鼠、刍分别是双曲线/4 y 2 =4的左、右焦点，点 P在该双曲线的右支上，且仍&|+PF2=6,则CO S4&P F 2 =.1 5 .已知数1、a、人 成等差数列，而 1、b、a成等比数列，若aHb,则 a的值为1 6 .数列 即 中，即=2 0 0 0-(%ne N*,则 册 的前 项乘积最大.三、解答题(本大题共5小题，共 7 6.0 分)p1 7
4、 .三棱锥P 4 B C 中，已知P C=1 0,AB=8,E、F分别为 P A、BC A的中点，EF=闹,求异面直线A B 与 PC 所成角的大小./1 8 .设函数/(x)=x +x 3,求满足f 2)+f(l +a)W0的实数a的取值范围.1 9.如 图，在 A B C 中，。是 8 c上的点，AC=3,CD=2,AD=6 s i n B=苧(口)求边A 8的长.2 0 .已知点P(a,b)在直线2 x +3 y -4 =0 上，求 加 +炉+1 0 a 4 b +2 9的最小值.2 1 .设数列 a“的前项和%=竺 注 上 艾，n N*6(1)求 数 列 的 通 项 公 式.(2)证明
5、：对一切正整数,有1+去+方：.【答案与解析】1.答案：D解析：【试题解析】本题主要考查指数函数，对数函数，幕函数的性质.利用指数函数，对数函数，基函数的单调性，即可得.解：因为函数y=/与函数y=2 在定义域内单调递增,所以A,B 正确；由log2a log3a log3b可得 C 正确;函数y=log2%单调递增，所以log2a log2b 氤，BPloga2 logb2,所以。错误.故选D2.答案：A解析：本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积的关系，属中档题.由己知向量的坐标求得尼的坐标，可得|瓦？|=|而结合反 心 前=0 得答案.解：,向量84=(2,6)向量BC=(8
6、,4)：.AC=BC-BA=(6,2)，.-.BA=AC=2V10.又.雨 前=2 x 6-6 x 2=0.ABC的形状为等腰直角三角形.故选：A.3.答案：D解析：本题主要考查余弦函数的图象，由函数的图象和五点法作图可得函数的解析式，由余弦函数的单调性和复合函数的单调性可得单调区间.解：由题意可得函数的周期为2-=2,=2,解得a t=n,3再根据函数的图象以及五点法作图，可得=M解得 9 =弓，/(X)=C 0 S(7 T X +令2kn TTX+彳 2ku+n,132k x /3解析：本题考查复数的几何意义，属于基础题.直接利用的是复数的几何意义，得复数对应点在以点(2,0)为圆心，g为
7、半径的圆上，方程为(x-2)2+y2=3,则M+y 2的几何意义是圆上的点与坐标原点的距离的平方，求解即可.解：复数z=x+6 H 0)且|z-2|=遮，复数的几何意义是复平面内的点以(2,0)为圆心，厉 为半径的圆，即(x 2)2+y2=3.则/+y2的几何意义是圆上的点与坐标原点的距离的平方，圆心到原点的距离为d=2,圆上点到原点的最大值为2+V3.,2+y2=(2 +V3)=7 4-4遮，故答案为7+4V3.7.答案：6解析：解：行 列 式b=a d-b c,、b、c、d W-1,1,2,.所有可能的值中，当m d分别取一 1,2,6和c取2时，行列式最小值为：J：=ad be=2 4=
8、6.故答案为：6.利用二阶行列式展开式法则求解.本题考查二阶行列式的最小值的求法，是基础题，解题时要注意二阶行列式展开法则的合理运用.8.答案：72%-2(x 1)解析：解：由y=1og2(*2 +2),得/+2=2，.x2=2y 2,v%0,：.x =g-2,y 1,把 X,y 互换得：y=j2x-2（x 1）.二 原函数的反函数是fT（x）=/2x-2（x 1）.故答案为：y/2x-2（x 1）.由已知函数解析式求解x,然后把x,y互换得答案.本题考查函数的反函数的求法，关键是注意反函数的定义域应是原函数的值域，是基础题.9.答案：,解析：解：从甲、乙、丙等5名候选学生中选2名作为青年志愿
9、者，共有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（T,戊）1 0种情况，其中甲、乙、丙中2个被选中包含其中的三种情况.所以则甲、乙、丙中2个被选中的概率为1.故答案为泉用列举法列举从甲、乙、丙等5名候选学生中选2名的情况，可得其情况数目，从中查找可得甲、乙、丙中2个被选中的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案；本题考查的是古典型概率.如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现?种结果，那么事件A的概率P（4）=m+n.10.答案：0解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公
10、式，属于基础题.把（1+X）5按照二项式定理展开，可得（13（1+X）5的展开式中，/项的系数.解：（1-（1+X）5=（1-i）（l +5x+10 x2+10 x3 4-5x4+x5）,故/项的系数为10 -10 =0,故答案为：0.11.答案：2解析：本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意导数概念及性质的合理运用.先求出r(x),由于屋+牛)一1)=/(1),能求出结果.J T解：广(%)=2%,/./(1)=2,，上0川+片-】)=/,故答案为：2.12.答案：4解析：本题考查抛物线中两线段比值的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是
11、中档题.解:由题意/=2 p y,则尸(0,所以|。尸|=今由题设可知，设直线A8 的方程为、=/+今设4(%i，yi),8(%2，、2)，且与%2，因为4|A F|=|B F|,所以一4 版=前，则 2 =-4x1(T),(v =kx+由1 2,整理得2 2 p k%p 2 =0,(%2=2py所 以+x2=2pk,xrx2=p 2 ，联立可得k =/即直线A8 的方程为y=+与_ 3 p,产 2,整理得2 支 2 +3p%2 P 2 =0,x2=2py解得x =-2 p 或 =去 故4 6 )，B(-2 p,2 p),所以根据抛物线的定义可知M H=弓+=|P，o Z o所 以 1 =三物
12、|0 F|4,13.答案：1或一意lo解析：v a G (0,7i),且3c o s2 a =si n(g a),3c o s2 a 3si n2a =c o sa si n a *-c o sa si n a =4 2 20,或3(c o sa +si n a)=J.若c o sa si n a =0,则a =%si n 2 a =1；若3(c o sa +si n a)=/，平方求得si n 2 a =-故答案为：1或一lo lo14.答案M解析：解：由双曲线2-4y2 =4,即q _ y 2 =1得c 2 =5,4c2=2 0设|P F/=d|P&|=d z，则d 一d 2 =4 由已知
13、条件:d1+d2=6.(2)由、得，好+啰=2 6,d1d2=5在&P F 2 中，由余弦定理得，c o sN&P F z=条 萨=|故答案为：利用双曲线标准方程，求出焦距，再利用双曲线的定义和余弦定理能求出C OSN&P F 2.解决焦点三角形问题一般要用到两种知识，一是曲线定义，本题中由双曲线定义可得焦半径之差，已知有焦半径之积，故可求出焦半径或其关系；二是余弦定理，利用解三角形知识求角或面积.15.答案：4；解析：本题考查了等比数列与等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.数 1、a、b 成等差数列，而 1、仇 a 成等比数列，a丰b,可得2 a =1+b,b2=a,解
14、出即可得出a的值.解：数1、。、6 成等差数列，而 1、b、。成等比数列，a丰b,2a=1+b,b2=a,化为：2 炉一 b -1 =o,解得b =1 或一;，当b =1 时;a=1,舍去.a=b2=(-)2=k 2y 4故答案为：.416.答 案:1 0解析：解：假设数列 断 中，斯=2 0 0 0 (，加 的前项乘积最大，则 1,a?i+i-1，fan=2 0 0 0 -(|r 1即1 2 ,an+1=2 0 0 0 .(1)+1 1可得 1 0 0 0 2n 1,an+1 1,a+1 所以/(X)为奇函数，又/Q)单调递增，所以/(a-2)+f(l +d)0变形为f(a-2)-/(I +
15、a)=f(a-1),得 a 2 解得a 所以a的取值范围是(一8,勺.解析：本题考查函数的奇偶性与单调性.由已知得/(%)为单调递增的奇函数，利用性质求解即可.19.答案：解:(1)在4皿7中,由余弦定理，zn 尸 AC2+CD2-AD2 32+22-7 1侍co s C =-=2ACCD 2X3X2 2因为0 C /。2+8+io。-4b +2 9的最小值问题,可转化为求点P(a,b)与点4(-5,2)的距离的最小值问题.又点4(-5,2)到直线2尤+3y-4=0的距离d=阳盛篙T=警，所以所求代数式的最小值为见亘.13解析：本题主要考查解析几何中两点间距离公式和点到直线的距离公式的运用，属
16、于中档题.根据条件将求Va2+炉+io。一 41+29的最小值问题,可转化为求点P(a,b)与点4(-5,2)的距离的最小值问题，然后利用点到直线的距离公式即可求解.21.答案：(1)解：an=Sn-Sn-jn(n+l)(4n 1)(n l)n(4n 5)=6 6=n(2n 1)；显然，当ri=1时，%=1 x(2 x 1-1)=1,故数列。九 的通项公式为an=n(2n-1)；(2)证明：根据(2)可得：an=n(2n-1),故贮口 乂 娠 n2(2n-l)21=(2n-I)21(2 n-1+l)(2 n-1-1)=心；)(心 2),所以2+裔+噎 1+2 +wv)1 1=1+7 1 R解析：本题主要考查数列的通项公式，是数列与不等式相结合的综合题，难度较大，考查了分析问题与解决问题的能力.(1)根据Sn与an的关系，即可求数列 即 的通项公式；(2)利用嫌 3$3.3一-)放缩、并项相加即可计算