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1、2021年 高 考 数 学 一 模 试 卷（42）一、单 项 选 择 题（本 大 题 共 4 小 题，共 20.0分）1.设 a 0,不 等 式|ax+b|c的 解 集 是 x|-2 x 1,则 a：b：c等 于（）A.1：2：3 B,2：1：3 C.3：1：2 D.3：2：12.下 列 函 数 中，值 域 为 0,1 的 是（）A.y=x2 B.y=cos x C.y=D.y=V1-x23.从 正 方 体 的 6 个 面 中 选 取 3 个 面，其 中 有 2 个 面 不 相 邻 的 选 法 共 有（）A.8 种 B.12 种 C.16 种 D.20 种 4.已 知 x e K,条 件 p：
2、/1,则 p 是 9 的（）A.充 分 非 必 要 条 件 B.必 要 非 充 分 条 件 C,充 要 条 件 D.既 非 充 分 也 非 必 要 条 件 二、填 空 题（本 大 题 共 12小 题，共 54.0分）5.设 全 集 U=neN|l W n W 10,A=1,2,3,5,8,则 C（M=.6.设 i为 虚 数 单 位，贝 I（手 产=.7,已 知 直 线 x ay+a=0与 直 线 2x+y+2=0平 行，则 实 数 a 的 值 为.8.若 球。的 体 积 为 36因 爪 3,则 它 的 半 径 等 于 c m.9,若 直 线 y=2x与 直 线 x+a y-3=0互 相 垂 直
3、，则 实 数 a 的 值 是.10.已 知 sina=a 兀，pjijcosa=.ii.a+|）4的 展 开 式 中 的 常 数 项 等 于（用 数 值 表 示）12.已 知/（%）是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数，当 x 2 0时，/（X）=-2 x,则 不 等 式 f（x+1）Xn+l-Xn成 立，则 称 数 列 f为“增 差 数 列”.设 即=若 数 列。4,。5,。6，即 何 2 4,ne N*）是“增 差 数 列”，则 实 数 f的 取 值 范 围 是.15.如 图，在 平 行 四 边 形 ABC。中，AB=3,AD=4,N04B=g,若 E,F分 别 是 边 DC,BC上 的
4、 点,且 屁=2正，方=3丽，则 荏-DF=-16.设 点(9,3)在 函 数/(x)=loga(x-l)(a 0,a 1)的 图 象 上，则/(x)的 反 函 数 广 1 3)=三、解 答 题(本 大 题 共 5 小 题，共 76.0分)17.如 图，已 知 六 棱 柱 4BCDEF-4 B 1 C 1 5 E 1&的 侧 棱 垂 直 于 底 面，侧 棱 长 与 底 面 边 长 都 为 3,M,N 分 别 是 棱 AB,上 的 点，旦 AM=4N=1.(1)证 明：M,N,E,。四 点 共 面；(2)求 直 线 B C与 平 面 M NEi。所 成 角 的 正 弦 值.O18.已 知 在 A
5、 B C中，b=2,Q=1,cosC=4(1)求 C的 值(2)求 sin(A+C)的 值.19.已 知 函 数/(x)=x2 a x|(a e R).(1)当 a=|时，写 出 函 数/Xx)的 单 调 区 间；(不 要 求 写 出 过 程)(2)当 a=-2 时，记 函 数 g(x)=f(x)-t,(t e R),讨 论 函 数 g(X)的 零 点 个 数;(3)记 函 数 f(x)在 区 间 0,1 上 的 最 大 值 为 g(a),求 g(a)的 表 达 式，并 求 g(a)的 最 小 值。20.已 知 椭 圆 C:+二=l(a b 0)过 点 拉,_遥)，椭 圆 C 的 左、右 焦
6、点 分 别 为 居，F2,第 a2 b.一 象 限 的 点 P 满 足 I PF、/+/PF2/=2a,且 PF2 1 x轴，/PF2/=3.(1)求 椭 圆 C的 方 程;(2)已 知 点 M,N在 椭 圆 C上，且 直 线 MP,N P关 于 直 线 PF2对 称，求 直 线 的 斜 率.2 1.已 知 等 差 数 列 斯 的 公 差 不 为 零，的=2 5,且,即 由 3成 等 比 数 列.(I)求 an 的 通 项 公 式；(口)求&2+a5+a8 H-F a3 n1.【答 案 与 解 析】1.答 案：B解 析：解：Q 0,且+b|V c的 解 是：-2 V x 1,*-C V C L
7、 X+力 V C=-V%V,a af c+b 2则|/一（c+b=2 a a：b；c=2；1：3z=i Ic-o=a、a故 选：B.先 利 用 绝 对 值 不 等 式 的 解 法 表 示 出 不 等 式|ax+b c的 解 集，通 过 不 等 式 解 集 与 对 应 方 程 的 根 的 关 系，得 出 方 程 的 根，然 后 根 据 韦 达 定 理 列 出 方 程 中 的 参 数 a,b,c,的 关 系 式，即 可 求 出 化 b-.c.本 题 考 查 绝 对 值 不 等 式，实 际 上 是 考 查 绝 对 值 不 等 式 解 集 与 所 对 应 方 程 根 的 关 系，属 于 基 础 题.2
8、.答 案：D解 析：推 出 y=/的 值 域 为 0,+8）,y=cosx的 值 域 为-1,1,y=值 域 为（0,1，即 可 推 出 结 论.解：y=/的 值 域 为 0,+8）,y=cosx 的 值 域 为-1,1,y=/值 域 为（0,1，y=/的 值 域 为 0,1,故 选：D.3.答 案：B解 析：解：使 用 间 接 法，首 先 分 析 从 6 个 面 中 选 取 3 个 面，共 或 种 不 同 的 取 法，而 其 中 有 2 个 面 相 邻，即 8 个 角 上 3 个 相 邻 平 面，选 法 有 8 种，则 选 法 共 有 底 一 8=12种；故 选：B.根 据 题 意，使 用
9、间 接 法，首 先 分 析 从 6 个 面 中 选 取 3 个 面 的 情 况 数 目，再 分 析 求 出 其 中 其 中 有 2 个面 相 邻，即 8个 角 上 3个 相 邻 平 面 的 情 况 数 目，进 而 可 得 答 案.本 题 考 查 组 合 的 运 用，但 涉 及 立 体 几 何 的 知 识，要 求 学 生 有 较 强 的 空 间 想 象 能 力.4.答 案：C解 析：本 题 主 要 考 查 不 等 式 的 解 法，充 分 条 件 和 必 要 条 件 的 判 定 等 知 识，属 于 基 础 题.分 别 求 解 所 给 的 两 个 不 等 式，得 到 其 对 应 的 集 合，然 后
10、确 定 充 分 性 和 必 要 性 即 可.解：求 解 二 次 不 等 式 好%,可 得 0 x l,则 A=x0 x 1可 得 0 x 1,则 B=x|0 x 1,因 为 力=B,所 以 p 是 q 的 充 分 必 要 条 件.故 选：C.5.答 案：4,6,7,9,10)解 析：解：全 集 U=n6N|lWnS10,A=1,2,3,5,8,CuA=4,6,7,9,10).故 答 案 为：4,6,7,9,10).利 用 补 集 定 义 直 接 求 解.本 题 考 查 补 集 的 求 法，是 基 础 题，解 题 时 要 认 真 审 题，注 意 补 集 定 义 的 合 理 运 用.6.答 案：2
11、1解 析：本 题 考 查 复 数 的 运 算，属 于 基 础 题 目.利 用 复 数 的 运 算 法 则 进 行 计 算 即 可.解：=智！=一 I z I2故 答 案 为-2i.7.答 案：一:解 析：解：,直 线-ay+Q=0与 直 线 2x+y+2=0平 行，l-a a=R,2 1 2解 得：a=故 答 案 为：-利 用 直 线 x Qy+a=0与 直 线 2%+y+2=0平 行，=千。f，即 可 求 出。的 值.本 题 考 查 直 线 的 一 般 式 方 程 与 直 线 的 平 行 关 系，考 查 解 方 程 的 能 力，属 于 中 档 题.8.答 案：3解 析：本 题 考 查 球 的
12、 体 积 计 算 公 式，属 基 础 题.己 知 一 个 球 的 体 积，由 球 的 体 积 的 计 算 公 式 能 求 出 这 个 球 的 半 径.解：一 个 球 的 体 积 为 367TC 7n3,设 这 个 球 的 半 径 这 R,则 兀/?3=36m H3,解 得 R=3cm,故 答 案 为 3.9.答 案：2解 析：解：.,直 线 y=2%可 化 为 2%-y=0,直 线 y=2%与 直 线%+ay 3=0互 相 垂 直，*,*2x1+(-1)Q=0,解 得 a=2故 答 案 为：2由 直 线 的 垂 直 关 系 可 得。的 方 程，解 方 程 可 得.本 题 考 查 直 线 的 一
13、 般 式 方 程 和 垂 直 关 系，属 基 础 题.10.答 案：一 不解 析：利 用 同 角 三 角 函 数 的 关 系，以 及 角 的 范 围 求 解。解：sina=,a 7T,:.cosa=-Jl-sin2a=故 答 案 为 一 递.311.答 案：24解 析：解：(+a 4 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为*+1=禺-2r y4-2r,令 4 一 2r=0,可 得 T=2,故 展 开 式 的 常 数 项 为 盘 X 4=24,故 答 案 为:24.在 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 中，令 4-2r=0,求 出 r的 值，即 可 求 得 展 开 式 的 常 数 项.本
14、题 主 要 考 查 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式，求 展 开 式 中 某 项 的 系 数，属 于 基 础 题.12.答 案：(-4,2)解 析：根 据 条 件，/(X+1)=/(|x+1|)3,可 得/(|x+1|)=(x+I)2-2|x+1|3,求 解 不 等 式 即 可.本 题 重 点 考 查 函 数 的 奇 偶 性、分 段 函 数、不 等 式 的 解 法 等 知 识，考 查 比 较 综 合，属 于 中 档 题.解：.函 数 f(x)为 偶 函 数，/(ki)=f(x),./(x+l)=/(|x+l|)3=/(3),/(|x+1|)=(x+l)2 2x+1|3,-1 x+1|3,
15、解 得 一 4%2,故 答 案 为(一 4,2).13.答 案：1解 析:根 据 条 件 求 出 m 根 据 函 数 零 点 的 定 义 直 接 求 解 方 程 即 可.本 题 主 要 考 查 函 数 零 点 的 求 解，根 据 对 数 的 基 本 运 算，求 出，直 接 解 对 数 方 程 是 解 决 本 题 的 关 键.解：二,函 数/(%)=a+log2x,且 f(a)=1，/(a)=a+log2a=1,解 得 a=1,./(%)=1+log2x,由/(%)=1+log2%=0，即 Iog2%=-1，解 得=M故 答 案 为：14.答 案：(总+8)解 析：数 列。4，5，。6，Qn(九
16、 N 4,九 6 N*)是“增 差 数 列，可 得 n N 4时，an+an+2 2an+i，代 入 化 简 即 可 得 出.本 题 考 查 了 新 定 义“增 差 数 列”、不 等 式 的 解 法，考 查 了 推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 中 档 题.解：。4，。5，。6，%(九 2 4,7 1*)是“增 差 数 列”，n 4时,an+an+2 2an+1,t(3n+n2)-1 t(3n+2+(n+2)2)-1 3+3、nt(3n+1+(n+l)2)-l 2-，化 为 亡(2九 2 4n 1)2,n 4可 得 2n2-4n-1 0,由：，递 减，2n2-4n-l可 得 n=4时
17、，,2 z，的 最 大 值 为 2n2-4n-l 15 C 一.15,.实 数，的 取 值 范 围 是(卷,+8).故 答 案 为：(卷，+8).15.答 案：3解 析：AB-AD=3x 4cosm=6,AE-DF=(AD+-AD+AB+:而)=-|x 42+|x 32+-x 6=3.216.答 案：2X+1解 析：解：点(9,3)在 函 数/(%)=1。8式%1)(。0,。1)的 图 象 上，loga(9-1)=3,可 得：a=2,则 函 数 f(x)=y=log2(x-1)那 么：x=2y+1.把 x 与 y 互 换 可 得：y=2x+l 的 反 函 数 fT(x)=2X+1.故 答 案
18、为：2X+1.根 据 点(9,3)在 函 数/(x)=loga(x l)(a 0,a*1)的 图 象 上，求 解 出“，把 x 用 y 表 示 出 来，把 x与 y 互 换 可 得 f(x)的 反 函 数 f-i(x).本 题 考 查 了 反 函 数 的 求 法，属 于 基 础 题.17.答 案:(1)证 明:连 接&B,D BD,在 四 边 形 4 81。1邑 中，且，AE“BD,在 四 边 形 B81 5 D 中，BD/BDi，且 BD=BDi，所 以：A J/B D,且=则 四 边 形 是 平 行 四 边 形.所 以 4 B&D在 4%中，A M=AN=1,AB=AAr=3,所 以：AM
19、 _ AN_AB AAr则：MN/BAlt且：MN/DE1,所 以：M,N,Ei，。四 点 共 面；(2)解：以 点 E 坐 标 原 点，EA,ED,EE1线 分 别 为 x 轴，y 轴，z轴，建 立 如 图 的 空 间 直 角 坐 标 系,则 B(3g,3,0),C(,0),。(0,3,0),Ei(0,0,3),M(3V3,1，0).8c=(-芋,|,0)，西=(0,3,3)，D M=(373,-2,0).设 平 面 MNEi。的 法 向 量 为：m=(x,y,z),则：啊,空=0,1m-D M=0+3z=0(3V3x-2y=0解 得：m=(2,3V3,3V3).设 直 线 B C 与 平
20、面 M N%D 所 成 的 角 为。，则 sin。=孽 r=场 116解 析：(1)正 面 四 点 共 面 的 方 法 主 要 采 用 线 线 平 行 来 得 到.(2)首 先 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，进 一 步 利 用 法 向 量 知 识 利 用 向 量 的 夹 角 余 弦 公 式 求 出 结 果.本 题 考 查 的 知 识 要 点：四 点 共 面 的 判 定，直 线 与 平 面 的 夹 角 的 应 用，空 间 直 角 坐 标 系 的 建 立，法 向 量 的 应 用，向 量 的 数 量 积 的 应 用.主 要 考 查 学 生 的 应 用 能 力.18.答 案：解：(1)由 余 弦
21、 定 理 可 得：c2=a2+b2-2abcosC=l2+22-2 x 1 x 2 x|=2,c=V2;(2)由 cosC-I，0 C 7T,sinC=V1 cos2C=sin(i4+C)=sinB,由 正 弦 定 理 可 得 一 二=sin Cfy/7.口 bsinC 2 x丁 S in B=-=-?=-c V2X 144解 析：(1)利 用 余 弦 定 理 即 可 得 出；(2)利 用 平 方 关 系 可 得 sinC,利 用 诱 导 公 式 可 得 sin(A+C)=sinB,再 利 用 正 弦 定 理 即 可 得 出.熟 练 掌 握 正 弦、余 弦 定 理、平 方 关 系、诱 导 公
22、式 等 是 解 题 的 关 键.19.答 案:解：(1)当 a=|时,“X)的 单 调 递 增 区 间 为(0,勺 和|,+8),单 调 递 减 区 间 为 6,|)和(8,0)；3 J 3 S3(2)当 a=-2时，记 函 数 g(x)=/(%)t,(t G R),可 得|/+2x|=t,画 出 两 个 函 数 y=I/+2x|,y=t的 图 象 如 图：t 1时 有 两 个 零 点，0 t l 时 有 四 个 零 点，t=l时 有 3 个 零 点.(3)当 a。时，/(x)=x2-ax=x2-ax在 区 间 0,1 上 为 增 函 数，当=1时，f(%)取 得 的 最 大 值 为/(I)=
23、1-a；当 0 a l 时，/。)=9+3“：。在 区 间(0,9上 递 增，在 邑 a 上 递 减，在(a,1 上 递 增,-ax,a x 1 2 2且 熊)=?f(l)=l Q，:(1-Q)=：(Q 2+4 Q _ 4),当 0 a 2/-2时,1-a；4当 2夜 一 2 W a 1-a.4当 l a 2 时，/。)=一/+3 在 区 间(05)上 递 增，在 区 间(”)上 递 减,当 x=5时，取 得 最 大 值/(=当 a 2 2时，/(x)=-x2+ax在 区 间 0,1 上 递 增，当=1时，/(%)取 得 最 大 值/(I)=a-1.1 Q,Q 2V2 2,f2 2-2 a 2
24、g(a)在(8,2/2 2)上 递 减，在 2/2,+8)上 递 增，即 当 a=2/-2时，g(a)有 最 小 值 为 3-2/.解 析：本 题 考 查 函 数 与 方 程 的 综 合 应 用，考 查 数 形 结 合 以 及 基 本 初 等 函 数 的 应 用，考 查 转 化 思 想 以 及 分 类 讨 论 思 想 的 应 用，考 查 计 算 能 力.当 a=|时，结 合 图 象，写 出 函 数 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为(0点 和|,+8),单 调 递 减 区 间 为(3|)和(-8,0);(2)通 过 两 个 函 数 的 图 象，判 断，的 范 围，得 到 函 数 的 零 点
25、 个 数.(3)当 a W O 时，f(x)=比 2-。|=/一”在 区 间 0刀 上 为 增 函 数，求 出 最 大 值.当 0 a 2后 求 解 g(a)有 最 小 值 为 3-A.2十.2 工 2 220.答 案：解：依 题 意，f./,解 得 Q=4,b=26,故 椭 圆 C：+9=1；0 _ 3 16 12a(2)因 为 直 线 MP,N P 关 于 直 线 PF2对 称，设 斜 率 为 火，则 P N 斜 率 为 k：由(1)可 知，P(2,3),故 可 设 P M 方 程 为 y 3=k(x 2),与 椭 圆 联 立 得：；，?化 简 得：(3+4k2)/+8(3/C-2/C2)
26、X+4(4/c2+9-12/c)-48=0：设/V(x2,y2),则 2+0=嘤 醇,同 理 2+x28k(2k+3)3+4/c2故%1+X216k2-1 23+4k2-4 8 k3+4/c2*_ y2-y,_*(x)+x2)-4 k _ IKMN 一 一 一 T，x2-X|X|-x2 2即 直 线 M N 的 斜 率 为 解 析：本 题 考 查 椭 圆 及 椭 圆 的 方 程，z如 直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系，属 中 档 题.(1)由 题 目 条 件 直 接 求 出 和 从 即 得 椭 圆 方 程；(2)设 方 程 为 y 3=k(无 一 2),与 椭 圆 联 立 得 利 用 韦
27、 达 定 理 即 得.V,-y.k(x.+.x,)-4A I,一 kM N=-=-2-1=-为 定 值.x2-x,X)-x2 221.答 案：解：(I)等 差 数 列。工 的 公 差”不 为 零，%=25,且%,a n，%3成 等 比 数 列，可 得 a=。逆 食，(25+10d)2=25(25+12d),解 得 d=2(0舍 去)，即 有 即=25-2(n-1)=27-2n,n e N*；(口)a3n-i=27-2(3n-1)=29-6n,则 数 列。3时 J 表 示 首 项 为 23,公 差 为-6的 等 差 数 列，a2+as+as+。3-1=|n(23+29-6n)=26n 3n2.解 析：本 题 考 查 等 差 数 列 的 通 项 公 式 和 求 和 公 式 的 运 用，考 查 等 比 数 列 中 项 性 质，考 查 方 程 思 想 和 运 算 能 力，属 于 基 础 题.(I)设 等 差 数 列 的 公 差 为，运 用 等 差 数 列 的 通 项 公 式 和 等 比 数 列 中 项 性 质，解 方 程 可 得 乩 进 而 得 到 所 求 通 项 公 式；(11)求 得 03”-1=27-2(311-1)=29-671,运 用 等 差 数 列 的 求 和 公 式，计 算 可 得 所 求 和.