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1、2021年广东省高考数学模拟测试试卷（二模）一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）已知集合4=|2,4 ,集合3=x|x/5 B.72 C.75+1 D.7103.（5 分）2020年 12月 4 日是第七个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识,弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为2,连续答对两道题的概3率 为 用 事 件 A 表 示“甲同学答对第一道题”，事件8 表 示“甲同学答对第二道题”，则2P（8|A）=（）4.（5 分）某一次乒乓球赛的参赛队共有5 小组，每小组3 队.首先
2、每小组中各队进行单循环 比 赛（即每两队比赛一次），然后各小组的第一名再进行单循环比赛，则先后比赛的总次数为（）6.（5 分）九章算术是我国古代的数学巨著，书中有这样一道题：”今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢？”题意为：有一堵墙厚五尺，有两只老鼠从墙的正对面打洞穿墙.大老鼠第一天打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的2 倍;小老鼠第一天也打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的一半.若这一堵墙厚16尺，则儿日后两鼠相逢（）A.3 B.4 C.5 D.67.（5 分）已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为2 6 的同一个球的球面上，则该圆柱体积的最
3、大值为（）324A.32万 B.一 C.10万 D.24万32 28.（5 分）已知椭圆C:+马=1（a 0）的短轴长为4,焦距为2页.过椭圆C 的上端a b-点 8 作 圆/+丁=2 的两条切线，与椭圆c 分别交于另外两点M,N .则 的 面 积 为（）A.6 B.C.D.25 5 2二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。9.（5 分）正方体A 5 8-A B C R 的棱长为2,E,F,G 分别为BC,CC,8耳的中点，则（）A.直线q C 与直线 M 垂直B.平面心截正方体
4、所得的截面面积为22C.三棱锥尸-ACE的体积为2D.点4 与点G 到平面 的 的距离相等10.(5 分)将 函 数/(x)=sinx的图象向右平移七个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的一(0 0),得到函数g(x)的图象.0)若 g(x)在 0,加 上 的 值 域 为,则()A.g(x)在 0,乃 上有两个零点C.g(x)在区间 0,自上单调递增11.(5 分)已 知 a 0,b 0,a+2b=,B.g(x)在 0,如上有两个极值点D.o 的取值范围为己，i 3 3则()A.a2+tr.)-5B.-+-.3 +24 2a bC.2D.log2a-Flog2Z?-312.(5 分)函
5、数/(x)的定义域为R,且 f(x-l)与.f(x+l)都为奇函数，则下列说法正确的是()A.f(x)是周期为2 的周期函数 B./(x)是周期为4 的周期函数C./(x+2)为奇函数 D.f(x +3)为奇函数三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.(5 分)曲 线 y=!-仇 r 在 x=l处的切线在x 轴 上 的 截 距 为.X14.(5 分)已 知。为第二象限角，K sin(-+-)=,则 ta n*.2 4 10-15.(5 分)已 知 AABC中，AB=,A C =3 ,cosA=-,点 E 在直线B C上，且满足4BE=AB+lAC(leR),贝 U l 荏卜
6、.16.(5 分)已知抛物线C:V=4 y 的焦点为尸，直线/过点F 且与抛物线C 交于A,B两点,分别过A,B两点作抛物线C的 切 线12,设直线Z,与12交于点P 5，%)，则 为 =，APAB面 积 的 最 小 值 为.四、解答题：本题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)已知445。的内角4,B,C 的对边分别为a,6,c,且3sinC+2退 sin?=退,C=2 B 求 AABC的周长.从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解.条件：2AB-A C =he；条件：SM K=yfia；条件：a(acosC+ccosA
7、)=b2.18.（12 分）己知数列 a“满足4=1,a2=4,a+2=4a+I-4an.（1）证明：a,*-2%为等比数列;（2）求数列%的前项和S“.19.（12分）如图，4?是半圆E 的直径，C 是半圆E 上异于A,3 的一点，点 D 在线段AC上，满 足 比 _ L 4 3,且上4_LPC,ZB A C=ZP A C=yy,4 3=4,PB=y/l.（1）证明：BCA.PAi（2）求二面角O-P E-B 的余弦值.20.（12分）已知双曲线C:0-2=l（a 0 力0）的离心率为乡，过双曲线C 的右焦点厂作a b2 2渐近线的垂线，垂足为N,且 AFON。为坐标原点）的面积为石.（1）
8、求双曲线C 的标准方程；（2）若 P,。是双曲线C 上的两点，且 P,。关于原点对称，用是双曲线上异于P,Q 的点.若 直 线 MP和直线M Q的斜率均存在，则的-WM。是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.21.（1 2 分）城市大气中总悬浮颗粒物（简称TSP）是影响城市空气质量的首要污染物，我国 的 环境空气质量标准规定，灯尸日平均浓度（单位：g/疗）在 0,120 时为一级水平，在（120,300 时为二级水平.为打赢蓝天保卫战，有效管控和治理那些会加重75尸日平均浓度的扬尘污染刻不容缓.扬尘监测仪与智能雾化喷淋降尘系统为城市建筑工地的有效抑尘提供了技术支持.某建筑工地现新
9、配置了智能雾化喷淋降尘系统,实现了依据扬尘监测仪的R P 日平均浓度进行自动雾化喷淋，其喷雾头的智能启用对应如表：75P 日平均浓 X,80 80X120 120X 200 200300度 X（g/田）喷雾头个数y/个205080110150根据以往扬尘监测数据可知，该工地施工期间75P 日平均浓度X 不高于80 g/,120ug/m,200pg/m3,300 g/的概率分别为 0.15,0.35,0.7,0.95.（1）若单个喷雾头能实现有效降尘G N,求施工期间工地能平均有效降尘的立方米数.（2）若实现智能雾化喷淋降尘之后，该工地施工期间7 s p 日平均浓度X 不高于80 g/,/,12
10、0/jg/m3,200jug/m3,300 g/加 的概率均相应提升了 5%,求：该工地在未来10天中至少有2 天75尸日平均浓度能达到一级水平的概率；（0.6 x 0.006,结果精确到 0.001）设单个喷雾头出水量一样，如果TSP日平均浓度达到一级水平时，无需实施雾化喷淋，二级及以上水平时启用所有喷雾头150个，这样设置能否实现节水节能的目的？说明理由.22.（12 分）已知函数+（a-）x-a/z1y（。40）.（1）当a.g 时，证明：/（x）.0；（2）若f（x）有两个零点，求实数的取值范围.2021年广东省高考数学模拟测试试卷（二模）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8 小题，
11、每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5分）己知集合人=刈2，4 ,集合8 =x|x 2 ,B=x x 2，。的取值范围为：（2,+o o）.故选：D.2.（5分）已知复数z =，一+i（i 为虚数单位），则|z|=（）2 +zA.6 B./2 C./5+1D.回【解答】解:z =+i=0，)+八 9+,+42+i(2 +z)(2-z)5 5 5故|z|=故选：B.3.（5分）2 0 2 0 年 1 2 月 4日是第七个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识,弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为2,连续答对两道题的概3率
12、 为 用 事 件 A表 示“甲同学答对第一道题”，事件3表 示“甲同学答对第二道题”，则2P（B|A）=（）112 3A.-B.-C.-D.-3 2 3 4【解答】解：.甲同学答对第一道题的概率为2,连续答对两道题的概率为3 2用事件A表 示“甲同学答对第一道题”，事件3表 示“甲同学答对第二道题”，P(B A)=P(A 8)P 143故选：D.4.（5分）某一次乒乓球赛的参赛队共有5小组，每小组3队.首先每小组中各队进行单循环 比 赛（即每两队比赛一次），然后各小组的第一名再进行单循环比赛，则先后比赛的总次数为（）A.1 5 B.2 0 C.2 5 D.3 0【解答】解：根据题意，首先每小组
13、中各队进行单循环比赛，需要比赛5 x C；=1 5 场,此时出现5个第一名，再进行单循环比赛，需要比赛C；=1 0 场,则一共需要比赛1 5+1 0 =2 5 场,故选：C.5.（5分）函数的大致图象为（）X-1【解答】解：根据题意，设/（x）=.排除ABC,故选：D.6.（5分）九章算术是我国古代的数学巨著，书中有这样一道题：”今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢？”题意为：有一堵墙厚五尺，有两只老鼠从墙的正对面打洞穿墙.大老鼠第一天打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的2倍;小老鼠第一天也打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的一半.若这一堵墙
14、厚1 6尺，则几日后两鼠相逢()A.3 B.4 C.5 D.6【解答】解：根据题意，大老鼠每天打进的长度是首项为1,公比为2的等比数列，设该数列为前”项和为S”，小老鼠每天打进的长度是首项为1，公比为g的等比数列，设该数列为仍“,前项和为7.，则S T=0 2，)=2-1 1 1-2 ,1 2-1-2若 S +=(2n-1)+(2-).1 6,即 2 Y).1 5 ,又由.1且 Z ,必有.4 ,故选：B.7.(5分)已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为2百 的同一个球的球面上，则该圆柱体积的最大值为()3 A.3 2%B.-【解答】解：如图，OA=2&,0G=,GA=rf2则2+/=1 2,
15、4C.1 0 4D.2 4万J/%2=1,2(/r2 -y).,.圆柱的体积为：V =7rr2-h=TVI r+r+一 _ _ _ _ 万1 2(-)3=5/2 x 8、=32兀.当且仅当=也 力，即r =2忘，/?=4时上式等号成立.2故选：A.2 28.（5分）已知椭圆C:三+当=1（。0）的短轴长为4,焦距为2 0.过椭圆C的上端点5作圆V+9=2的两条切线，与椭圆C分别交于另外两点M,N.则 的 面 积 为A.6【解答】解：由已知可得，2/?=4 2c=2 0 ,则Z?=2,c=/2,a=y/b2+c2=/6,则椭圆方程为三十f=1,6 4如图,设8A7所在直线方程为y=fcc+2,即
16、 区-y+2=0（%0）,则 BM 所在直线方程为y=x+2.y=x+2联立3 y2_,解得M（一空，-），6 4由对称性可得，N（上17，?则|M N|=94，点/到 直 线 的 距 离-d=2+?=1?.5 5 5 5 5。1 24 12 144*SBM N=5乂不 二云故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。9.（5分）正方体AB8-ABC 的棱长为2,E,F,G分别为B C,C C,8 隹的中点，则（）A.直线B|C 与直线4r垂直B.平面田截正方体所得的截面面
17、积为22C.三棱锥F-ACE的体积为2D.点 与点G到 平 面 的 距 离 相 等【解答】解：如图，对于A,B C L EF,假设直线4c 与 直线赫垂直，由正方体的结构特征可知，B B J A E,而 8 8,0|8（=旦，.4 _ 1 _ 平面88,而 A B _ L 平面 88CC，过点A有两直线 回、AE与 平 面 垂 直，与过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条矛盾，故 A错误；对于3,连接A R,FD.,-.-E,尸分别是3 C,CG的中点，面 4 所 截正方体所得的截面为梯形AEFDt,-4 +4 +；.4 +4 I J7 9面田截正方体所得的截面面积为S=-2-（4 +1）-（
18、2 ）2=2,故 3正确;2 V 2 2对于C,V,.ACI.=V.=-xlxlxlx2 =-,故 C错误；r-A C C /1-3 2 3对于。，取 gC的中点4,连接A 4,G H ,由已知可得G/E F,A.H/AE,又AtH G H =平面A G a /平面A EF,则点A与点G到平面A E F的距离相等，故D正确.故选：BD.10.(5 分)将函数/(x)=sinx的图象向右平移七个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的,3 0),得到函数g(x)的 图 象.若 g(x)在 0,加上的值域为-L 1 ,则(co2）A.g(x)在 0,乃 上有两个零点C.g(x)在区间 0,方上单
19、调递增B.g(x)在 0,幻上有两个极值点D.0 的取值范围为亭【解答】解：将函数/(x)=sinx的图象向右平移三个单位长度，再将曲线上各点的横坐标6变为原来的工(0 0),co得到函数g(x)=sin(ox-工)的图象.6当 X 0,4 ,CD X G (D7V，6 6 6若 g(x)=sin(3 x-令 在 0,乃 上的值域为 一 g,l ,故 釉加 -看 V g 融7 3 故。正确；显然，g(x)在 0,乃 上至多有两个零点，故 A 不一定正确;g(x)在 0,不 上只有一个极值点，故 3 不正确；由于当 M0,工 时，6 9 X-e-,C D-,Wo 0,b 0,a+2b=,则（）A
20、.ci+b.5B.-+-.3 +2 a bC.2。2D.Iog2a+log2Z?-3【解答】解：因为a 0,b 0,a+2b=,2 1对于 A,cr+b2=b2+(-2b)2=5后46+1 =5 3-)2+-，根据二次函数的性质可知，当人=2 时，上式取得最小值！，故 A 正确；5 5对于 8,-+-=(-+-)(a+2/?)=3+-.3 +2./-=3+2 ,a b a b a b a b当且仅当丝=色时取等号，,+_1取得最小值3+2近，故 3 正确；a b a b对于C,a+b 在 x=l 处的切线在x 轴 上 的 截 距 为 一x2【解答】解：4，X X*-y 1.日=(一 9-()L
21、 i=-2,又当x=l 时，y=l，曲线,=，_ 妹 在 x=l 处的切线方程为：y-l=-2(x-l),x3令），=0,得 x=22故答案为：21 4.（5分）已知。为第二象限角，且 si n（f +2）=亚，则 t an 6=-2 4 1 0 3 -【解答】解：因为。为第二象限角，即至+2 力万。乃+2%4，k cZ,2r；rKl助 以 7 1 -Kf 7 T 0 7t&k7 T f 8 冗 3兀，几，一十&4 I 4|A E|=7（2 A B-A C）2=l4 AB2+A C2-4 AB A C=4 +9-4 x l x 3 x l =炳.故答案为：Tio.16.（5分）已知抛物线C:x
22、2=4），的焦点为尸，直线/过点E 且与抛物线C交于A ,3两点,分别过A,8两点作抛物线C的切线4 ,4,设直线 与4交于点P（x。，%），则%=_ T _/P AB面 积 的 最 小 值 为.【解答】解：设 4不，y j,B（X2,y2）,直线/的方程为y =+1 ,联立抛物线方程/=4 y,可得4区-4 =0,即有 1 +%2 =4%，内%2 =-4,由y=的导数为y =1 x,可得、的方程为y x=!玉（x 天），化为y=g&x-今，同理可得4 的方程为y=L x-二，联立两直线方程解得飞=2 士生-2 3%=独=1,故为=-1;由P（2匕-1）到直线AB的方程y=H+l的距离为d 2
23、卜+2|=2 4 7?,V1+k1|A B|=Jl+公.J a +）2 -4AM=J1+公 Jl6 k2 +1 6=4（1 +A:2）,的面积为S=，|阴=、2/+公.4（1 +公）2 23=4（1 +-户，则A:=0 时，A/VLB的面积取得最小值4.故答案为：-1,4.四、解答题：本题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知人45。的内角4,B,C 的对边分别为a,6,c，且 3sinC+2逐 sin?C =后,2c=2/,求 AABC的周长.从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解.条件：?.AB-A C =bc；条
24、件：SM B C=yfia；条件：（cosC+ccosA）=i2.【解答】解：由3sinC+2港 sin2|=6，可得3sinC+6（l-cosC）=有，即 3sinC-6cosC=0,所以 sin（C-）=0,因为 Cw（0,;r）,所以C=X,6若选择条件：由2A月/右二反，可得2Z?ccosA=Ac,所以 cos A=92因为 A e(O,4),所以A=%,3所以3=)一A C=C,2所以 6=2c=4石，a=b2 c2=6,所以AABC的周长为6 G+6.若选择条件：由SM3C=J。，可得gaZ?sinC=，所以=，由余弦定理可得c?=+从一 2abcosC,所以 12=48+。2-1
25、 2&,可得/-1 2。+36=0,解得 7 =6，所以AABC的周长为6+6.若选择条件：由(acosC+ccos4)=等2 ,利用正弦定理可得 (sin A cos C+sin Ccos A)=/?sin B,h所以 sin(4+C)=-Z?sin B,所以“sin 8=，Asin B,即 a=b，由余弦定理可得 c2=a2+b2-2abcosC,2 2g、s 3b2,2 3b2所以12=+/r-,4 2所以=4 6,a=-b=6,2所以AABC的周长为6 6+6.18.(1 2分)已知数列 满足4=1,生=4，。“+2 =4以 +i-4“.(1)证明：。e-2%为等比数列；(2)求数列
26、q J的前项和S.【解答】证明：.+2 =4。+-4“，*2 -2a“*i =2 a+1-4 a =2(an+l-2a),注意到 a,-2 q=2 w 0,;.4+1 -2%是以2为首项，以2为公比的等比数列；(2)解：由(1)知，他川-2%是以2为首项，以2为公比的等比数列，则 4+I-2%=22T=2,&=1,又3=1,券 是 以1为首项，以1为公差的等差数列，则=1+(1)*1=，即”“=X2T,S =l x 2 0+2 x 2 +3X2?+.+X2T,2 S=1x 2 +2 x 22+3 x 23+.+n x 2 两式作差可得：-S“=2 +2,+2?+.+2n-nx2_ 2nx(l-
27、2 )Il人 乙、1-2S“=(1)x 2 +1.19.(12分)如图，4?是半圆E的直径，C是半圆E上异于A,3的一点，点。在线段A C上，满足 D E_L4 3,且 Q4 _LPC,Z BAC=Z P AC=3 0 ,AB=4,P B=y/l.(1)证明：BC1.P A；(2)求二面角。一PE 8的余弦值.【解答】解：(1)证明：.他是半圆 的直径，C是半圆E上异于A,8的一点,故 A C J-8 C,.Z BAC=3 0,A B=4,:.BC=2,AC=JAB2-BC?=2币,-.P AV P C,Z P AC=3 0,:.P C=0 PB=y/l,PC2+BC2=PB2,:.PC IB
28、 C,：PCp|AC=C,.8C_L平面 A4C,jX A u平面 Q4C,(2)以C 为原点，CA,C8所在直线分别为x 轴，y 轴，过点C 且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图示:则：C(0,0,0),4(2/，0,0),8(0,2,0),E(6 1,0),。，I)则 屋=g,1,DE=C y,1,0),脯=(6-1,0),设平面P/)E的法向量为比=(W ,%,z j,m-PE=则,m-DE=上 工 3 _n x+M=0币 _nx+y|=令 y=1则 =-73,设平面?1的法向量为无=(/，y2 9 Z2),则nP E =x,+%z,二 02 2 n-BE=?x2-y
29、2=0令 9=1,得 乂 =G，z2 =G .,.乃=(1,y/3,y fi),*/c o s-73+7 3-_ m n 3n =-m-nylrn2 59结合图像，二面角D-PE-B的 余 弦 值 为-叵2592。.分）已知双曲线。）的离心率为 过双曲线C 的右焦点/作渐近线的垂线，垂足为N,且 AFOMO为坐标原点）的面积为君.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若 P,。是双曲线C 上的两点，且 P,。关于原点对称，是双曲线上异于P,。的点.若直线MP和直线MQ的斜率均存在，则右0是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【解答】解：（1）双曲线的渐近线方程为丫=2，即版土金=0
30、,a所以尸（c,0）到渐近线的距离为 严I=，正+从 c所 以 的 面 积 为:|加|-|0匹|=3从J o?-6=/活=正,即心=26，即有/?=6 7 ,2）2解得 =2,b=$,所以双曲线的方程为土 一 匕=1；4 5（2）%行”2 是定值4理由如下：设 P（X 1,y）,%）,则。（-X 1,-%）,所 以 近 一 日=1,立 _ 止=1,4 5 4 5两式相减可得（为 一 ”,a+不）=（%一 X）（%+X）,4 5所 以 K =月 山=玉）一 王 玉）+X 4故左如“。是定值42 1.（1 2 分）城市大气中总悬浮颗粒物（简称T SP）是影响城市空气质量的首要污染物，我国 的 环境
31、空气质量标准规定，7 s p 日平均浓度（单位：g/加）在 0,1 2 0 时为一级水平，在(120,300 时为二级水平.为打赢蓝天保卫战，有效管控和治理那些会加重7S尸日平均浓度的扬尘污染刻不容缓.扬尘监测仪与智能雾化喷淋降尘系统为城市建筑工地的有效抑尘提供了技术支持.某建筑工地现新配置了智能雾化喷淋降尘系统,实现了依据扬尘监测仪的7SP日平均浓度进行自动雾化喷淋，其喷雾头的智能启用对应如表：7 sp 日平均浓度 X(g/m)X,8080X120120 X 200200 300喷雾头个数y/个205080110150根据以往扬尘监测数据可知，该工地施工期间TS尸日平均浓度X 不高于80 g
32、/加，nOug/m3,200g/m3,300 g/的概率分另)为 0.15,0.35,0.7,0.95.(1)若单个喷雾头能实现有效降尘8加，求施工期间工地能平均有效降尘的立方米数.(2)若实现智能雾化喷淋降尘之后，该工地施工期间7SP日平均浓度X 不高于80 g/疝，120 g/,200 g/，/,3OO g/z3 的概率均相应提升了 5%,求：该工地在未来10天中至少有2 天”产日平均浓度能达到一级水平的概率；(0.6 0.006,结果精确到 0.001)设单个喷雾头出水量一样，如果75P日平均浓度达到一级水平时，无需实施雾化喷淋，二级及以上水平时启用所有喷雾头150个，这样设置能否实现节
33、水节能的目的？说明理由.【解答】解：(I)由已知条件和互斥事件事件的概率加法公式得：P(X,80)=0.15,P(80 X刑20)=P(X 120)-P(X?80)=0.35-0.15=0.2,P(120 X融 00)=P(X 200)-P(X?120)=0.7-0.35=0.35,尸(200 300)=1-P(X“300)=1-0.95=0.05,智能设置喷雾头Y 的分布列为：Y205080110150P0.150.20.350.250.05.1 E(Y)=2 0 X o.1 5 +5 0 X 0.2 +8 0 X 0.35 +H 0 x 0.2 5 +1 5 0 x 0.0 5 =7 6
34、(个),施工期间工地能平均有效降尘的立方米数为：(8/)=8 E(y)=8 x 7 6 =6 0 8(加).(2)由已知，该工地智能雾化喷淋降尘之后，两日平均浓度达到一级水平的概率为:P(X 1 2 0)=0.35 +0.0 5 =0.4,设未来1 0 天中，T S P 日平均尝试能达到一级水平的天数为J,则3(1 0,0.4),.尸(；.2)=1 =0)-=1)=1 -O.61 0-C：。x 0.4 x 0 6 9 1 -0.0 0 6 -4 x 0.0 1=0.9 5 4 .该工地智能雾化喷淋降尘之后，7 5 尸平均浓度X对应喷雾头个数y的分布列为：T S P日平均浓度X/(g/)X,8
35、08 0 X 1 2 01 2 0 30 0喷 雾 头 个 数y/个2 05 08 01 1 01 5 0P0.20.20.350.2 50E(Y)=2 0 x 0.2 +8 0 x 0.35 +1 1 0 x 0.2 5 +1 5 0 x 0 =6 9.5 (个)，若只有当T S P 日平均浓度在二级及以上水平时启用1 5 0 个喷雾头，则启用喷雾头个数的期望值为(0.2 +0.2)x 0 +(0.35 +0.2 5)x 1 5 0 =9 0 (个)，大于之前智能启用喷雾头个数的期望值为6 9.5,由于单个喷雾头出水量一样，所以无法达到节水节能的目的.2 2.(1 2 分)已知函数/(犬)=
36、3 2+(4-)x _ a/n x(a w 0).(1)当a.；时，证明：f(x).O；(2)若 f(x)有两个零点，求实数”的取值范围.【解答】(1)证明：/(x)的定义域为(0,”)，4(x)=x +(a _ l)_ g =(x+a)(x-D，X X 当 0 时，令/(x)=0,解得x =l.O v x v l 时，r(x)v O,此时函数/(x)单调递减；%1 时，fx)0 ,此时函数/(x)单调递增.；.x=l 时，函数/(x)取得极小值即最小值，(1)=。一上.0,(2)解：当a 0 时，由(1)可知：x=l 时，函数/(幻取得极小值即最小值/(1)又 由(1)可知：当a.g 时，/
37、(x).O.要使得函数/a)有两个零点，则/(1)=a-0 f(e a)=e a+(a-l)e-a(l)(a-V)(e-1)0,2a函数/(x)在(/二，1),(1,2)上个有一个零点，满足题意.当一lv a 0 时，令八元)=0,解得x=_，或 X=1.可得:X(0,-a)-a(-0,1)1(1,+0 0)fM+00+/(%)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：工=-。时，函 数 了。)取得极大值 1 ，,1f(-ci)=-ci+a-aln(-a)=a-a+ln(-a).令(a)=-a+-ln(-a),l a 0,2 a 2a函数(a)在(T,0)上单调递增.3u(a)w(-l)=0,.,./(-)=(a)0,函数/(外在(0,+00)上不可能有两个零点，舍去当 4=一 1 时，f(X)=(X-1).0.X函数/(x)在(0,”)上单调递增，不可能有两个零点，舍去.当4 一 1时，可得：X(0,1)1-a(-a,+oo)fx)+00+fM单调递增极大值单调递减极小值单调递增可得：X =1时，函数/（X）取得极大值f （1）=4 万0,函数/（X）不可能有两个零点，舍去.综上所述可得：若八幻有两个零点，则实数a的取值范围为（0,；）.