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1、2021年广东省湛江第二高级中学高考数学模拟试卷(3 月份)一、单项选择题(共8 小 题).1.已知集合4=0,2,4,B=y|y=2,xe A,则 4 nB=()A.0,2,4 B.4 C.2,4 D.0,1,2,42.设命题p：x2+2 x-3 0 q：-5 W x V l,则命题成立是命题q成 立 的()条件.A.充分不必要 B,必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要3.已知x=204,y=l g-1,z=(看 严 4,则下列结论正确的是()A.x y z B.y z x C.z y x D.z x0,b 0)的一条渐近线，F i,乃是双曲线C 的左、右焦点，Q关 于 直 线/的 对
2、称 点 为,且/Y是以用为圆心，以半焦距 c 为半径的圆上的一点，则双曲线C 的离心率为()二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.2020年 的“金九银十”变 成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区2019年12月至2020年12月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的 散 点 图.（图中月份代码1 13分别对应2019年12月 2020年12月）1.00 0.98 ,0.96.（）.94 I 2 3 4 5 6 79 1（）II:份代根据散点图选择了=2+1和），=c+4/x两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方
3、程分别为y=0.9369+0.0285后和y=0.9554+0.0 3 0 6 1 n/并得到以下一些统计量的值：一 y=0.9369+0.0285&y=0.9554+0.03061nR2 0.923 0.973注：彳 是样本数据中x的平均数，我 样 本 数 据 中），的平均数，则下列说法正确的是（）A.当月在售二手房均价y与月份代码x呈负相关关系B.由y=Q 9369+0 0 2 8/预测2021年 月 在售二手房均价约为1.0509万元/平方米C 曲线 y=0.9369+0.0285G与y=0.9554+0.03061m都经过点（X，y）D 模 型-n O R E S n o n a i回
4、归曲线的拟合效果比模型5 n Q9fiQ+n 广的好y=O.9554+0.030oln y-U.93b9+U.U28W xIO.下列命题中，真命题的是()A.若 z 为实数，则W=zB.若：=邛 则 z 为实数C.若 z 为实数，则Wz为实数D.若Wz为实数，则 z 为实数H.抛物线/=4)，的 焦 点 为 凡 A,8 是抛物线上两动点，P(2,2)是平面内一定点，下列说法正确的有()A.准线方程为x=-1B.若|AF|+|8fl=8,则线段A 8 中点到x 轴为3C.的周长的最小值为代+3D.以线段A 8 为直径的圆与准线相切12.已知函数y=/(x)在 R 上可导且/(O)=1,其导函数/
5、(x)满 足(x+1)f(x)f(x)-于(x)0,对于函数g(x)=,下列结论正确的是()eA.函数g(x)在(-8,-1)上为增函数B.x=-1是函数g(x)的极小值点C.函 数 g(x)必有2 个零点D.e2f (e)ef(2)三、填空题(本大题共4 小题，共 20.0分)13.已知函数/(x)=2,-2 3 则不等式f (2r+l)+f(1)的解集是14 .在直角三角形ABC中，NC=90,A B=4,A C=2,若 无 足，则 而 而=7T1 5.若 a C(-y,兀)7 sin acos2a ,贝!l./3冗、25 Sin(+a)16.红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近
6、距离接触，降低潜在的病毒感染风险，为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布N(0.1,0.32),从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间(0.4,0.7)内 的 概 率 为.(附：若随机变量S 服从正态分布N(山。2),则 P(R-o|i+o)=68.27%,P Ci-2o H+2O)=95.4 5%)四、解答题(本大题共6 小题，共 72.0分)1 7 .设各项都是正整数的无穷数列“,满足：对任意 N*,有 如 50成立的最小正整数n是否存在？并说明理由.18 .在 A B C 中，a,b,c分别为角A,B,C对边，且 A B C 同时满足下
7、列四个条件中的三个：“2+/=。2 _(2)1 +c o s 2A=2s i n2-；3=2.(1)满足a ABC有解的序号组合有哪些？(2)在(1)的组合中任选一组，求AABC的面积.19 .在一段时间内，分 5 次测得某种商品的价格x (万元)和需求量y (r)之间的一组数据为：3 4价格 x 1.4 1.6 1.8 2 2.2需求量y 12 10 7 5 3已知X 孙=62,汇 避=16.6.i=l -i=l 1(1)求出y对 x的线性回归方程；(2)如价格定为1.9 万元，预测需求量大约是多少？(精确到O.O l f).参考公式：b3-xiyi-n x ya=y-bx-20.如图，在四
8、棱锥外 A B C。中，底面A B C。是边长为2 的正方形，N 8 A P=/B C P=9 0 ,(1)证明：P Z 5_L 平面 A B C。；(2)若直线8 力与平面P 8 C 所成的角为3 0 ,求二面角。-PB-C的大小.B21.己知椭圆G：*+l(a b 0)的离心率为乂3,经过点B(0,1).设椭圆G的a b 2右顶点为A,过原点。的直线/与椭圆G交于P,。两 点(点。在第一象限)，且与线段A B交于点M.(I )求椭圆G的标准方程；(II)是否存在直线I,使得A B O P的面积是 B M Q的面积的3倍？若存在，求直线/的方程；若不存在，请说明理由.22.己知 aR,函数/
9、(x)=(-x2+ax)*ex.(1)。=2时，求函数f (x)的单调区间；(2)若函数/(X)在(-I,1)上单调递增，求a的取值范围.参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.己知集合4=0,2,4,B=yy=2xf xeAf 则 4 0 3=（）A.0,2,4 B.4 C.2,4 D.0,1,2,4解：B=1,4,16；：.AQB=4.故选：B.2.设命题p：x2+2x-3 0 ：-5 x l,则命题成立是命题q 成 立 的（）条件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要解：命题 p：N+2X-3 V 0,解 得-3 VXV1.又 q：-5 1,则命
10、题p 成立是命题q 成立的充分不必要条件.故选：A.3.已知=2叫y=lg-|,z=（-1）-4,则下列结论正确的是（）A.x y z B.y z x C.z y x D.z x20=1,1f fl i g 1=0,0（卷）0.4 （卷）0=1，/.y z 0,匕 0)的一条渐近线，F l,尸2是双曲线C的左、右焦点，Q关 于 直 线/的 对 称 点 为,且FJ是以用 为圆心，以半焦距c为半径的圆上的一点，则双曲线C的离心率为()2 2解：直线/为双曲线C：二 -4=1（0,b o）的一条渐近线，则直线/为、=与,a2 b2 a,：F i,尸 2是双曲线C 的左、右焦点，：.F i（-e,0）
11、,F2（C，0）,Fi关于直线/的对称点为F J,设为（x,y）,y _ _ a y+0 _ b a x-c 宙 _ T F-7 2 92 2解得x=k二旦(b 2 a 2,_ 2 ab)F i是以B 为圆心，以半焦距c 为半径的圆上的一点,/.二al-c)2+(-2ab-0)c2,整理可得4a2=4,B P 2 a=c,故选：C.二、多项选择题（本大题共4 小题，共 20.0分）9.2020年 的“金九银十”变 成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区2019年 12月至2020年 12月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的 散 点
12、 图.（图中月份代码113分别对应2019年 12月 2020年 12月）1.041.021.00().98()96()94T-,扬均价、O I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II 12 13 份代码、根据散点图选择丫=+6 4 和y=c+dlnx两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为了改9369+0.028皿 口 y=0.9554+0.0 3 0 6 1 n 并得到以下一些统计量的值:y=0.9369+0.0 2 8 5 y=0.9554+0.03061nR2 0.923 0.973注：彳是样本数据中x的平均数，我 样 本 数 据 中y的平均数，则下列说法正确的是（）
13、A.当月在售二手房均价y与月份代码x呈负相关关系B.由了力9369+0 0 2 8/预测2021年月在售二手房均价约为L509万元/平方米U 曲线 y=o.9369+0.0286G与y=0.9554+0.03061n产 经 过 点（*丫）D,模型y=0.9554+0.03061n尸归曲线的拟合效果比模型y=0.9369+0.0285 的 好解：由散点图可知，y随x的增加而增加，故A错误；2021年3月，此时x=1 6,代入y=o 9369+0 0 2 8 W?求 得L0509,故B正确；4_ 4曲线y=0.9369+0.0285仝过点（遍 V）曲线y=0.9554+0.03061n*经过点y）
14、.故C错误；因 为0.9730.923,所以模型Q C f-,xn n 9 n 1回归曲线的拟合效果比模型y=0.9554+0.03061my=0.9369+0.0 2 8 5 的 好 故。正确.故选：BD.1 0.下列命题中，真命题的是（）A.若Z为实数，则W=zB.若=如 则z为实数C.若z为实数，则Wz为实数D.若Wz为实数，则z为实数解：对于4,设z=a+Ai,因为z为实数，所以6=0,于是W=a-=。，为实数，所以A对；对于8,设2=+万，则W=a-0 i,因为W=z，所以b=-6，于是6=0,所以z为实数，所以B 对;对于C,因为z为实数，由4知1=2,所以Wz=z2为实数，所以C
15、对；对于。，举反例，令z=l+i,则W=l-。所以Wz=2,即Wz为实数，但z不为实数，所以。错.故选：ABC.1 1.抛物线/=4y 的 焦 点 为 凡 4,B 是抛物线上两动点，P(2,2)是平面内一定点，下列说法正确的有()A.准线方程为x=-lB.若Af+出网=8,则线段AB中点到x 轴为3C.ZSAPF的周长的最小值为遥+3D.以线段AB为直径的圆与准线相切解：抛物线N=4 y的焦点为F(0,1),准线方程为y=-l,故 A 错误；设 A,B 的纵坐标分别为 yi,y2,可得|AFHBF|=yi+y2+2=8,即 yi+)z=6,则 A,B 的中点的纵坐标为3,即线段AB的中点到x
16、轴的距离为3,故 8 正确：设 4为 A 在准线上的射影，由抛物线的定义可得|A fl=|A A|,则|AP|+|A/q2PA1=3,当且仅当P,A,4三点共线时，取得等号，所以APF的周长的最小值为|P/q+|PA|=J +3,故 C 正确；因为点A，B 没有任何条件限制条件，可以是抛物线上任意两点，所以以线段A 8为直径的圆与准线不一定相切，故。错误.故选：BC.1夕12.已知函数y=f(x)在 R 上可导且/(0)=1,其导函数/(x)满 足(x+1)(X)f(x)-fix)0,对于函数g(x)=，下列结论正确的是()eA.函数g(x)在(-8,-1)上为增函数B.x=-1是函数g(x)
17、的极小值点C.函 数g(x)必有2 个零点D.e2f(e)/(2):(x+1)f (x).当 x -1 时,f.当 x 0,(x)-f(x)-1 时，f(x)-f(x)0(尤)-1 时，g(x)0,-1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，故A错误；=-1是8(彳)的极小值点，故B正确；g(%)的极小值为g (-1)=(-1),故当g (-1)0时，g (x)没有零点，故C错误；f f(e)由 g (x)在(-1,+8)上单调递增可得 g (2)g (e),即一、,e e街(e),故。正确.故选：BD.三、填空题(本大题共4 小题，共 20.0分)1 3 .己知函数/(x)=2厂2-3则不等
18、式/(2 x+l)+/,0,函数f (x)在 R 上为增函数；f(2x+l)4/(1)20=V(2x+l)-/(I)=f(2x+l)/(-1)=2x+l2-I,解可得x2-1;即不等式的解集为L 1,+8),故答案为：-1,+)14.在直角三角形A B C中，N C=9 0 ,A B=4,A C=2,若 丽 藤，则否i 扇=18解：在直角三角形A B C中，N C=9 0 ,AB=4,A C=2,cosZCAB-,A B 2若7 5亨5,则正通=(A B_ A C5.、3 ，-)j .=A D，A B-A D*AC A C*A B+A B-A B*A C-A C*A B+A C2 R 1=X1
19、6-X4 X2Xd-4=18.2 22故答案为：18.Bjr 7 _ s i n。_ n5 若 a s （于兀）,C s 2 a g 则 血（等+a）=%田%冗 IT、o n _ 7 cos 2a-s i n 2a ta n 2 a解：因为 a E 七-，兀），cos 2aq=-3 =-z-2 25 cos a+s i n a 1+ta n a整理可得tan2a=卫-,可 得 tan a=-,16 4s i n C L则.,3 九s i n（T一=电 旦=na=3.+a）-cos a 4故 答 案 沏I1 6.红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险，为防
20、控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布N(0.1,0.32),从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间(0.4,0.7)内 的 概 率 为 13.59%.(附：若随机变量t 服从正态分布N 卬，。2),则 P 卬-o +0)=68.27%,P(-2o g+2o)=95.45%)解：由红外线自动测温门测量体温误差服从正态分布N(0.1,0.32),得|1=0.1,。=0.3.,测量体温误差在区间(0.4,0.7)内的概率为：P(0.40.7)=P(口+。口+2。)=y P (四-2。n+2o)-P(i-o 5 0 成立的最小正整数n是否存在？并说明理
21、由.解：(1)数列 分 是首项切=1,公比q=2 的等比数列，dn=2,b=C la=C l=1,bn 4 2工-；=2T；(2)根据反证法排除s =l 和 i23.证明：假 设 的#2,皿=1和 当 ai=l 时，。=ai=ai=1与 6=3 矛 盾,；ai#1 ；当 4 123时，即 4 123=6=%1,又，aWl 与 23 矛盾；由可知。】=2.(3)首先 如 是公差为1 的等差数列，证明如下：,小 知+1,时,C ln -1 +1 ,*.cina,n+(n-m)(m 50,即 2e 2 52,当5 时，2田=6 4 5 2,即存在最小正整数5 使得Sn+n，21TH 5 0 成立.1
22、 8.在 ABC 中，a,b,c 分别为角A,B,C对边，且 ABC 同时满足下列四个条件中的三个：Q a2+c2=b2-(2)l+c o s2 A=2 si n2；b=2.3 2(1)满足aA B C有解的序号组合有哪些？(2)在(1)的组合中任选一组，求 ABC 的面积.解：(1)由条件得c o s8=a 2 +c2-b2=.织 30义 二 一=-返，2 a c 3 2 a c 3由条件得 l+2 c o s2A-1 =1 -c o sA,即 2 c o s2A+c o sA-1=0,1TT解得 c o sA=q 或 c o sA=-1 (舍 去)，因为 AE(0,7 T),所以2 3因为
23、c o sB=-运 一 工=C s,3 2 3且 在(0,1 T),而 =8 5 彳 在(0,n)单调递减，所以兀，Ojr 9T T所以=T T,与 A+B 0),则 A(2,0,0),B(2,2,0),C (0,2,0),P (0,0,a),正=(-2,0,0),而=(0,-2,a),pB-(2，2,0),设平面P 8 C 的一个法向量为m=(x ,y j,Z ),m*BC=-2 xi =0 _则 ,取 z =2,得 m=(0,a,2)：m C P =-2 y +a z =0由直线6。与平面P 8 C 所成的角为3 0 ,可得si n 3 0。=5理二 解 得。=2,则 而=（0,0,2）.
24、I m I|DB|2设 平 面 的 一 个 法 向 量 为 n =(x2，y2 Z 2)，f .n D P=2 z2=0 一由 取 初=-1,得 n=(-l,1 1 0)-n,DB=2 x2+2 y2=0 cos 1 0）的离心率为乂3,经过点8（0,1）.设椭圆G的右顶点为A,过原点。的直线/与椭圆G交于P,。两 点（点。在第一象限），且与线段A 8交于点M.（I ）求椭圆G的标准方程;（I I ）是否存在直线/,使得B O尸的面积是 8 M Q的面积的3倍？若存在，求直线/的方程：若不存在，请说明理由.解：（I ）由题意可知：b=lc _ V 32八2,2a -b +c2 A椭圆G的标准方
25、程为午+y 2 =L(I I)设。(n,y o),则 P (-x o,-y o),a=2b=l .c=V 3可知 O x o2,O y o 即 京 冬。，由 A (2,0),8 (0,1),乳）。二直线A B的方程为x+2 y-2=0.9 A,点M在线段A B上，毋x 0管y-2=0,整理得x o=3-2 y o,2:点。在椭圆G上，.至+丫2=1,4 y0-i把式代入式可得8 y 1 2 y o+5=O,判别式小于零，该方程无解.不存在直线/,使得4 B。尸的面积是 B M Q 的面积的3 倍.2 2.已知 a E R,函数f(冗)=(-x2+a r)二(1)。=2时，求函数/(x)的单调区
26、间；(2)若函数/(x)在(-1,1)上单调递增，求。的取值范围.解：(1)4=2 时，f(x)=(-N+2 x)的导数为f(x)=ex(2 -x2),由，(x)0,解 得-&VxV&,由.(%)泥.即有函数/(x)的单调减区间为(-8,-&),(加，+8),单调增区间为(-&,&).(2)函数/(x)=(-N+ox)的导数为f(x)=exa-x2+(。-2)x ,由函数f(x)在(-1,1)上单调递增，则有/(x)20在(-1,1)上恒成立，艮 1 J 为 c i -x2+(。-2)工 20,艮|3 有 x2-(-2)x -a WO,则有 1+(。-2)-0 且 1-(a-2)-W0,解得a*则有“的取值范围为1 1，+8).