《2021年广东省高考数学模拟试卷（东莞一模）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年广东省高考数学模拟试卷（东莞一模）.pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年广东省高考数学模拟试卷（一模）（东莞一模）一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）已知集合=x|-73 x-l,1）D.（-l,+o o）2.（5 分）若复数 Z 满足（z-l）（l +i）=2 2 i,则|z|=（）A.Q B.百 C.5 D./53.（5 分）已知函数丫=的图象与函数y=/（x）的图象关于直线y=x 对称，则,f（2 e）=（）A.2 e：B.2e C.1 +/M2 D.21rl24.（5 分）函数/0）=（；0 52 工+6（：0$（1-犬）（X 0,3）的最大值为（）A.4 B.5
2、 C.6 D.75.（5 分）已知数列 叫的前项和S,=2 -1 ,则数列 lo g 2%的 前 1 0 项和等于（）A.1 0 2 3 B.55 C.45 D.3 56.（5 分）已知。，。是两个正数，4 是2 与 1 6 的等比中项，则下列说法正确的是（）A.浦的最小值是1 B.必的最大值是11 1 9 1 1 9C.一 十:的最小值是大 D.一十 7 的最大值是大a b 2 a b 27.（5 分）算数书是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长乙与高，计 算 其 体 积 丫 的 近 似 公 式
3、用 该 术 可 求 得 圆 率 的 近 似 值.现 用 该 术 求 得36%的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为9,则该圆锥体积的近似值为（）A.#B.2G C.3 73 D.38.（5 分）若（金+士 2）3（x+a）“a 0）的展开式中f 的系数为3,则。=（A.1 B.-C.V2 D.22二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 2 0 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。2 29.(5分)己知曲线C:、一+工=1。叱-1,Y),则下列结论正确的是()A.若曲线C 为椭圆或双曲线，则其焦
4、点坐标为(士/，0)B.若曲线C 是椭圆，则,-1C.若“-1 且团W-4,则曲线C 是双曲线D.直线行-y-k =0(k eR)与曲线c恒有两个交点1 0.(5分)已知/(X)是定义在宠上的奇函数，/(X)的图象关于X =1 对称，当xe(o,1 时，f(x)=-x2+2 x,则下列判断正确的是()A./(%)的值域为(0,1 B./(x)的周期为2C./(1 +1)是偶函数 D./(2 0 2 1)=11 1.(5分)已知函数/(x)=c o s x+&i n x,则下列说法正确的是()A.若函数/()的最小值为一 5,则2 =2B.若 X(0,i),则至(0,1)使得/(X)=4 成立C
5、.若a=后,VX G 0,争 都有|/(x)加|0）的焦点，且与C交于A,B两点,若|A 8|=3 0,则 2=,凶。仇。为坐标原点）的 面 积 为.1 6.（5 分）在四面体 A 8 c。中，A 8 =A C =8 C=A O =C D =2 ,二面角 5 -A C -为 1 2 0。，则四面体A B C D的 外 接 球 的 表 面 积 为.四、解答题：本题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.（1 0 分）记 S”为 数 列 的 前 项 和，已知4=1,.（1）求数列%的通项公式；（2）若 仇=（2“,1），设数列也J的 前 项 和 为 证 明：V e
6、N*,从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解.条件：Sn=nan n2+n,n w N 为；条件：nSn+,=（n+l）Sn+H2+/z,n e N ”；1-97条件：后=厄+1,nwN*1 8 .（12分）在 A 4 B C 中，角 A,B ,C 的 对 边 分 别 是 a,b,C,已知a s i n A +a s i n C co s B +Z?s i n C-co s A =h-s i n B +c-s i n A .（1）求角3的大小；（2）若b =3 ,c=3a,点。满足 A D =2AB +，A C,求 A 4 B ）的面积.3 31 9.（1 2 分
7、）如图，在四棱锥P-A B C D 中，平面 平面 A B C。，BC/A D,BA D=9 0 ,PA =A D =2A B=4BC =4,P C =21.（1）证明：R 4 J _ 平面 A 8 C O；（2）线段/W上是否存在一点M,使得M C与平面P C。所成角的正弦值为Y浮？若存在,请求出”的值；若不存在，请说明理由.2 212 0.（1 2分）已知椭圆C:与+4=1（。匕 0）的离心率为一，过椭圆C右焦点并垂直于X轴a b 2的直线P M交椭圆C于P,M（点尸位于X轴上方）两点，且A O P M（。为坐标原点）的面3积为12（1）求椭圆C的标准方程：9（2）若直线/交椭圆C于A,B
8、（A,5异于点P）两点，且 直 线 与 依 的斜率之积为4求点P到直线/距离的最大值.2 1.（1 2分）已知函数/（x）=/n x-o r +l（a w R）.（1）讨论函数/（x）的零点个数；（2）设玉，%是函数/（*）的两个零点，证明：%+毛+2 e/a 0 .2 2.（1 2分）在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力,果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒、保质保量”成为口罩生产线上的重要标语.（1）在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完
9、成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检.已知批次/的成品口罩生产中，前 三 道 工 序 的 次 品 率 分 别 为4=.求批次I成品口罩的次品率P-第四道工序中红外线自动检测为次品的口罩会被自动淘汰，合格的口罩进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次/的成品口罩红外线自动检测显示合格率为9 2%,求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个口罩恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.（2）已知某批次成品口罩的次品率为p（OpD,设 1 0 0 个成品口罩中恰有1 个不合格品的概率为夕（p）,记旗力的最大值点为为，改进生产线后批次/的口罩的次品率P 1 =p 0.
10、某医院获得批次/,/的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用.经统计，正常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面条形图所示，求为,并判断是否有9 9.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？核酸检测R阳性核酸检测呈阴性K2=Mad-b cf_(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K.k)0.05 00.01 00.0050.001k3.8 4 16.63 57.8 791 0.8 2 82021年广东省高考数学模拟试卷（一模）（东莞一模）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(
11、5 分)已知集合M=x|-7 3 x-l 2,N =x|x+l0,则M|JN=()A.(-2,+00)B.(-1,1)C.(Y,l)D.(-1,+)【解答】解：W=x|-2 x-1,故选：A .2.(5分)若复数 z满足(z-l)(l +i)=2-2 i,则|z|=()A.应 B.百 C.5 D.【解答】解：由（z-l）（l +i）=2-2 i,得 z -1=2-2/(2-2 i)(l-z)2-2i-2i+2i21 +i (1 +0(1-0 12+12=士.2,2z =1-2i,则|Z|=J12+（_2）2=6.故选：D.3.（5分）已知函数丫=。的图象与函数y=/（x）的图象关于直线y=x对
12、称，则,f（2 e）=（)A.2e2 B.2e C.1+ln2 D.21n2【解答】解：因为函数丫=的 图 象 与 函 数y=/（x）的图象关于直线y=x对称,所以=/。）与 =，互为反函数，故/(x)=欣，所以 f(2e)=历(2 e)=Ini+Ine=1 +ln2.故选：c.4.(5分)函 数f(x)=c o s 2 x+6以 吗-x)(xe 0,g)的最大值为()A.4 B.5 C.6 D.7【解 答】解：函 数/(x)=c o s 2 x4-6 c o s 弓-x)=1 -2 s i n2 x+6 s i n x=-2(s i n x 一 手+g +l=-2(s i n x-)2+-,
13、71由于无。夕,故s i n xe (),1 ,由于函数/(x)的 对 称 轴 为,当 s i n X =1 时，/(x)取得最大值 f x)n m=/(|)=5 ,故选：B.5.(5 分)已知数列的前项和,=2 -1,则数列 l o g 2%的 前 1 0项和等于()A.1 02 3 B.5 5 C.4 5 D.3 5【解答】解：数列 叫的前项和=2 -1 ,可得 4 =2-1 =1 ；当.2 时，a=Sn-5 _,=2 -(2 -1-1)=2-,对”=1 也成立.l o g2a =l o g22 -1=n-l,则数列 l o g?%的前 1 0 项和等于0+1 +2 +9 =g x(l +
14、9)x9 =4 5.故选：C .6.(5 分)已 知 a,。是两个正数，4是2 与 1 6 的等比中项，则下列说法正确的是()A.岫的最小值是1 B.必的最大值是11 1 9 1 1 9C.一 +y的最小值是7 D.一 +y的最大值是大a b 2 a b 2【解答】解：因为2 /6 =4 2,所以4 汽 =4。所以“+劭=4.2 屈，可得她,1,当且仅当=4 6 时等号成立，所以曲的最大值为1,故 A错误，B正确.因为d +1).(a +4/?)(l +4+竺+色)(5 +2 如=2 ,a b 4 4 a b 4 4故上1 +；1 的最小值为9J,无最大值，故 C和。都错误.a b 4故选：B
15、 .7.（5分）算数书是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长上与高，计算其体积V的近似公式V n 用该术可求得圆率 的近似值.现用该术求得3 6万的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为9,则该圆锥体积的近似值为（）A.百 B.2A/3 C.3 6 D.3【解答】解：圆 锥 的 体 积 万（三）2人=,二 力*-/?,解得;TR3,3 2乃 1 2 7 T 3 6r则设所求圆锥的底面直径与母线长为x（x 0），则底面 半 径 为:，2r 1 3 9则 S =）2+-7T X
16、2=x2=9,解得X =2 ,设高为，则 V =（）2 7th-0）。=-s/3 .故选：A.8.（5分）若（金+4-2）3。+。）2 3 0）的展开式中小的系数为3,则。=（）XA.1 B.-C.V 2 D.22【解答】解：（+-2）3。+4）2=3-3 6-。2+2仃+/）（4 0）,X X而（X-%的展开式的通项公式为J =墨（-1厂 产”，X故。一%2+2磔+/）的展开式中f的系数为尊+2 a x0 +/.（_ c：）=1 5-6 a 2=3,X则4 =也，故选：C .二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部
17、分选对的得2 分，有选错的得0 分。229.（5分）己知曲线C:一+q二=1（%HT,W HT）,则下列结论正确的是（）4 +机 1 +mA.若曲线C为椭圆或双曲线，则其焦点坐标为（土后，0）B.若曲线C是椭圆，则机-1C.若，1 +m，。2=4 +加 (),/=1 +阳 0,则机 7,即椭圆焦点在x轴，则廿=屋-/=3,得c =&,此时焦点坐标为(土 耳，0),若曲线表示双曲线，由(4+加)(1+用)1 +加，a 2=4 +(),/=1 +加 0,则 加-1,故3正确;若曲线表示双曲线，由(4 +加)(1 +加)0,得一4 V m -1,故C错误；由近-y-k=0得 小 一1)-丁 =0,得
18、 卜-1 =0,得8=1,y =0,即直线过定点M(1,O),当曲线为双曲线时，-4 机 -1,此时a 2=4 +we(0,3),当m=-2时;a2=2,此时右顶点为(也，0),在点M(1,O)的右侧，此时直线不一定有两个交点，故。错误.故选：A B.1 0.(5分)已知/(X)是定义在R上的奇函数，/的图象关于x=l对称，当x e(O,1 时，/(X)=-X2+2X,则下列判断正确的是()A./(X)的值域为(0,1 B./(X)的周期为2C./(X +D是偶函数 D./(2 0 2 1)=1【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A,当x e(0,1 时，f(x)=炉+2%,此时又由/(x
19、)是定义在R上的奇函数，则/(0)=0,且 当 八。1,0)时,-LJ(x)0,故在区间 T,1 上，-哪%)1,A错误，对于3,函数/(图象关于直线x =i对 称,则 有/(2-x)=/(x),又由/(X)是定义在R上的奇函数，则/(X)=-/(-X)=-/(2 +x),则有/(x+4)=-/(x+2)=/(x),故/(x)是周期T=4 的周期函数，8错误；对于C,/的图象关于x =i 对称，则函数/(x +1)的图像关于y轴对称，/(x +1)是偶函数，C 正确，对于。，/(x)是周期 T=4 的周期函数，则./(2()2 1)=/(l+4 x 5()5)=/(1)=1,。正确，故选：CD
20、.1 1.(5 分)己知函数/(x)=c o s x+/ls i n x,则下列说法正确的是()A.若函数/(x)的最小值为一5 ,则2=2B.若x e(O,),则 m4 e(0,l)使得/(x)=4 成立C.若2 =6,V xG 0 ,刍 都有|/(x)-加|1 成立，则me(L2)2D.若函数/(x)在(0,()上存在最大值，则正实数冗的取值范围是(0,明)【解答】解：对于 A,函数/(x)=c o s x +)s i n x =3+分 s i n(x +。),其中 ta n 9=因为函数/(X)的最小值为-5 ,所以-T i T/u-S,解得；1 =2 后，故 A错误；对于 3,若函数,
21、f(x)=c o s x+/ls i n x =/l,则4=COSX1 -s i n xx1+ta n c2=-1 +x X1 -ta n 1 -ta n -2 2rr X 71 X X因为工(0,一)，所以一(0,一)，ta n-6(0,1),l-ta n-(0,l),2 2 4 2 22?G (2,4-0 0),-1 +(1,4-0 0),此时几6(1,口)，x-X1 -ta n -1 -ta n 2 2所以不存在见 (o,i)使得/a)=%成立，故 3错误;对于 C,若 2 则/(x)=2 s i n(x +3),6因为 x w 0,所以工+工 巳，,/(x)G 1 ,2 ,2 6 6
22、3|/(x)-7 7 7|1 -1 /(X)-m 1 O 7 7 7 -1 /(x)m+l,因为V x e O,9都有|/。)-?|1 成立，所 以 卜 7 2对于。，f(x)=V1 +A2 s i n(x +cp),其中 ta n e 二 ；,Ajr因为函数/(X)在(0,)上存在最大值，所 以*g /+g,即夕2 3 6所以 ta n (p G(,+8),G(,+),兀 (0,百)，故。正确.故选：CD.1 2.(5 分)数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与，(X 0)2 +(6)2 相关的代数问题,可以转化 为 点
23、 A(x,y)与 点B(a,b)之 间 的 距 离 的 儿 何 问 题.结 合 上 述 观 点，对 于 函 数/(x)=J+4 x+5 +Vx2-4 x +5，下列结论正确的是()A./。)=6无解 B./。)=6的解为x =竽C./(X)的最小值为26 D./(X)的最大值为2 君【解答】解：/(x)=y/x2+4 x +5 +x2-4 x +5 =J(X+2)2+1+/(x-2)2+1，设 P(x,l),A(-2,0),3(2,0),则/(x)=|P A|+|P B|,若/(x)=6,则 1 P A i+|P 3|=6|A B|=4,则 P的轨迹是以A,3为焦点的椭圆，此时 2 0)的焦点
24、，且与C交于A,B 两点,若|A 8|=3夜，则p=_&_,AAOB(。为坐 标 原 点)的 面 积 为.【解答】解：由抛物线的方程可得焦点尸的坐标(5，0),准线方程为了 =-日,设y,),B(X2,y2),由题意设直线A B的方程：y=&x-与,y=V 2(x-)n2联立 2,整理可得：x2-2px-=0,y2=2px 42可得x)+Z=2 p,%9=一5，所以 Vi+%=+X2 )=，y 必=p，巧=-yjzp2+4“p|A B|=Xj+x2+p=3p=3V5 所以 p=p2,SMOB=|O尸lly _ 必 J（X+）2）2 _4%=g.等.,2/+4/=乎,故答案为：/2,.216.（
25、5 分）在四面体 A8CD 中，A5=AC=8C=AD=CD=2,二面角 5-AC-为 120。，则四面体ABCD的外接球的表面积为 手.一 3 一【解答】解：如图，由己知可得，AABC,AACD为等边三角形,取 AC 的中点 G,连接 BG,DG ,则 8G_LAC,D G J.A C ,.NBG 为 二面角BGD的平面角,大小为120。，设A 48c的外心为E ,AACD的外心为F,分别过,尸作所在面的垂线，相交于O,则。为四面体A 8 C D 的外接球的球心,1 c由已知求得E G=F G =-B G =,3 3在A E F G 中，求得EF=2 有则0 G =s i n l 2 0。一
26、由一 32可得四面体A 8 C。的外接球的半径R =O B =l0G2+B G2-2 O G-B G-c o s 6 0 7四面体CD 的外接球的表面积为4 7x（a）2 =也.V 3 3故答案为：四、解答题：本题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.（1 0 分）记 S“为数列”“的前项和，已知q=l,.（1）求数列 a 的通项公式；（2）若 5），设数列色）的前几项和为T.证明：V”eN*,Tn-.从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解.条件：S=nan-rr+n,“e N*；条件：nSn+l=（n+1）S+n2+n,n e
27、N *；条件：反=厄+1,MN*【解答】解：（1）若选条件：Sn=na-n2+n,；当儿.2 时，S,i +（-1），一得：（T）q,=（T）a,i +2（-1）,所以4=2 （常数）,故数列%是以4=1 为首项，2 为公差的等差数列；所以见=2-1(首项符合通项)，所以 =2”-1.选条件：电+i=(+1)5+/J?+”,；=5,1+5-1)2+(-1)，得：a“-%=2(常数)，故数列%是以4=1 为首项，2 为公差的等差数列；所 以%=2-1(首项符合通项)，所 以%=2-1.选条件：&二=医+1，w N*.所以61 一 底=i(常数)，所以数列 是 以 1 为首项，I 为公差的等差数列
28、.所以=，整理得S“=2,故%=5.-=2 -(-I)=2 一 1 ,证明：(2)由于q=2 -1,所以。=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _=_-=1(_ J _),(2a+l-l)(20+l-1)(4-1)(4-1)3 4-1 4+,-1，,1 J 1 1 1 1 1 ,1 1 1 、1则=b、+.+，=一(-+-+.+-：)=一(-；)/I,点。满足AD=2AB+A C,求 A4BD的面积.3 3c,已知【解答】解：(1)T a-sin A+a-sin C-cosB+b-sin C-cos A=b sin B+c-sin A,/.s i n A-s i n A+s i
29、 n A-s i n C c o s B+s i n B s i n C-c o s A=s i n B s i n B+s i n C s i n A ,即 sin A sin A+sin C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin B-sin B+sinC-sin A,/.sin A sin A+sin Csin(A+B)=sin B-sin B+sin C sin A,/.sin2 A+sin2 C-sin2 8=sinAsinC,即 b cic,由余弦定理得cosB=-,2T T由3为三角形内角得8=；(2)由 a2+c2-b2=ac,/+1 8-2x3啦XL =54,2
30、整 理 得3&。-3 6=0,解得，a-642,2 1 AD=-AB+-A C,3 3一.-2 .1 .-1 .-1 .BD=AD-AB=-AB+-AC-AB=-(AC-AB)=-BC,3 3 3 3在BC上，且为靠近8的三等分点，SMltc=g a c s i n 8 =；x 6及 x 3夜 x 号-9百,SMBD=g S,B C =g X 9G=3若.1 9.(1 2 分)如图，在四棱锥尸-ABC。中，平面 R I B _ L 平面 A B C。，B C/A D,N B A =9 0。，P A =AD =2 A B =4 B C =4,P C=后.(1)证明：%_L平面 4?C ；(2)线
31、段M上是否存在一点M,使得M C与平面P C。所成角的正弦值为Y*?若存在,请求出”的值；若不存在，请说明理由.p【解答】(1)证明：.平 面 平 面 A B C,平面平面=,ZBAD=90,.4。_ 1平面记,.P4u 平面 N J,.AD PA,在直角梯形A8C。中，2AB=46C=4,AC=ylAB2+BC2=6=75,-,-PA=4,PC=y/2A,.-.PA1+AC2 PC2,即尸A J.AC,X/ID QAC=A,AD.A CU 平面 ABC),.IB4J_平面ABC力.(2)解：以A 为原点，AB,AD,AP所在直线分别为X,y,Z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0
32、,0),B(2,0,0),P(0,0,4),C(2,i,0),D(0,4,0),AB=(.2,0,0),定=(2,1,-4),PD=(0,4,-4),设 丽=4 而，/le 0,1 ,则 M(24,o,0)MC=(2-2A,1,0),设平面P C D 的法向量为万=（X,y,Z）,则!无 匕=,即，2 x+y-4 z =0,n-PD=O 4 y _ 4 z =03 3令 y =1,则兀=一，z=i f i,i）,2 2 M C与平面P C D所成角的正弦值为噜I,/2 2 1,n M C,.=|c o s|=|-.|=|17 n-MC 3-（2-2 2）+12-I，+11化简得1 6万-8 4
33、 +1 =0,解得力=一，4故线段A B上存在点M 满足题意，且 怨=!A B 42 2i2 0.（1 2 分）已知椭圆C:与+5 =1（。匕 0）的离心率为一，过椭圆C右焦点并垂直于X轴a b-2的直线PM 交椭圆C于 P,M（点尸位于X轴上方）两点，且AO PM（。为坐标原点）的面3积为12（1）求椭圆C的标准方程；9（2）若直线/交椭圆C于 A,B（A,8异于点P）两点，且直线Q4与 依 的斜率之积为求点P到直线/距离的最大值.【解答】解：（1）由题意可得P（c,%）,ac 1c=一所以由题意可得 a 2 且,2=/-/,解得/=4,/=3,1 2b2 31 2 a 2所以椭圆的方程为：
34、x2+v2=1；4 33（2）由（1）可得尸（I,?,设 4%,乂），B（,q,%），设直线/的方程为：y=kxm,y=kx-m联 立 可 得 y2 且整理可得：（3 +4&2*+8切a+4 裙-1 2 =0,-F =14 3=64 机2*2 _ 4.（4 女 2 +3）.（4 m2-1 2）o ,n-Skin且“豆 而3W-1 2x.x,=-3+4公3kM-k,B=-2.2,=-Z,整理可得：(y-l)(y-l)=-(刃一1)(一1),%,-1 x2-l 4 43 9 3 9整理可得(9+如)书+k(m)_*+%)+(/M-)2+-=0,9 3整理可得 2左2 +4/n2-3m+6km =0
35、,B P (k+m )Qk+4m+3)=0,2 23k+m=0 或 2左+4m+3=0,23 3 3若氏+加一一 二0,则直线方程为：y-一 二k(1-1),直线恒过N(l,，)，与。点重合,2 2 23 1若24+4w+3=0,则直线方程为：1 3所 以 直 线 恒 过 定 点 啊,-)所以P到直线/的距离的最大值为IPQI的值为J(l-1)2+l|-(-)2=亭21.(12 分)已知函数/(x)=/x-or+l(aeR).(1)讨论函数/(x)的零点个数;(2)设 国，须是函数/(%)的两个零点，证明：+犬2+2e/a0.【解答】解：令y=。，即阮x=o x-i,画图可知,当心0时，直线y
36、=-i与y=/我的图象有且只有一个交点，即一个零点；当。0时，设直线y=x-i与)，=/加切于点(后,/%)，切线斜率为切线方程为y-/nx0=L(x-x。)，把(0,T)代入上式可得玉=1,&=1,%.当0 a 1时直线，=以-1与y =加1没有交点，即无零点.综上可知，当a l时，/（X）无零点;当a =l或0时，/（X）有且仅有一个零点;当O v a V 1时,当。有两个零点.（2）因为/（X）有两个零点，由（1）可知0 “0 ,即证与+*-,.-2elna,a因为再，是函数/（X）的两个零点，所以f lnx ax+1=0lnx2-ax2+1=0解得历受二玳与一M），即证2（声 一 丹）
37、In坛王2（强-1）不妨设0%一西 西+电 1 +2令”卫 i,则 证 加 二DX,f+1令的)=/加-也二Di,t+Wi J/f(z)=-2-,t(r +1)2 t(t+1)2(1)2 0,所以九在（1,桢）上单调递增,所以的）/（1）=0,即历/生二Dt+以上各步均可逆，故百十毛+2叫0.2 2.（12 分）在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力,果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒、保质保量”成为口罩生产线上的重要标语.（1）在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水
38、线有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检.已知批次/的成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为4=上，巴=盘.求批次/成品口罩的次品率P.第四道工序中红外线自动检测为次品的口罩会被自动淘汰，合格的口罩进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次/的成品口罩红外线自动检测显示合格率为92%,求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个口罩恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.（2）己知某批次成品口罩的次品率为p（Op 0 ,当 p e(0.0 1,l)时，(p)0,所以9(p)的最大值点为p=0.0 1,3由(1)可知，=0.0 9,Pj=p=0.0 1,故批次J 口罩的次品率低于批次I,故批次./的口罩质量优于批次/.由条形图可建立2 x 2 列联表如下:核酸检测结果口罩批次合计IJ呈阳性12315呈阴性285785合计4060100所以 K:n(a d ic)，-二力叱57-28x 3)、空”10.828,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)40 x 60 x 15 x 85 17因此，有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关.