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1、树德中学高树德中学高 2021 级高三上期开学考试数学试题（文）级高三上期开学考试数学试题（文）时间：时间：120 分钟分钟 满分：满分：150 分分 命题人：廖游宇命题人：廖游宇 审题人：唐颖君审题人：唐颖君一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的项符合题目要求的1.已知集合260Ax xx，0Bx x，则AB（）A.23xx B.02xxC.32xx D.03xx2.若i为虚数单位，则复数2i1 iz的虚部为（）A.12B.1i2C.1i2D.123.已
2、知向量1,am，1,0b ，且6aba b，则a r（）A.5B.2 3C.22D.2 64.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线.将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3 个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，若记图三角形的面积为34，则第 n 个图中阴影部分的
3、面积为A.133()92nB.33()62nC.33()44nD.33()34n5.已知矩形 ABCD 中，2ABBC，现向矩形 ABCD 内随机投掷质点 P，则满足APB为锐角的概率是（）A.44B.4C.1616 D.166.在如图所示的程序框图中，程序运行的结果S为 3840，那么判断框中可以填入的关于k的判断条件是（）A.5k B.5k C.4k D.4k 7.若命题:p0,x，11xx；命题:q0 xR，20010 xx，则下列命题为真命题的是（）A.pqB.pqC.pqD.pq 8.已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MF MF 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围
4、是（）A.20,2B.10,2C.0,1D.2,129.112tan202cos10（）A.2B.32C.3D.210.已知四面体ABCD满足3ABCD，5ADBC，2ACBD，且该四面体ABCD的外接球的表面积是（）A.2B.6C.611D.411.已知函数 2sin22cos2f xxx若对任意10,2x，存在20,x，使2221212mxxfx成立，则 m 的取值范围是（）A.1m B.12m C.18m D.14m 12.对于函数 yf x，若存在非零实数0 x,使得00f xfx，则称点00,xf x与点00,xfx是函数的一对“隐对称点”若0m 时，函数 2ln,0,0 x xf
5、xmxmx x的图象上恰有 2 对“隐对称点”，则实数 m 的取值范围为（）A.10,eB.1,C.110,eeD.0,11,二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分答案填在答题卷相应横线上分答案填在答题卷相应横线上13.设,x y满足约束条件002yxyxy，则2zxy的最大值为_14.在ABC中，角,A B C所对的边分别为,2,2 3,3a b c abB，则ABC的面积为_.15.如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 4，E 是侧棱1AA的中点，则平面1BCE截正方体1111ABCDABC D所得的截面图形的周长是_1
6、6.已知 A、B 是椭圆222210 xyabab与双曲线222210,0 xyabab的公共顶点，P 是双曲线上一点，PA，PB 交椭圆于 M，N 若 MN 过椭圆的焦点 F，且tan3AMB，则双曲线的离心率为_三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须作答；第每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题，共（一）必考题，共 60 分分17.某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的汽车，约定从
7、今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示（1）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数；（2）统计今年以来元月5 月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：月份元月2 月3 月4 月5 月销售量（万辆）0.50.61.01.41.7预测该品牌汽车在今年 6 月份的销售量约为多少万辆？附：对于一组样本数据11,xy，22,xy，L，,nnxy，其回归直线ybxa$的斜率和截距的最小二乘估计值分别为1221niiiniix
8、ynx ybxnx，aybx$18.如图，梯形ABCD中，4AD，E为AD中点，且CEAD，1CEBC，将DEC沿CE翻折到PEC，使得3PEA连接,PA PB（1）求证：BEPC；（2）Q为线段PA上一点，若23AQAP，求三棱锥PBCQ的体积19.在数列 na中，1232331nnaaana（1）求 na的通项公式；（2）若12nnn nab，求数列 nb的前n项和nS20.已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为22e，且经过点1,e（1）求椭圆C的标准方程；（2）P 为椭圆 C 在第一象限内部分上的一点，过点 P 作圆22:11Mxy的两条切线，分别交 y 轴与D，E 两点，且
9、143DE，求点 P 的坐标21.已知函数 exf xax，aR（1）讨论 f x的单调性；（2）若当1x 时，f xax，求a的取值范围（3）若存在实数a、b，使得 2f xaxbax恒成立，求ab的最小值（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分一题计分22.直角坐标系 xOy 中，点0,1P，动圆 C：22sin3sin11()xy R.（1）求动圆圆心 C 的轨迹；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 M 的极坐标方程为：22222coss
10、in，过点 P 的直线 l 与曲线 M 交于 A，B 两点，且47PAPB，求直线 l 的斜率.23.已知函数 2322f xxx，()sin2g xx（1）求函数()()f xg x的最小值；（2）设,(1,1)a b，求证：211 222abab 树德中学高树德中学高 2021 级高三上期开学考试数学试题（文）级高三上期开学考试数学试题（文）时间：时间：120 分钟分钟 满分：满分：150 分分 命题人：廖游宇命题人：廖游宇 审题人：唐颖君审题人：唐颖君一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题
11、给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的项符合题目要求的1.已知集合260Ax xx，0Bx x，则AB（）A.23xx B.02xxC.32xx D.03xx【答案】D【解析】【分析】先求出集合A，再根据交集的定义求解即可.【详解】因为26023Ax xxxx，0Bx x，所以03ABxx.故选：D.2.若i为虚数单位，则复数2i1 iz的虚部为（）A.12B.1i2C.1i2D.12【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数z，再根据复数的概念即可得答案.【详解】2i(2i)(1i)3i31i1i(1i)(1i)222z，其虚部为12故选：D3.已知向量1,am，1,0b ，且6
12、aba b，则a r（）A.5B.2 3C.22D.2 6【答案】C【解析】【分析】根据6aba b求得 m，再利用向量的模公式求解.【详解】解：因为向量1,am，1,0b ，所以2,1abma b，又因为6aba b，所以2225m，解得221m，所以22122am，故选：C4.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三
13、角形，沿三角形的三边中点连线.将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3 个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，若记图三角形的面积为34，则第 n 个图中阴影部分的面积为A.133()92nB.33()62nC.33()44nD.33()34n【答案】D【解析】【分析】每一个图形的面积是前一个图形面积的34，根据等比数列公式得到答案.【详解】根据题意：每一个图形的面积是前一个图形面积的34，即面积为首项为34，公比为34的等比数列，故第 n 个图中阴影部分的面积为13333()4434nn.故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.5
14、.已知矩形 ABCD 中，2ABBC，现向矩形 ABCD 内随机投掷质点 P，则满足APB为锐角的概率是（）A.44B.4C.1616 D.16【答案】A【解析】【分析】根据题意作图，如图所示，设22ABBCm，当点 P 落在圆外时，APB为锐角，分别求出矩形 ABCD 和半圆的面积，由几何概型概率计算公式即可求得答案.【详解】解：如图所示，设22ABBCm，当点 P 落在以 O 为圆心，以 AB 为直径的圆上时，90APB，当点 P 落在圆外时，APB为锐角，矩形 ABCD 的面积为222m mm，半圆的面积为22122mm，由几何概型概率计算公式知满足APB为锐角的概率是22224224m
15、mm，故选：A.6.在如图所示的程序框图中，程序运行的结果S为 3840，那么判断框中可以填入的关于k的判断条件是（）A.5k B.5k C.4k D.4k【答案】C【解析】【分析】模拟程序的运行过程，即可得出判断框中应填入的判断条件.【详解】模拟程序的运行过程，如下：10,2kS程序进行第一次循环：2 1020,1028Sk，此时3840S，继续运行.程序进行第二次循环：20 8160,826Sk，此时3840S，继续运行.程序进行第三次循环：160 6960,624Sk，此时3840S，继续运行.程序进行第四次循环：960 43840,422Sk，此时3840S，结束运行.所以2k 时，程
16、序退出循环，而4,6,8k 时，程序运行不退出循环.结合选项分析可得：选项 C 满足.故选：C7.若命题:p0,x，11xx；命题:q0 xR，20010 xx，则下列命题为真命题的是（）A.pqB.pqC.pqD.pq【答案】A【解析】【分析】先利用基本不等式与二次函数的性质判断得命题,p q的真假，从而结合“且或非”命题的真假性即可判断.【详解】对于命题p，当0 x 时，1122xxxx，当且仅当1xx，即1x 时，等号成立，所以0,x，121xx，故命题p为真命题；对于命题q，令 21fxxx，则 f x开口向上，140 ，所以 0f x 恒成立，即210 xx 恒成立，故命题q为假命题
17、；所以pq为真，pq为假，pq为假，pq 为假.故选：A.8.已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MF MF 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A.20,2B.10,2C.0,1D.2,12【答案】A【解析】【分析】由120MF MF 知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆，根据M点总在椭圆内部，可得cb，再根据椭圆的性质能够推导出椭圆离心率的取值范围【详解】设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为,a b c，12120MF MFMFMF ，M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆，又M点总在椭圆内部，该圆内含于椭圆，即cb，222222,2cbacc
18、a，22212cea，202e 故选：A9.112tan202cos10（）A.2B.32C.3D.2【答案】B【解析】【分析】利用同角的三角函数关系将切化弦，再根据二倍角公式以及两角和差的正余弦公式，化简求值，即得答案.【详解】11cos2012tan202cos102sin202cos10cos202sin10cos(3010)2sin102sin202sin20 cos30 cos10sin30 sin102sin102sin203313cos10sin103(cos10sin10)22222sin202sin203sin(3010)32sin202，故选：B10.已知四面体ABCD满足
19、3ABCD，5ADBC，2ACBD，且该四面体ABCD的外接球的表面积是（）A.2B.6C.611D.4【答案】B【解析】【分析】将将四面体ABCD放入长方体中，求出长方体的体对角线，进而得到外接球半径，得到表面积.【详解】将四面体ABCD放入长方体中，如图，则四面体ABCD的外接球，即为长方体的外接球，设长方体中,FAa FBb FCc，则222222345abacbc，三式相加得222212abc，故2226abc，所以四面体ABCD的外接球半径为222622abcr，故四面体ABCD的外接球表面积为246r.故选：B11.已知函数 2sin22cos2f xxx若对任意10,2x，存在2
20、0,x，使2221212mxxfx成立，则 m 的取值范围是（）A.1m B.12m C.18m D.14m 【答案】D【解析】【分析】把恒成立及存在问题转化为最值间关系，先根据三角函数值域求 max2 2f x，再求二次函数最值求出 m 的取值范围即可.【详解】因为对任意10,2x，存在20,x，使2221212mxxfx成立，所以222121maxmax2mxxf x,2sin22cos2=2 2sin 24fxxxx11 30,2,2444xx，,max2 2f x,2223122222max312222mxxmxx，,22210mxx,20,x 存在20,x，22222min111,0
21、,mtmttxxx成立,221111=,2444tttm .故选：D.12.对于函数 yf x，若存在非零实数0 x,使得00f xfx，则称点00,xf x与点00,xfx是函数的一对“隐对称点”若0m 时，函数 2ln,0,0 x xf xmxmx x的图象上恰有 2 对“隐对称点”，则实数 m 的取值范围为（）A.10,eB.1,C.110,eeD.0,11,【答案】D【解析】【分析】由题意可得，函数2()(0)f xmxmx x 关于原点对称的图象2()g xmxmx与函数()ln(0)f xx x的图象有两个交点，再次转化为ln()(0)xh xxx与(1)ym x的图象有 2 个交
22、点，然后画出图象，根据图象可求得答案.【详解】由题意可得，函数2()(0)f xmxmx x 关于原点对称的图象2()g xmxmx与函数()ln(0)f xx x的图象有两个交点，即方程2ln(0)mxmxx x有两个根，即ln(1)xm xx，令ln()(0)xh xxx，则21 ln()xh xx，当0ex时，()0h x，当ex时，()0h x，所以()h x在0,e上递增，在e,上递减，(1)ym x的图象恒过点(1,0)，ln()(0)xh xxx的图象也过点(1,0)，因为(1)1h=，所以ln()(0)xh xxx在1x 处的切线方程为1yx，由图可知当01m或1m时，ln()
23、(0)xh xxx与(1)ym x的图象有 2 个交点，即2ln(0)mxmxx x有两个根，所以实数 m 的取值范围为0,11,，故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的几何意义，考查函数的新定义，解题有关键是对新定义的正确理解，从而将问题转化为方程ln(1)xm xx有 2 个根，然后构造函数，利用函数图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题.二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分答案填在答题卷相应横线上分答案填在答题卷相应横线上13.设,x y满足约束条件002yxyxy，则2zxy的最
24、大值为_【答案】4【解析】【分析】根据可行域结合几何意义求最值.【详解】作出可行域如下，由2zxy可得2yxz，当直线2yxz过点(2,0)时，z最小，则z最大，此时24zxy.故答案为:4.14.在ABC中，角,A B C所对的边分别为,2,2 3,3a b c abB，则ABC的面积为_.【答案】2 3【解析】【分析】利用余弦定理求出c，再由面积公式计算可得.【详解】2a，2 3b，3B，由余弦定理2222cosbacacB得2222 322 2cos3cc ，2280cc，4c 或2c （舍去），ABC的面积113sin2 42 3222ABCSacB .故答案为：2 315.如图，正方
25、体1111ABCDABC D的棱长为 4，E 是侧棱1AA的中点，则平面1BCE截正方体1111ABCDABC D所得的截面图形的周长是_【答案】6 24 5#4 56 2【解析】【分析】过E点作1BC的平行线即可延展平面1BCE，则可得到截面，再求周长即可.【详解】取AD中点H，连接EH，1A D,AD中点为H，E 是侧棱1AA的中点，1/EH AD,112EHAD,又在直角三角形1AAD中2211=16 164 2ADA AAD,12 22EHAD,正方体1111ABCDABC D中，1111/,ABDC ABDC四边形11ABCD为平行四边形,1111/,4 2,AD BC ADBC1/
26、EH BC,1,E H C B四点共面，即为正方体的截面.在直角三角形1 1EAB中221111=4 162 5EBEAAB,同理2 5HC,则截面周长为114 56 2EBBCHCEH.故答案为:6 24 5.16.已知 A、B 是椭圆222210 xyabab与双曲线222210,0 xyabab的公共顶点，P 是双曲线上一点，PA，PB 交椭圆于 M，N 若 MN 过椭圆的焦点 F，且tan3AMB，则双曲线的离心率为_【答案】2 33#233【解析】【详解】由题意可知：,0,0AaB a如图，设00(,)P xy，可得直线的斜率分别为0000,PAPByyxakxak，因为点P在双曲线
27、上，则2200221xyab，整理得200200yybxa xaa，所以22PAPBbkka，设点11(,)M x y，可得直线,MA MB的斜率1111,MAMByyxakxak，因为点11(,)M x y在椭圆上，则2211221xyab，整理得211211yybxa xaa，所以22MAMBbkka，即22PAMBbkka，可得MBPBBNkkk ，所以直线MB与NB关于x轴对称，又因为椭圆也关于x轴对称，且,M N过焦点F，则MNx轴，令(c,0)F，则2bMFNFa，因为222tanacaacAMFbba，222tanacaacBMFbba，则tantantantan1 tantan
28、AMFBMFAMBAMFBMFAMFBMF22222222222231aacaacabbaac aacbabb，解得2213ba，所以双曲线的离心率222212 31133abbeaa.故答案为：2 33.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c得值，根据离心率的定义求解离心率e；齐次式法：由已知条件得出关于,a c的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解；特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17
29、21 题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须作答；第每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题，共（一）必考题，共 60 分分17.某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示（1）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数；（2）统计今年以来元月5 月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：月份元月2
30、 月3 月4 月5 月销售量（万辆）0.50.61.01.41.7预测该品牌汽车在今年 6 月份的销售量约为多少万辆？附：对于一组样本数据11,xy，22,xy，L，,nnxy，其回归直线ybxa$的斜率和截距的最小二乘估计值分别为1221niiiniix ynx ybxnx，aybx$【答案】（1）3.5万元（2）2 万辆【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算即可；（2）由所给数据求出线性回归方程，代入6x，即可得出预测值.【小问 1 详解】因为直方图的组距为 1，则各组数据的频率即为相应小矩形的高，所以平均数的估计值为0.1 2.5 0.3 3.5 0.34.5 0.155.5
31、0.1 6.5 0.0.53.1 55x万元【小问 2 详解】记1,2,3,4,5ixi i，10.5y，20.6y，31.0y，41.4y，51.7y，由散点图可知，5 组样本数据呈线性相关关系因为3x，1.04y，10.5 1.235.68.518.8niiix y，21149162555niix，则18.85 3 1.040.32555 9b ，1.040.32 30.08a ，所以回归直线方程是0.320.08yx当6x 时，0.3260.082y ，预计该品牌汽车在今天 6 月份的销售量约为 2 万辆18.如图，梯形ABCD中，4AD，E为AD中点，且CEAD，1CEBC，将DEC沿
32、CE翻折到PEC，使得3PEA连接,PA PB（1）求证：BEPC；（2）Q为线段PA上一点，若23AQAP，求三棱锥PBCQ的体积【答案】（1）证明见解析（2）318【解析】【分析】（1）根据题意，证得CE 平面PAE，从而得到平面ABCE 平面PAE，取AE中点O，连接,PO OB OC，证得PO平面ABCE，从而证得BE 平面POC，结合线面垂直的性质，即可证得BEPC（2）由23AQAP，得到1133P BCQQ PBCA PBCP ABCVVVV，结合棱锥的体积公式，即可求解.【小问 1 详解】证明：因为CEAD，所以CEAE且CEPE，又因为PEAEE，且,PE AE 平面PAE，
33、所以CE 平面PAE，因为CE 平面ABCE,所以平面ABCE 平面PAE，在梯形ABCD中，2DE，所以2AE，所以在四棱锥PABCE中，2PEAE，又因为3PEA，所以PEA为正三角形，取AE中点O，连接,PO OB OC，可得,OPOAEBAE，因为平面ABCE 平面PAE，平面ABCE 平面PAEAE，PO平面PAE，且POAE，可得PO平面ABCE，又因为1BCCEOE，CEAE，CEBC，所以四边形 OBCE 为正方形，所以BEOC，因为OCPOO且,OC PO 平面POC，所以BE 平面POC,又因为PC 平面POC，所以BEPC【小问 2 详解】解：由题意得，点Q为线段PA上一
34、点，且23AQAP，即13PQPA，所以1133P BCQQ PBCA PBCP ABCVVVV，又由（1）知PO平面ABCE，所以PO为三棱锥PABC的高，由PAE为正三角形，且2PA，可得3PO，所以111131 13333218P BCQP ABCVV 19.在数列 na中，1232331nnaaana（1）求 na的通项公式；（2）若12nnn nab，求数列 nb的前n项和nS【答案】（1）12 3nnan（2）(21)314nnnS【解析】【分析】（1）先求出1a，然后当2n时，由已知式子可得1123123(1)31nnaaana，和已知式子相减化简可求得na，再验证1a，即可求得
35、通项公式，（2）由（1）得1(1)3nnbn，然后利用错位相减法可求得nS【小问 1 详解】当1n 时，11312a ，当2n时，则1232331nnaaana，得1123123(1)31nnaaana，两式相减得，1131 312 3nnnnna ，所以12 3nnan，因为12a 满足上式，所以12 3nnan【小问 2 详解】由（1）得111(1)2 3(1)322nnnnn nan nbnn，所以012212 33 34 33(1)3nnnnnS 所以12312 33 34 333(1)3nnnnnS ，所以123123333(321)nnnSn1 31(1)31 3nnn 12132
36、2nn，所以211(21)313444nnnnnS20.已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为22e，且经过点1,e（1）求椭圆C的标准方程；（2）P 为椭圆 C 在第一象限内部分上的一点，过点 P 作圆22:11Mxy的两条切线，分别交 y 轴与D，E 两点，且143DE，求点 P 的坐标【答案】（1）2212xy（2）21,2P【解析】【分析】（1）根据已知条件求得22,a b，从而求得椭圆C的标准方程.（2）设出,P D E的坐标，根据切线,PD PE求得DE，由143DE 求得P点的坐标.【小问 1 详解】由题知222222,2,111,2caabcab解得22a，21b，故
37、椭圆 C 的方程为2212xy【小问 2 详解】设点00,Pxy000,0 xy，0,Dm，0,En，则直线 PD 的方程为00ymyxmx，即0000ym xx ymx，因为圆心1,0M 到直线 PD 的距离为 1，即0022001ymx mymx，即222220000002ymxymx m ymx m，即2000220 xmy mx，同理2000220 xny nx由此可知，m，n 为方程2000220 xxy xx的两个实根，所以0022ymnx，002xmnx 22220000022000444484222yxxyxDEmnmnmnxxx因为点00,Pxy在椭圆 C 上，则220012
38、xy，则220012xy ，则200202841432xxDEx，则200450 xx，因为00 x，则01x，22001122xy ，即022y，故存在点21,2P满足题设条件【点睛】求解椭圆的标准方程，关键点在于求得,a b或22,a b，由于,a b是两个未知数，所以需要两个已知条件才能求解，如本题中，椭圆的离心率和椭圆上一个点的坐标，有的题目还需要结合椭圆中的“隐藏条件”222abc来进行求解.21.已知函数 exf xax，aR（1）讨论 f x的单调性；（2）若当1x 时，f xax，求a的取值范围（3）若存在实数a、b，使得 2f xaxbax恒成立，求ab的最小值【答案】（1）
39、答案见解析（2）1e,2e 2（3）1e【解析】【分析】（1）求得 exfxa，分0a、0a 两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数 f x的增区间和减区间；（2）由已知得2exax，在0 x 时显然成立，在1,0 x、0,x两种情况下，结合参变量分离法可求得实数a的取值范围，综合可得出实数a的取值范围；（3）分析可知当a，得lnxa，此时函数 f x的减区间为,lna，增区间为ln,a.综上所述，当0a 时，函数 f x的增区间为,，无减区间；当0a 时，函数 f x的减区间为,lna，增区间为ln,a【小问 2 详解】解：由 f xax得2exax，当0 x 时，显然成立；当1,
40、0 x 时，20 x，可得e2xax，令 e2xg xx，则 2e102xxgxx，则 g x在1,0上递减，故 112eg xg，此时12ea ；当0,x时，20 x，可得e2xax，令 2e102xxgxx得1x，由 0gx，可得01x，由 0gx，可得1x 此时，函数 g x在0,1上单调递减，在1,上单调递增，所以，g x在1x 处取得最小值，即 e12g xg，此时e2a 综上，a的取值范围是1e,2e 2【小问 3 详解】解：当a可得0 xx，所以 f x在0,x上单调递减，在0,x 上单调递增，从而 0200minexf xf xax，因为 f xb恒成立，所以020exaxb，
41、故020exabaax，又000e20 xfxax，所以00e2xax，代入不等式可得0002000eee22xxxabxxx，整理得：0200021e2xxxabx，设 221e02xxxg xxx，则 23222111ee22xxxxxxxgxxx，所以 010gxx ，01gxx，故 g x在,1 上单调递减，在1,0上单调递增，从而 11eg xg，所以01eabg x，当12ea，32eb 时取等号，综上所述，ab的最小值为1e（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
42、一题计分一题计分22.直角坐标系 xOy 中，点0,1P，动圆 C：22sin3sin11()xy R.（1）求动圆圆心 C 的轨迹；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 M 的极坐标方程为：22222cossin，过点 P 的直线 l 与曲线 M 交于 A，B 两点，且47PAPB，求直线 l 的斜率.【答案】（1）圆心 C 的轨迹为线段；（2）33.【解析】【分析】（1）设圆心,C x y，根据sin3sin1xy即可得圆心 C 的轨迹；（2）将曲线 M 的极坐标方程化为直角坐标方程，设直线l的倾斜角为，得直线l的参数方程为cos1sinxtyt（t为参数），代入曲
43、线 M 的直角坐标方程，设12,PAtPBt，可得1247PAPBtt，根据韦达定理可求sin的值，结合0即可求解.【小问 1 详解】设圆心,C x y，因为sin3sin1xy，所以31,11yxx.所以圆心 C 的轨迹方程为3111yxx，即圆心 C 的轨迹为线段.【小问 2 详解】因为22222cossin，所以22222cos2sin，因为cossinxy，所以2222xy，即曲线M的直角坐标方程为2222xy.设直线l的倾斜角为，由点P在直线l上，得直线l的参数方程为cos1sinxtyt（t为参数），代入曲线M的方程得：2222cossin2 sin10tt，设12,PAtPBt，
44、由于点P在曲线M的内部，所以12222sin42cossin7PAPBtt，化简得：22sin7 sin40，解得1sin2.由于0，所以1sin2，3或23，所以3tan3，即直线l的斜率为33.23.已知函数 2322f xxx，()sin2g xx（1）求函数()()f xg x的最小值；（2）设,(1,1)a b，求证：211 222abab 【答案】（1）4（2）证明见解析【解析】【分析】（1）写出()f x分段函数形式，分析()f x、()g x的性质及最值，即可确定最小值；（2）利用分析法，将问题化为证明|1abab，进一步转化为证22()11(0)ab即可.【小问 1 详解】由
45、题设 341,235,1241,1xxf xxxx，而()sin2g xx在3(,2、3(,12、(1,)上均能取到最小值1，对于()f x在3(,2 上递减，3(,12上为常数，(1,)上递增，且连续，所以()()f xg x的最小值在3(,12上取得，即4x 时，最小值为4.【小问 2 详解】由211221 122|ababab ，仅当(21)(1 2)0ab取等号，要证211 222abab ，即证|1abab，则22()(1)abab，需证22222()1(1)(1)0ababab，而,(1,1)a b，即22,0,1)a b，所以22()11(0)ab恒成立，故211 222abab 得证.