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1、树德中学高树德中学高 2021 级高三上期开学考试数学试题（理）级高三上期开学考试数学试题（理）时间：时间：120 分钟分钟满分：满分：150 分分一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的符合题目要求的1已知集合220Ax xx，21,04Baxxax R，则AB（）A1,2B2,1 C2,1D2,1 2复数 z 在复平面内对应的点为2,1，则2i1z（）A1i B1 iC1 iD1 i 3已知向量1,am，1,0b ，且6aba b ，则a（）A5B2
2、3C22D2 64部分与整体以某种相似方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图由波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3 个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，若记图三角形的面积为34，则第 n 个图中阴影部分的面积为（）图图图图A.3344nB.3334nC.3362nD.13392n5 已
3、知矩形 ABCD 中，2ABBC，现向矩形 ABCD 内随机投掷质点 P，则满足APB为锐角的概率是（）A44B4C1616D166 在如图所示的程序框图中，程序运行的结果 S 为 3840，那么判断框中可以填入的关于 k 的判断条件是（）A5k B5k C4k D4k 7在 2023 年成都大运会期间，组委会派遣甲、乙、丙、丁、戍五名志愿者参加 A，B，C 三个场馆的翻译工作，每人只去 1 个场馆，每个场馆至少去 1 人，且甲、乙两人约定去同一个场馆，则不同的派遣方案共有（）A24 种B36 种C48 种D64 种8已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MF MF 的点 M 总在椭圆内部
4、，则椭圆离心率的取值范围是（）A20,2B10,2C2,12D0,19112tan202cos10（）A.2B.32C.3D.210已知四面体 ABCD 满足3ABCD，5ADBC，2ACBD，且该四面体 ABCD 的外接球的球半径为1R，四面体的内切球的球半径为2R，则12RR的值是（）A11B2113C6D26311已知函数 2cos 26sincos2cos14fxaxxxx的图象关于直线38x 对称若对任意10,2x，存在20,x，使2221212mxxf x成立，则 m 的取值范围是（）A1m B12m C14m D18m 12已知函数 ln xf xx，exxg x 之间的关系非常
5、密切，号称函数中的双子座，以下说法正确的个数为（）函数 g x在0 x 处的切线与函数 f x在1x 处的切线平行；方程 f xg x有两个实数根；若直线ya与函数 g x交于点11,A x y，22,B x y，与函数 f x交于点22,B x y，33,C x y，则2132x xx若 0f mg n，则 mn 的最小值为1eA1B2C3D4二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分答案填在答题卷相应横线上分答案填在答题卷相应横线上13设 x，y 满足约束条件002yxyxy，则2zxy的最大值为_14已知函数 f x的定义域为0,，
6、则函数2234f xyxx的定义域是_15已知抛物线2:20C ypx p的焦点为 F，直线:260lxy与抛物线 C 交于 A，B 两点，M 是线段 AB 的中点，过 M 作 y 轴的垂线交抛物线 C 于点 N，若0NA NB ，则点 F 的坐标为_16已知面积为2 33的锐角ABC其内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且212tantansinABA，则边 c 的最小值为_三三、解答题解答题：共共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题题为必考题，每每个试题考生都必须作答；第个试题考生都必须作答；第 22、23
7、 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题，共（一）必考题，共 60 分分17 某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示（1）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数；（2）统计今年以来元月5 月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：月份元月2 月3 月4 月5 月销售量（万辆）0.50.61.01.41.7预测该品牌汽车在今年 6
8、月份的销售量约为多少万辆？附：对于一组样本数据11,x y，22,x y，,nnx y，其回归直线ybxa的斜率和截距的最小二乘估计值分别为1221niiiniix ynxybxnx，aybx18如图，梯形 ABCD 中，4AD，E 为 AD 中点，且CEAD，1CEBC，将DEC沿 CE 翻折到PEC，使得3PEA连接 PA，PB（1）求证：BEPC；（2）Q 为线段 PA 上一点，若AQAP，若二面角 Q-BC-A 的平面角的余弦值为22时，求实数的值19已知数列 na中，11a，213a 且数列12nnnaa是公差为 1 的等差数列（1）求 na的通项公式；（2）设_，nS为数列 nb的
9、前 n 项和，若对任意nN，总有1nS恒成立，求实数的取值范围从下面三个条件中任选一个补充在题中横线处，并解答问题22nnabn；11nnnbna a；2214nnnab注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分20已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为22e，且经过点1,eP 为椭圆 C 在第一象限内部分上的一点（1）若,0A a，0,Bb，求ABP面积的最大值；（2）是否存在点 P，使得过点 P 作圆22:11Mxy的两条切线，分别交 y 轴与 D，E 两点，且143DE 若存在，点求出 P 的坐标；若不存在，说明理由21已知 2xf xeax，fx是 f x的导函数，其中a
10、R（1）讨论函数 fx的单调性；（2）设 211xg xf xx eax，yg x与 x 轴负半轴的交点为点 P，yg x在点 P 处的切线方程为 yh x求证：对于任意的实数 x，都有 g xh x；若关于 x 的方程 0g xt t有两个实数根1x，2x，且12xx，证明：211 211texxe（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22直角坐标系 xOy 中，点0,1P，动圆22:sin3sin11CxyaR（1）求动圆圆心 C 的轨迹；（2）以坐标原点
11、为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 M 的极坐标方程为：22222cossin，过点 P 的直线 l 与曲线 M 交于 A，B 两点，且47PAPB，求直线 l 的斜率23已知函数 2322f xxx，sin2g xx（1）求函数 f xg x的最小值；（2）设a，1,1b，求证：211 222abab 树德中学高树德中学高 2021 级高三上期开学考试数学试题参考答案（理）级高三上期开学考试数学试题参考答案（理）一、选择题：1-5 DACBA6-10 CBABA11-12 CC二、填空题：134；142,1；1512,019F；16217解：（1）因为直方图的组距为 1，则各组数据
12、的频率即为相应小矩形的高，所以平均数的估计值为1.5 0.1 2.5 0.3 3.5 0.34.5 0.155.5 0.1 6.5 0.053.5x 万元（2）记1,2,3,4,5ixi i，10.5y，20.6y，31.0y，41.4y，51.7y，由散点图可知，5 组样本数据呈线性相关关系因为3x，1.04y，10.5 1.235.68.518.8niiix y，21149 162555niix，则18.85 3 1.040.32555 9b ，1.040.32 30.08a ，所以回归直线方程是0.320.08yx当6x 时，0.32 60.082y ，预计该品牌汽车在今天 6 月份的销
13、售量约为 2 万辆18证明：因为CEAD所以CEAECEPE又PEAEE，PE，AE 平面 PAE所以CE 平面 PAECE 平面 ABCE所以平面ABCE 平面 PAE在梯形 ABCD 中，DE=2，所以 AE=2所以在四棱锥 P-ABCE 中，PE=AE=2因为3PEA所以PAE为正三角形取 AE 中点 O连接 PO，OB，OC易得POAE，OBAE由面面垂直的性质可得PO 平面 ABCE又1BCCEOE，CEAE，CEBC，所以四边形 OBCE 为正方形，所以BEOC又OCPOOOC、PO 平面 POC，所以BE 平面 POC又PC 平面 POC，所以BEPC（2）解，由（1）知 OA、
14、OB、OP 两两垂直以 O 为坐标原点以 OA，OB，OP 所在直线建立如图所示的坐标系，则：1,0,0A，0,1,0B，1,1,0C，0,0,3P，由AQtAP 得1,0,301Q则1,1,3BQ，1,0,0BC 设平面 QBC 的法向量,mx y z，故000m BQxm BC ，3y，1z，即0,3,1m易知平面 ABC 的一个法向量为0,0,1n 所以212cos,231m nm nm n 解得33或33（舍）所以3319（1）由11a，213a 可知2131aa 由题设条件可知12111nnnanna ，所以12nnanan，当2n时，111nnanan，12112112321211
15、1431nnnnnaaannnaaaaannnn n 当1n 时，11a 满足21nan n，故 na的通项公式为21nan n（2）选择，由（1）可知24112212112nnabnn nnn nnn，所以11111121 22 32 33 4112nSn nnn11221121212nnnn，所以1 12 选择，由（1）可知14111212112nnnbna an nnn nnn，所以11111121 22 32 33 4112nSn nnn11221121212nnnn 所以1 12 选择，由（1）可知22222212111411nnnanbnnnn，所以2222222111111111
16、122311nSnnn 所以1 12 20（1）由题知222222,2,111,2caabcab解得22a，21b，故椭圆 C 的方程为2212xy所以点2,0A，0,13BAB，:2220ABlxy设点2cos,sinP，则22sin12212cos2sin24666d所以2211223226ABPS（2）设点00,P x y000,0 xy，0,Dm，0,En，则直线 PD 的方程为00ymyxmx，即0000ym xx ymx，因为圆心1,0M 到直线 PD 的距离为 1，即0022001ymx mymx，即222220000002ymxymx m ymx m，即2000220 xmy
17、mx，同理2000220 xny nx由此可知，m，n 为方程2000220 xxy xx的两个实根，所以0022ymnx，002xmnx 22220000022000444484222yxxyxMNmnmnmnxxx因为点00,P x y在椭圆 C 上，则220012xy，则220012xy ，则200202841432xxMNx，则200450 xx，因为00 x，则01x，22001122xy ，即022y，故存在点21,2P满足题设条件21解：（1）2e2fxax，令 e2xg xax，则 e2xgxa当0a 时，0gx，函数 fx在R上单调递增；当0a 时，0gx，得ln2xa，0g
18、x，得ln2xa所以函数 fx在,ln2a上单调递减，在ln2,a 上单调递增（2）证明：由（1）可知 11xg xxe，令 0g x，有1x 或0 x，故曲线 yg x与 x 轴负半轴的唯一交点 P 为1,0曲线在点1,0P 处的切线方程为 yh x，则 11h xgx，令 F xg xh x，则 11F xg xgx，所以 112xFxgxgexe，10F 当1x 时，若,2x ，0Fx，若2,1x，30 xFxex，Fx在2,1x 时单调递增，10FxF故 0Fx，F x在,1 上单调递减，当1x 时，由 30 xFxex知 Fx在1,x 时单调递增，10FxF，F x在1,上单调递增所
19、以 10F xF，即 f xh x成立证明：111h xxe，设 h xt的根为1x，则111texe ，又 h t单调递减，且 111mh xg xh x，所以11xx，设曲线 yg x在点0,0处的切线方程为 yt x，有 t xx，令 11xT xg xt xxex，22xTxxe，当2x 时，2220 xTXxe ，当2x 时，30 xTxxe，故函数 Tx在2,上单调递增，又 00T，所以当,0 x 时，0Tx，当0,x时，0Tx，所以函数 T x在区间,0上单调递减，在区间0,上单调递增，所以 00T xT，即 g xt x，设 t xt的根为2x，则2xt，又函数 t x单调递增
20、，故222tt xf xt x，故22xx又11xx，所以21211 21111tetexxxxtee 22（1）设圆心,C x y，因为sin3sin1xy，所以31yx，11x 所以圆心 C 的轨迹方程为3111yxx，即圆心 C 的轨迹为线段（2）因为22222cossin，所以22222cossin2，因为cossinxy，所以2222xy，即曲线 M 的直角坐标方程为2222xy设直线 l 的倾斜角为，由点 P 在直线 l 上，得直线 l 的参数方程为cos1sinxtyt（t 为参数），代入曲线 M 的方程得：2222cossin2 sin10tt，设1PAt，2PBt，由于点 P
21、 在曲线 M 的内部，所以12222sin42cossin7PAPBtt，化简得：22sin7 sin40，解得1sin2由于0，所以1sin2，3或23，所以3tan3，即直线 l 的斜率为3323【详解】（1）由题设 341,235,1241,1xxf xxxx，而 sin2g xx在3,2、3,12、1,上均能取得最小值-1，对于 f x在3,2 上递减，3,12上为常数，1,上递增，且连续，所以的最小值在3,12上取得，即4x 时，最小值为 4（2）由211 221 1 22ababab ，仅当21 1 20ab取等号，要证211 222abab ，即证1abab，则221abab，需证222221110ababab，而 a，1,1b，即2a，20,1b，所以22110ab恒成立，故211 222abab 得证