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1、2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前，认真阅读答题纸上的 注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若命题二：从 有2件 正 品 和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题二：在边长为4的正方形二二二二内任取一点二，则二二二二 9 0：的概率为二，则 下 列 命 题 是 真 命 题 的 是（）A.Z A L B
2、.（二）八 二 C.二八（1二）D.二2.函数 y =，4 Y 的定义域为 A,集合8 =M l o g2（x +l）l ，则 4口8=（）A.1x|l x 21 B.|x|-2 x 21 C.R 2 Vxe3 D.|x|l x O,0 O,O 0 z在区间一丁，二丁上的图象，为了得到这个函数的k 6 6 _图象，只需将y =s i n x（xeR）的图象上的所有的点（）A.向左平移g个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的纵坐标不变B.向左平移?个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变兀1C.向左平移6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的5,纵坐标不变D.向左平移2
3、个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变64.设等比数列 ,的前项和为S“，贝!0是 即 匕 则下列说法中正确的是（）2 2A.斗是假命题 B.是真命题C.v（一 夕）是真命题 D.p/（1 y PC.y /3 aB.a-(3 yD.a /3=y12.如图，正四面体PA BC的体积为V ,底面积为S,。是高P”的中点，过。的平面。与棱P A、P B、P C分别交于。、E、F,设三棱锥P-D所 的 体 积 为 ,截面三角形。所 的 面 积 为S,则（）A.S 4 S0 B.V 8 V ,S K 4s o D.V 8 1/,S N 4s o二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共
4、20分。13.已知等比数列 4 的各项均为正数，4+%=4,%+。3-。2-4 =1，则 的值为.14.下图是一个算法的流程图，则输出的x的值为.15.如图，在菱形A 5co中，AB=3,Z B A D =60 ,E,尸分别为B C,C 上的点，CE=2EB,CF=2FD,若线段E F上存在一点M,使得AA/=x A与+?AZj （xeR）,贝 1 x =,AM，BD=.（本题第1 空 2 分,第 2 空 3 分）16.直线/是圆G：。+1）2+尸=1与圆。2：（x +4）2 +V=4 的公切线，并且/分别与x轴正半轴，3 轴正半轴相交于 A,B两 点,则 A A O B 的面积为三、解答题：
5、共 7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（12 分）设数列 4 的前项和 S“满足2S“=%+，neN+,a2=2,（1）证明：数列%是等差数列，并求其通项公式；,1（2）设a=/=/=,求证：=4+仇 1-卜b”2.2 1.(1 2分)已 知 函 数/(力=竺 土”(.()的导函数y =r(x)的两个零点为一 3和0.ex(1)求/(X)的单调区间；(2)若“X)的极小值为，求X)在区间-5,+)上的最大值.x =2 +2cosa2 2.(1 0分)在平面直角坐标系x O y中，曲线G的参数方程为。,(。为参数).以平面直角坐标系的原y=2sina点。为极点，X轴的非负半
6、轴为极轴建立极坐标系，直线G的极坐标方程为0 s in e =B.(1)求曲线G的极坐标方程；(2)设G和 交 点 的 交 点 为A,5,求A A O 8的面积.参考答案一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】因为从有2 件 正 品 和 2 件次品的产品中任选2 件 得 到 都 是 正 品 的 概 率 为 二 即 命 题 二 是 错 误,则-二是正确的；在 边 长 为 4 的正方形二二二二内任取一点二，若二二二二 90：的概率为二；=-=三，即命题二是正确的，故由符合命题的真假的判定规则可得答案（-二）A二是正确的，
7、应选答案B。点睛：本题将古典型概率公式、几何型概率公式与命题的真假（含或、且、非等连接词）的命题构成的复合命题的真假的判定有机地整合在一起，旨在考查命题真假的判定及古典概型的特征与计算公式的运用、几何概型的特征与计算公式的运用等知识与方法的综合运用，以及分析问题解决问题的能力。2.A【解析】根据函数定义域得集合A,解对数不等式得到集合8,然后直接利用交集运算求解.【详解】解：由函数y =j 4 /得4一/20,解得 2 xW2,即4 =川-2%l=lo g22,解得x l,即 B=x|x l,则 A nB =|x|lx 2|.故选：A.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是
8、基础题.3.A【解析】由函数的最大值求出A,根据周期求出，由五点画法中的点坐标求出。，进而求出丁=41 1（血+。）的解析式，与y =s in x（xeR）对比结合坐标变换关系，即可求出结论.【详解】由图可知 A=l,T =i,.co=29JI JI又-CD+(p=2k7T(k G z),:.(p=2kjl+(Z z),6 3X 0 ,:.（p=9 y=sin 2x+J,.为了得到这个函数的图象，只需将y=sin x（x e R）的图象上的所有向左平移1个长度单位，得到y=sin（x+?）的图象，再将y=sin（x+g 的图象上各点的横坐标变为原来的;（纵坐标不变）即可.故选:A【点睛】本题考
9、查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题.4.C【解析】根据等比数列的前项和公式，判断出正确选项.【详解】12021|_ 2021由于数列 4 是等比数列，所以$2021=4 一 舌 一，由 于 一 厂 0,所以4 （）o S202l 0,故“4 0”是“S2021 0”的充分必要条件.故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前项和公式，属于基础题.5.D【解析】举例判断命题0与4的真假，再由复合命题的真假判断得答案.【详解】当玉）1时，唾 /f(0)=1 0,即 V xeR,e*x,故 4 命题为真命题；p 是假命题故选D【点睛】本题考查复合命题的真
10、假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题.6.A【解析】由复数的除法求出z,然后计算【详解】1 3-z 3 1 .z-=-1 ,3+z (3+z)(3-O 10 10.-3 1 ,3 1 3.1,I、，1Z Z=(-7)(-1-Z)=()+()-=.10 10 10 10 10 10 10故选：A.【点睛】本题考查复数的乘除法运算，考查共扼复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键.7.A【解析】3600 1 36()。设圆的半径为r，每 个 等 腰 三 角 形 的 顶 角 为 一，则每个等腰三角形的面积为-r2 sin-，由割圆术可得圆的面积为n2 n4 2 =
11、._L2 sin 幽，整理可得sin=二，当凡=180时即可为所求.2 n n n【详解】由割圆术可知当n变得很大时，这 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，360设圆的半径为r，每个等腰三角形的顶角为,nI 360。所以每个等腰三角形的面积为-r sin，2 nb-renm mAL 2 1 2 -3 6 0 0 口 口 .3 6 0 0 2万所以圆的面积为万r=n-r sin-，即sin-=,2 n n n所以当=180 时河得 s i n =sin2=3=2,180 180 90故选:A【点睛】本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.8.B【解析】根据线段垂直平分线的性质，结合
12、三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可.【详解】因为线段6 M的垂直平分线与直线F2M相交于点P,如下图所示：所以有。6=抽=。鸟一用鸟，而O,N是中点，连接O N,故M鸟=2ON=4,因此P g P4=4（4巴耳）当N在如下图所示位置时有，所以有6二尸加二2 6+他，而O,N是中点，连接ON,故 M F =2 O N =4,因此 耳P名=4（4工耳），综上所述：有归百一尸周=4（4鸟耳），所以点P的轨迹是双曲线.故选：B【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想.9.A【解析】设E为8 0中点，连接AE、C E,过A作AOJ.CE于点。，连
13、接。，得到NA。即为直线AO与平面8。所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到NC4E即为直线AC与平面A3。所成角，进而求得其正弦值，得到结果.【详解】设E为8。中点，连接AE、CE,由题可知A_LBD,C E L B D,所以3O_L平面AEC,过A作AOLCE于 点。，连接。，则AO_L平面30C,所以Z A D O即为直线A D与平面B C D所成角的平面角，所以sinNAO=Y=2 2,可得 AO=3夜，2 A D在AAOE中可得0E=3,又O CB D =3,即点。与点C重合，此时有A C,平面BCD,2过C作CE_LA与点凡又BD_L平面A E C,所以所以6,平面45
14、),从而角Z C A E即为直线AC与平面A B D所成角，sinZCAE=-4=,AE 373 3故选：A.【点睛】该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目.10.B【解析】由于直线的斜率k=3,所 以 一 条 渐 近 线 的 斜 率 为 即2=1,所以e=Jl+(2)2=亚,选B.3 a 3 V a 311.B【解析】利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【详解】如图，D G=CG G&=4G，设。为A G的中点，】为G骂的中点,由图可知过A Bt且与BG平行的平面a为平面A B R
15、,所以直线/即为直线A D,由题易知，NQCB的补角，/A C分别为e,仇y,设三棱柱的棱长为2,在ARAB中，D、B =2底 A B =2,A D=275,/n4R(2 6+4-(2 月2 石 石.cos AD,A B =-=，.coscr=，2x2x275 10 10在 AOBC 中，3 =布，B C =2,0=亚,(向+4-(而不 加cos Z O.CB=-=-cos=?2x2x75 10 10在 AjAC 中，C R=4,A C =2,A D=275,cos N D】A C =斗=立,；.cosa=旦,1 275 5 5cos a cos p y.故选：B【点睛】本题主要考查了空间中两
16、直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.12.A【解析】设AB=2,取EF与BC重合时的情况，计算出S。以 及%的 值，利用排除法可得出正确选项.【详解】如图所示，利用排除法，取EE与8 c重合时的情况.不妨设AB=2,延长到N,使得PN/AM.PD 1;PO=OH，：.PN=MH,；AH=2MH,AM 3MH 3PN,则一=一，AD 3由余弦定理得 BO?=AB2+AD2-2A8ADCOS =22+（3）-2 x 2 x-x l=,3 2 2 4/Q a aDM=yjBD2-BM2=-,Sn=-x 2 x-=-,2 2 2 2又 S=B 义 *=：；=4
17、=26 1,4 3，3当平面DEF 平面ABC时，5=4S0,.-.S1,AD 3 0 4 V当平面DEF 平面ABC时，8%=V,:用匕之丫，排除C选项.故选：A.【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.V2-1【解析】运用等比数列的通项公式，即可解得4.【详解】。6+。5 =4%(1 +4)=4，二 Va4+a3-a2-a=1 I t z3(1 +)-a,(1 +(7)=14 44 X1-4 X=1,.4 =4(%-4),.力-0+4 =
18、0 ,/.(2-2)2=0 ,q2=2 9:.q=l,q =4,/.*+ad =4,/.(V 2 +l)q =1，=V 2-1.故答案为：V2-1.【点睛】本题考查等比数列的通项公式及应用，考查计算能力，属于基础题.14.1【解析】利用流程图，逐次进行运算，直到退出循环，得到输出值.【详解】第一次：x=4,j=ll,第二次：x=5,y=32,第三次：x=l,y=1 4,此 时 1410 xl+3,输出x,故输出x 的值为1.故答案为：6.【点睛】本题主要考查程序框图的识别，“还原现场”是求解这类问题的良方，侧重考查逻辑推理的核心素养.1 315.-2 2【解析】根据题意，设 而=4 瓯，则_
19、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 _ _ 7/1 _ _._ _,2 4 _ _,1 _ _ _ _,，_ _,AM A B +B E+E M =A B +-A D +A E F=A B +-A D+(A D-A B)=(1)A B +(-+)A D=xA ti+-A D,所以3 3 3 3 3 3 6f,2 2 1i-=x x=-；二 二，解得:,所 以A A/=：A分+?而,从 而 有1 +2 =2 2 =-2 61 3 3 6 4 =(-+-A D)(A n-A B)=-A B A D-A B2+-A D2=-X3
20、 X 3 x c o s 6 0-x 9 +-x 9 =-.2 6 3 2 6 3 2 6 21AV2i b.-2【解析】根据题意画出图形，设。4=a,OB=，利用三角形相似求得a,8的值，代入三角形的面积公式，即可求解.【详解】如图所示，设。4=a,OB=8,由A4BG与AAOC,相似，可 得 L=L 解得a=2,a+4 2再由A4O8与A4EC,相似，可得2 =叵 亘,解得b=也,1 3 2由三角形的面积公式，可得M O B的面积为S=-a b =-x 2 =.2 2 2 2故答案为：也.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及三角形相似的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理
21、与运算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见解析，an=n.(2)证明见解析【解析】(1)由2S“=%+，25.+|=(+1)。“+作差得到(-1)。,+_ 叫,+1=0,进一步得到r”+2 一(,+1)。,向+1=，再 作 差 即 可 得 到 用+凡=2 a z，从而使问题得到解决；b，L Y 斗_上,求和即可.【详解】(1)2S =na +n,2 Sn+l=(n +l)a+l+n +l,两式相减：(l)a”+i 叫,+1 =0 用+1 换,得a”+2 一(+1)q+|+1 =0 一，得nan+1-2nan+x+nan=0,即an+
22、l+an=2 a,出，所以数列/是等差数列，又2 S|=q +l,A a,=1,%=2,公差d =1,所以勺=.4 77+%疯-J-+1 +5+1)西_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _+1 +fn)_ J-+1 -y/n _ 1 11n(n+1)/n J n+T,八 八 ,1 1 1 1 1 1.1.74+仿+.+1 一 正+正 一 国+.+五 一 E=77 T 1 5 3,所以选择方案二更为划算.【点睛】本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.1 9.(I )a=2n,bn=n.(D)1【解析】(I )易得 4为等
23、比数列，再利用前“项和与通项的关系求解 a的通项公式即可.(n)由题可知要求T2的最小值,再分析T2I I-r2n_2的正负即可得T2I I随 的增大而增大再判定可知k=1即可.【详解】(I )因为4用=2 a“(e N*),故 4是以q =2为首项,2为公比的等比数列，故4 =2.又当=1时，伪=%一1,解得打=2.当九N 2时,b】Tb 2 T4 +T b,I=勿+1 -12 3 n4+打 +:4 +=力-12 3 n-有 廉=%也,即 组7 =4,（之2）.当=1时4=1也满足.故4为常数列,n +1 n 1 I n I=勿=11a=l么一九以所故4 =2 也=(D)因为对 N*,N T
24、2k恒成立.故只需求T2n的最小值即可.设 7；=。，则 T2I I-T2n_2=c2n_,+c2,(n e ),1 _ _ 1 _ _ _ _ _ _ _ _1_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 11 1又+=处Z =(2“1)(2 +1)一 声=不，又当”=1时14 n2-l-.04 n2-l 4 1 5 1 61-3-1-邛0,=2 时4当 2 3 时，因为 4=(+C：+C；+.+G)2 (C +C,+C )-23=8 l +“+(；T)=4/+4 +8 4/一1.综上可知c2 f l_,+c2 0 .故T2I I随着N的增大而增大，故J N(，故 =1【点睛】本题主要考查了根据数
25、列的递推公式求解通项公式的方法,同时也考查了根据数列的增减性判断最值的问题，需要根据题意求解T2的通项，并根据二项式定理分析其正负，从而得到最小项.属于难题.2 0.(1)当时，“X)在(0,1)上递增，在(L”)上递减；当;“1时，/(x)在(0,止j上递增，在上递减，在(1,例)上递增；(2)证明见解析【解析】(D对/(x)求导，分|1,。=1进行讨论，可得“X)的单调性；(2)/(x)在定义域内是是增函数，由 可知。=1,/(x)=l nx +1 x2-2 x,设用 ，可得/(4)+/(9)=-3 =2 1),则0 占 1 2.【详解】解：/(x)的定义域为(),+力),因为/(x)=l
26、 nx +X2-l a x,g、i 、1 /、(2a-i x2-2ax+-所 以/x)=+(2a _ l)x _ 2a =-=-，X X X当 应 时，令 因黄得令 战 1;当，。1,令2 2。一 1f(x 0 1V 7，得O v x v l,或-x 0 2a-1令/(x)0 1r v 7,得i v%0 2a-1当a=i时，r(x)o,1 /(x)1 时，则O -1,令厂 7,得-X 0 2。-1综上所述，当时，/(x)在(0,1)上递增，在(1,内)上递减；当;a 1时，“X)在上递增，在(五二1 1)上递减，在。,依)上递增;(2)/(x)在定义域内是是增函数，由(1)可知。=1,此时/(
27、x)=Inx +g x?-2 x,设玉 ，又因为 J(x j +/(/)=-3 =2/(1),则0c xi 1 0对于任意(0)成立,所以g(x)在(0,1)上是增函数，所以对于V x e(O,l),有g(x)g(l)=2/+3 =0,即V x e(O,l),有/(2x)+/(x)+3 0,因为0 石 1,所以。(2)+/(石)+3 2 f ),又/(X)在(0,+纥)递增，所以尤2 2一 凡,即 用+2.【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的单调性及导数在极值点偏移中的应用，考查学生分类讨论与转化的思想，综合性大，属于难题.21.(1)单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-8,-
28、3)和(0,+纪)；(2)最大值是5 e.【解析】(1)求得尸(x)=+(22/3b二,由题意可知一 3和()是函数g(x)=-o?+(2a 3x+b c的两个零点，根据函数y =g(x)的符号变化可得出y =/(x)的符号变化，进而可得出函数 =/(力的单调递增区间和递减区间；/(-3)=e3(2)由(1)中的结论知，函数y =x)的极小值为/(3),进而得出卜(0)=0,解出。、b、c的值，然后g(-3)=0利用导数可求得函数y =/(x)在区间-5,内)上的最大值.【详解】(20,所以y =/(x)的零点就是g(x)=T u 2+(2a )x +人c的零点，且/(x)与g(x)符号相同.
29、又因为a0,所以当一3 x 0,即/(x)0；当x0时，g(x)0,即/(x)5 =/(0),所以函数y =/(x)在区间-5,+功上的最大值是Se，.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间与最值，考查计算能力，属于中等题.22.(1)Q=4COS。；(2)【解析】(1)先将曲线G的参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程即可.(2)将G和G的极坐标方程联立，求得两个曲线交点的极坐标，即可由极坐标的含义求得A 4 O 8的面积.【详解】x =2+2cosa(i)曲线G的参数方程为.(。为参数),y=2stna消去参数的G的直角坐标方程为Y -4工+V=o.所以G的极坐标方程为O =4 c os，(2)解方程组p -4 c os。psinO=V 3得 至!14 s inc os。=V 3 .所以 s in 29=-,27T TT则夕=左乃+或夕=女%+（ke Z）.6 3当 e=%r+色（Z e Z）时，p =2 06jr当9=k兀+飞（左w Z）时，p =2.所以G和G的交点极坐标为：A 2y/3,k7i+,B 2,k7T+所以 S BC=；|0川.OBsinZAOB=6.故MOB的面积为g .【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，直角坐标方程与极坐标的转化，利用极坐标求三角形面积，属于中档题.