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1、 教 案教学基本信息课题立体几何初步单元复习（第一课时）学科数学学段：高中 年级高一教材书名： 数学必修二（A版）出版社：人教社 出版日期：2019 年 6 月教学设计参与人员姓名单位设计者叶勇北京市顺义区杨镇第一中学实施者叶勇北京市顺义区杨镇第一中学指导者李淑敬、赵贺北京市顺义区教育研究和教师研修中心课件制作者叶勇北京市顺义区杨镇第一中学其他参与者教学目标及教学重点、难点通过构建立体几何初步全章知识体系，了解全章知识结构，知道柱、锥、台表面与展开图的关系及表面积的计算方法；能记住柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式，并能用这些公式计算一些简单几何体的表面积和体积，解决简单的实际问题；根据空
2、间角的概念，能将空间问题转化为平面问题，会求简单空间图形中两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的大小.发展学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等数学素养.教学过程中设计了四道例题.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入前面我们学习了第八章立体几何初步全章内容，立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小 与位置关系的数学分支，立体图形是立体几何的研究对 象直观感知、操作确认、推理论证、度量计算是我们 认识和探索空间图形、研究它们性质的重要手段，空间图形问题经常转化为平面图形问题，这是解决空间图形问题的重要思想方法本节课进行立体几何初步单元复习第一课时.帮助学生站在全章数学知
3、识的整体高度认识问题、思考问题、解决问题.新课一、立体几何初步全章知识体系构建通过全章的知识结构图从对空间几何体的整体观察入手，通过认识棱柱、棱锥、棱台这些多面体以及圆柱、圆锥、圆台、球这些旋转体等基本立体图形的组成元素及其相互关系，认识了这些图形的几何结构特征，学习了它们在平面上的直观图表示以及它们的表面积和体积的计算然后以组成立体图形的基本元素-点、直线、平面为对象，在研究平面基本性质的基础上，以长方体为载体，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系（直线与直线、直线与平面、平面与平面），重点研究直线、平面的平行和垂直关系对空间角的认识和计算体现了由空间向平面转化的方法.空间的角包括异面直线
4、所成的角，范围是；直线与平面所成的角，范围是 ；二面角，范围是.二、知识梳理（一）基本立体图形包括多面体和旋转体1、多面体的几何结构特征由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，常见的特殊多面体有棱柱、棱锥、棱台. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱；有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥；用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台.它们均可以按底面边数分类.2、旋转体的几何结构特征一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫
5、做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体. 常见的特殊的旋转体有圆柱、圆锥、圆台、球.分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体分别叫做圆柱、圆锥；用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台；半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球. （二）、多面体和旋转体的表面积与体积1、多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和2、给出棱柱、棱锥、棱台的体积公式3、圆柱、圆锥、圆台的表面积都是底面积与侧面积的和.其中侧面积要注意三种图形的侧面展开图，圆柱的侧面展开图是矩形，圆
6、锥的侧面展开图是扇形，圆台的侧面展开图是扇环，同时圆台的上下两个底面不同，给出这三种旋转体的表面积公式和体积公式.4、旋转体中球的表面积S4R2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍球的体积VR3.（三）空间中的角1、异面直线所成的角：通过平移变为平面上两条相交直线的夹角，其范围是0 90.2、直线和平面所成的角：主要是定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，加上直线与平面垂直、直线与平面平行或在平面内，其范围是0 90.3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，其中这条直线叫做二面角的棱，过棱l上任一点O在两个面里各作与棱垂直的直线OA、OB，则AOB是二面角l的平面角.通常用
7、二面角的平面角的大小来度量二面角的大小.二面角的平面角的范围是0180.三、题型探究：类型1：空间几何体的表面积与体积例题1 如图所示的三棱锥OABC为长方体的一角其中OA，OB，OC两两垂直，三个侧面OAB，OAC，OBC的面积分别为1.5cm2，1cm2，3cm2，求三棱锥OABC的体积例题2 17世纪日本数学家们对于数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式“”中的常数k称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中D为直径.类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式，其中，在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中
8、，D表示棱长假设运用此“会玉术”求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为，那么，()A B C D总结解题策略：几何体表面积与体积的的计算是现实生活中经常遇到的问题，特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用特别注意旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用，求较复杂几何体的体积常用割补法、等积法求解.类型2：空间角的计算问题例题3 如图，正方体的棱长为1，BCBCO，求：(1)直线AO与AC所成的角的度数；(2)直线AO与平面ABCD所成的角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成的角
9、的度数总结三类不同空间角的一般求法和求解步骤：求空间各种角的大小一般都可以转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)，平移时经常利用某些特殊点（如中点）或特殊线（如中位线）来实现；(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)，当直线为平面的斜线时，它是斜线与斜线在平面内的射影所成的角，通常在斜线上取一特殊点向平面作垂线找到这个锐角，然后通过解直角三角形求出结果；(3) 求解二面角的平面角的步骤：一找(根据定义寻找现成的二面角的平面角)，二作(若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角)，三求(有
10、了二面角的平面角后，在三角形中求出该角的度数或该角相应的某个三角函数值)例题4 如图在三棱锥SABC中，SASBACBC2，AB2，SC1.(1)画出二面角SABC的平面角，并求它的度数；(2)求三棱锥SABC的体积引导学生通过全章知识体系构建站在更高的角度认识立体几何图形及相关的知识间联系.系统梳理多面体的几何结构特征，了解这些图形的分类及其特殊性，认识它们的区别和联系（穿插用图形呈现）.类似地，系统梳理多面体的几何结构特征，了解这些图形的分类及其特殊性，认识它们的区别和联系（穿插用图形呈现）.从度量角度认识空间几何体，就需要结合基本立体图形的结构特征了解空间几何体的表面积和体积公式，能够使
11、用公式计算简单几何体以及它们的组合体的表面积和体积 通过对空间中的角的认识和计算体现由简单到复杂、由易到难的一般研究思路，同时也体现由空间向平面的转化思想.二面角的大小由它的平面角的大小来度量，定量地反映了两个平面相交的位置关系，显然 这里体现了“平面化”的思想，同时也保证了用 二面角的平面角的大小来度量二面角的大小是存 在并且唯一的 通过本例考查三棱锥的表面积和体积公式的运用，同时能指导学生熟练运用换底法解决与三棱锥的体积有关的问题.通过该问题的探讨，进一步指导学生运用球、圆柱、正方体等不同几何体的体积公式解决实际问题的能力.使学生明确解题后的及时总结会更好地提升逻辑推理、数学运算、空间想象
12、等能力.通过本例的探究使学生认识到在遇到具体的空间角的确定和计算时，要紧扣每类空间角的定义，想办法转化为平面角，提升转化能力.使学生明确解题后的及时总结会更深刻地理解空间角的概念，提升逻辑推理、数学运算、空间想象等能力.通过本例探究，使学生进一步掌握求解立体几何初步中体积的计算、空间角的确定及计算，提升分析问题、解决问题的能力.总结五、课堂小结回顾本节课所学内容1. 梳理立体几何初步全章内容，了解全章知识体系构建及知识结构；2. 柱、锥、台、球的表面积和体积的计算；3. 理解三类空间角的概念，会进行简单的角的计算.4.基本思想方法：空间问题转化为平面问题5. 学习立体几何的途径是：直观感知（识图）操作确认（画图）思辨论证（证图）度量计算（算图）.回顾本节课知识，并建立知识的结构.作业1.填空题：（1）正方体的棱长扩大到原来的倍，则其表面积扩大到原来的 倍，体积扩大到原来的 倍；（2）球的半径扩大到原来的倍，则其表面积扩大到原来的 倍，体积扩大到原来的 倍.2.如图，在三棱锥中，.（1）求证：平面平面；（2）若，是的中点，求与平面所成角的正切值.课后作业，加深对知识的理解和掌握.