《1.3 空间向量及其运算的坐标表示-(选择性必修第一册) (教师版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1.3 空间向量及其运算的坐标表示-(选择性必修第一册) (教师版).docx（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 空间向量及其运算的坐标表示 1 空间直角坐标系 (1) 空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底i,j, k，以点O为原点，分别以i,j, k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i,j, k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oxz平面，Oyz平面，它们把空间分成八个部分.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.(2) 空间直角坐标系中的坐标在空间直角坐标系
2、Ox y z中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x , y , z) ，使 OA=xi+y j+z k , 有序实数组(x , y , z)叫作向量A在空间直角坐标系中的坐标，记作 A(x , y , z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标.2 空间向量的直角坐标运算律 若a=(a1 , a2 , a3) , b=(b1 , b2 , b3)，则a+b=a1+b1 , a2+b2 , a3+b3 , ab=a1b1 , a2b2 , a3b3a=(a1 , a2 , a3) (R)a b=a1 b1+a2 b2+a3 b3 , a |b a1=b1 , a2=b2 , a3=b3( R
3、)ab a b=0a1 b1+a2 b2+a3 b3=0， 若Ax1 , y1 , z1 , Bx2 , y2 , z2 ，则 AB=(x2x1 , y2y1 , z2z1). 模长公式若a=(a1 , a2 , a3)，则|a|=a a=a12+a22+a32， 夹角公式cos=a bab=a1 b1+a2 b2+a3 b3a12+a22+a32 b12+b22+b32ABC中 ， AB AC0 A为锐角， AB AC0 A为钝角. 两点间的距离公式:若A(x1 , y1 , z1) , B(x2 , y2 , z2)则|AB|=AB2=x2x12+y2y12+z2z12或dAB=x2x12
4、+y2y12+z2z12. 【题型一】空间向量坐标运算【典题1】 已知：a=(x,4,1)，b=(2,y,1)，c=(3,2,z)，a/b，bc，求：(1)a,b,c；(2)a+c与b+c所成角的余弦值【解析】 (1)a/b，x2=4y=11，解得x=2,y=4，故a=(2,4,1),b=(2,4,1)，又因为bc，所以bc=0，即6+8z=0，解得z=2，故c=&3,2,2；(2)由(1)可得a+c=(5,2,3),b+c=(1,6,1)，设向量a+c与b+c所成的角为，则cos=512+33838=219【典题2】已知空间四点A(2,1,1)、B(1,2,3)、C(0,2,1)、D(1,0
5、,)在同一平面内，则实数= 【解析】空间四点A(2,1,1)、B(1,2,3)、C(0,2,1)、D(1,0,)在同一平面内，AD=mAB+nAC，即(1,1,1)=m(1,3,2)+n(2,3,0)=(m2n,3m+3n,2m)，m2n=13m+3n=12m=1，解得m=13，n=23，=13巩固练习1() 空间点A(x，y，z)，O(0，0，0)，B(2，3，2)，若|AO|=1，则|AB|的最小值为 。 【答案】 2【解析】空间点A(x，y，z)，O(0，0，0)，B(2，3，2)，|AO|=1，A是以O为球心，1为半径的球上的点，B(2，3，2)，|OB|=(2)2+(3)2+22=3
6、|AB|的最小值为：|OB|OA|=31=22()已知向量a=(2,1,3),b=(4,2,t)的夹角为钝角，则实数t的取值范围为 。【答案】 (,6)6,103【解析】向量a=(2,1,3),b=(4,2,t)的夹角为钝角，&ab=82+3t0&t6，解得tI2D对任意的点P，有I2I3 【答案】 C 【解析】如图所示建立如图所示的空间直角坐标系，以B1A1为x轴，B1C1为y轴，B1B为z轴，B1为坐标原点，由题意则B(0,0,2)，A(4,0,2)，D(4,3,2)，C1(0,3,0)，设P(x,y,z)，所以AB=(4,0,0)，AP=(x4,y,z2)，AD=(0,3,0)，AC1=
7、(4,3,2)，B1P=(x,y,z)，因为满足B1P=1，所以x2+y2+z2=1，x1,1，y1,1，z1,1，I1=ABAP=4(x4)，I2=ADAP=3y I3=AC1AP=4(x4)+3y2(z2)，I1I2=4(x4)3y=164x3y0恒成立，故C正确，A不正确；I1I3=3y+2(z2)=43y+2z0恒成立，所以B不正确，I2I3=4(x4)+2(z2)=12+4x+2z0恒成立，所以D不正确；故选：C5() 如图，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDC=60设DP=DB，则的值为 【答案】 21 【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为z轴，建立
8、空间直角坐标系，设正方体ABCDABCD的棱长为1，点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，且PDA=60，DP=DB，(01)，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，D(0,0,1)，B(1,1,0)，P(,1)，DP=(,1)，DC=(0,1,0)，cosDC,DP=DCDP|DC|DP|=12+2+(1)2=cos60=12，由01，解得=21故选：C6()三棱锥OABC中，OA，OB，OC两两垂直且相等，点P，Q分别是线段BC和OA上移动，且满足BP12BC，AQ12AO，则PQ和OB所成角余弦值的取值范围是 【答案】 66 , 255【解析】如图所示，不妨取OA=2则B(0,2,
9、0)，C(0,0,2)设P(0，y，z)，BP=BC，(012)则(0,y2,z)=(0,2,2)=(0,2,2)，y2=2z=2解得y=22，z=2P(0,22,2)设Q(m,0,0)，(12m1)，则PQ=(m,22,2)，又OB=(0,2,0)，cosPQ,OB=PQOB|PQ|OB|=1m2+(1)2+2当点P取B(0,1,0)时，取Q(12,0,0)时，m=12，=0，则cosPQ,OB=1(12)2+1=255取Q(1,0,0)时，m=1，=0，cosPQ,OB=22当点P取B(0,12,12)时，取Q(12,0,0)时，m=12，=12，则cosPQ,OB=12(12)2+(12)22=33取Q(1,0,0)时，m=1，=12，cosPQ,OB=1212+(12)22=66综上可得：PQ和OB所成角余弦值的取值范围是66,255