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1、 空间向量及其运算1空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母a、b 、c表示，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.PS(1) 空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示；(2) 向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为|a|或|AB|；(3) 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；(4) 向量具有平移不变性.(5) 在空间，零向量、单位向量、相等向量、反向量与在平面的对应向量一样.2 运算 (1) 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图). OA=OB+OC=a+b，
2、 CB=OBOC=ab， OP=a (R) (2) 运算律 加法交换律:a+b=b +a ； 加法结合律:(a+b)+c =a+(b +c )； 数乘分配律:(a+b)= a+b ；运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则.PS 平行六面体法则:在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC1=AB+AD+AA1.3 共线向量 (1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a平行于b ，记作a/b .(2) 共线向量定理：空间任意两个向量a ，b (b0 ) ， a/ b 存在实数，使a= b .(3) 三点共线：A、B、C三点共线
3、AB= AC OC=xOA+yOB(其中 x+y=1)(4) 与a共线的单位向量为aa.4 共面向量 (1) 定义一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的.(2) 共面向量定理如果两个向量a , b 不共线，p与向量a , b 共面的充要条件是存在唯一实数对(x , y)，使p=xa+yb .(3) 四点共面方法1 若要证明A、B、C、P四点共面，只需要证明AP=x AB+y AC方法2 若要证明A、B、C、P四点共面，只需要证明 OP=x OA+y OB+z OC (其中x+y+z=1) 证明 若x+y+z=1，则OP=x OA+y OB+z OC=x
4、OA+y OB+1xyOC =OC+xOAOC+yOBOC=OC+xCA+yCB，OPOC=xCA+yCB，CP=xCA+yCB，即CP,CA,CB共面，即A、B、C、P四点共面. 【题型一】空间向量的线性运算【典题1】如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若AB=a，AD=b ，AA1=c，则CM=()A12a+12b+cB12a12b+cC12a+12b+cD12a12b+c【解析】(与平面向量的方法类似，用“首尾相接法”把CM向a , b , c靠拢)CM=CB+BM=b+BA+AM=ba+AA1+A1M=ba+c+12AC =ba+c+12b+
5、a =12a12b+c；故选：D【点拨】 空间向量运算符合三角形法则、平行四边形法则，类似平面向量； 本题解法很多，比较灵活，而本题解题思路是“首尾相接法”：以a , b , c为基底，在对CM“首尾相接”的时候，尽量向三个基底靠拢(利用a , b , c或其共线向量表示)，做到最后的式子只含三个基底向量； 类似题目需要大胆下笔推算，也可利用一些常见结论：(1) 在三角形ABC中，点D是BC的中点，则AD=12AB+12AC.(2) 平行六面体法则:在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC1=AB+AD+AA1.【典题2】已知在空间四边形ABCD中，G是BCD的重心，E,F,H分别为边CD
6、,AD和BC的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量(1)AG+13BE+12CA；(2)12(AB+ACAD)；(3)13(AB+AC+AD)【解析】(1)AG+13BE+12CA=AB+BG+13BE+12CA=AB+23BE+13BE+12CA=AB+BE+12CA=AE+12CA =12AC+12AD+12CA=12AD=AF，(2)12(AB+ACAD)=AH12AD=AHAF=FH；(3)13(AB+AC+AD)=132AH+13AD=23AH+12AD，在三角形ADH中，DG=2GH，则AGAD=2(AHAG)，即有AG=13(2AH+AD)，则有13(AB+AC+AD)=
7、AG巩固练习 1() 在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF=2FD，E为BC中点，则EF等于 .(用AB，AC，AD表示) 【答案】 12AC12AB+23AD【解析】在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF=2FD，E为BC中点，所以EF=AFAE=23AD12AB+12AC=12AC12AB+23AD2() 在空间四边形ABCD中，连结AC，BD若BCD是正三角形，且E为其中心，则AB+12BC32DEAD的化简结果为_【答案】 0【解析】如图，延长DE交BC于点F，根据题意知F为BC的中点又因为E为正三角形BCD的中心，所以DE=23DF，即DF=32DE，所以AB+12BC32DE
8、AD=(ABAD)+BF32DE=DB+BFDF=DFDF=03() 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，M是D1D的中点，点N是AC1上的点，且AN=13AC1，用a , b, c表示向量MN的结果是 . 【答案】 13a23b16c 【解析】M是D1D的中点，AN=13AC1MN=MD+DA+AN=12DDD1AD+13AC1=12AA1AD+13AA1+AD+AB =13AB23AD16AA1=13a23b16c4() 在三棱锥ABCD中，P为BCD内一点，若SPBC=1,SPCD=2,SPBD=3，则AP= . (用AB，AC，AD表示)
9、【答案】13AB+12AC+16AD【解析】三棱锥ABCD中，P为BCD内一点，如图所示：延长PB至B1，使得PB1=2PB，延长PC至C1，使得PC1=3PC，连接DB1,B1C1,C1D，因为SPBC=1,SPCD=2,SPBD=3，所以SPB1C1=SPC1D=SPB1D，所以P为B1C1D的重心，所以PD+PB1+PC1=0，即PD+2PB+3PC=0，所以(ADAP)+2(ABAP)+3(ACAP)=0，所以AP=13AB+12AC+16AD【题型二】空间向量共线共面问题【典题1】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E=2ED1，F在对角线A1C上，且A1
10、F=23FC，求证：E,F,B三点共线【解析】设AB=a,AD=b,AA1=cEB=EA1+A1A+AB=23DAAA1+AB=ac23b，A1E=2ED1,A1F=23FC，A1E=23A1D1,A1F=25A1C，A1E=23AD=23b，A1F=25ACAA1=25AB+ADAA1=25a+25b25c，EF=A1FA1E=25a415b25c=25a23bc，又由(1)知EB=a23bc，EF=25EB，且有公共点E，所以E,F,B三点共线【典题2】 已知A,B,M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A,B,M是否共面(1)OB+OM=3OPOA；(2
11、)OP=4OAOBOM【解析】(1)A,B,M三点不共线，故A,B,M三点共面，又对于平面ABM外的任意一点O，若OB+OM=3OPOA，则，13+13+13=1，故点P与A,B,M共面，(2)A,B,M三点不共线，故A,B,M三点共面，又对于平面ABM外任意一点，若OP=4OAOBOM，则411=21，故点P与A,B,M不共面【典题3】 如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，P点是四边形ABCD所在平面外一点，连接PA、PB、PC、PD，设点E,F,G,H分别为PAB、PBC、PCD、PDA的重心试用向量法证明E,F,G,H四点共面【解析】 分别延长PE,PF,PG、PH，交对边于M,N
12、,Q,R点，因为E,F,G,H分别是所在三角形的重心，所以M,N,Q,R为所在边的中点，顺次连接M,N,Q,R得到的四边形为平行四边形，且有PE=23PM,PF=23PN,PG=23PQ,PH=23PR；如图所示，MQ=MN+MR=PNPM+PRPM =32(PFPE)+32(PHPE)=32(EF+EH)；又MQ=PQPM=32PG32PE=32EG，32EG=32(EF+EH)，EG=EF+EH由共面向量定理知：E,F,G,H四点共面 巩固练习1() 已知向量a，b且AB=a+2b,BC=5a+6b,CD=7a2b，则一定共线的三点为()AA，B，D BA，B，C CB，C，D DA，C，
13、D【答案】A【解析】因为BD=BC+CD=5a+6b+7a2b=2a+4b=2AB，所以AB与BD共线，即A，B，D三点共线2() 在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是()AOM=OAOBOCBOM=15OA+13OB+12OCCMA+MB+MC=0DOM+OA+OB+OC=0 【答案】C 【解析】在C中，由MA+MB+MC=0，得MA=MBMC，则MA,MB,MC为共面向量，即M、A、B、C四点共面；对于A，由OM=OAOBOC，得111=11，不能得出M、A、B、C四点共面；对于B，由OM=15OA+13OB+12OC，得15+13+121，所以M、A、B、C四点不共面；对于D，由O
14、M+OA+OB+OC=0，得OM=(OA+OB+OC)，其系数和不为1，所以M、A、B、C四点不共面故选：C3() (多选题)在以下命题中，不正确的命题有( )A若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B若a/b，则存在唯一的实数，使a=bC对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C，若OP=2OA+2OB3OC，则P,A,B,C四点共面D若两个非零空间向量AB,CD，满足AB+CD=0，则AB/CD【答案】 AB【解析】 当b=0，满足a与b共线，b与c共线，而a与c不一定共线，故A错误；当a与b均为零向量时，能够保证a/b，则存在无数多的实数，使得a=b，故错误；OP=2OA+2OB3OC，即
15、OPOA=(OAOC)+2(OBOC)，AP=CA+2CB，由平面向量基本定理可得P,A,B,C四四点共面，故C正确；非零空间向量AB,CD满足AB+CD=0，AB=CD，AB/CD，故D正确故选：AB4() 已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，P,M为空间任意两点，如果有PM=PB1+7BA+6AA14A1D1，那么点M必在平面 内.【答案】 BA1D1【解析】因为PM=PB1+7BA+6AA14A1D1=PB1+BA+6BA14A1D1=PB1+B1A1+6BA14A1D1=PA1+6PA1PB4PD1PA1 =11PA16PB4PD1，所以M,B,A1,D1四点共面，即点M必在平面B
16、A1D1内5() 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1，BC，BA上，且满足BE=34BB1，BF=12BC，BG=12BA，O是平面B1GF，平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点，设BO=xBG+yBF+zBE，则x+y+z= .【答案】 65【解析】如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，BE=34BB,BF=12BC,BG=12BA，BO=xBG+yBF+zBE=12xBA+12yBC+zBE=xBG+yBF+34zBB1，O，A，C，E四点共面，O，D，E，B1四点共面，12x+12y+z=1x+y+34z=1，解得x+y=25，z=45；x+
17、y+z=656() 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M,N分别是C1D1,AB的中点，E在AA1上且AE=2EA1，F在CC1上且CF=12FC1，判断ME与NF是否共线？【答案】共线【解析】由已知可得：ME=MD1+D1A1+A1E=12BA+CB+13A1A=NB+CB+13C1C=CN+FC=FN=NF所以ME=NF，故ME与NF共线7() 已知e1,e2为两个不共线的非零向量，且AB=e1+e2，AC=2e1+8e2，AD=3e13e2，求证：A,B,C,D四点共面【证明】设AC=xAB+yAD，则2e1+8e2=xe1+e2+y3e13e2，(2x3y)e1+(8x+3
18、y)e2=0，又e1,e2为两个不共线的非零向量，&2x3y=0&8x+3y=0，&x=5&y=1，AC=5ABAD，A,B,C,D四点共面，故原命题得证8() 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，NAC，且AN:NC=2，求证：A1,B,N,M四点共面【证明】设AA1=a,AB=b,AD=c，则A1B=ba，M为DD1的中点，A1M=c12a，又AN:NC=2，AN=23AC=23(b+c)，A1N=ANAA1=23(b+c)a=23(ba)+23c12a=23A1B+23A1M，A1N,A1B,A1M为共面向量，又三向量有相同的起点A1，A1,B,N,M四点共面
19、9() 已知e1,e2,e3是不共面的向量，且OP=2e1e2+3e3，OA=e1+2e2e3，OB=3e1+e2+2e3，OC=e1+e2e3. (1)判断P,A,B,C四点是否共面；(2)能否OA,OBOC用表示OP？并说明理由.【答案】 (1) 不共面 (2) OP=17OA5OB30OC【解析】(1)假设P,A,B,C四点共面，则存在实数x,y,z，使得OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1，即2e1e2+3e3=xe1+2e2e3+y3e1+e2+2e3+ze1+e2e3比较对应的系数，得到&x3y+z=2&2x+y+z=1&x+2yz=3，解得&x=17&y=5&z=30，
20、这与x+y+z=1矛盾，故P,A,B,C四点不共面；(2)若OA,OBOC共面，则存在m,n，使得OA=mOB+nOC，同(1)可证，OA,OBOC不共面，即OP是向量OA,OB与OC的线性组合，令OA=a,OB=b,OC=c，由&e1+2e2e3=a&3e1+e2+2e3=b&e1+e2e3=c，得&e1=3ab5c&e2=ac&e3=4ab7c，所以OP=2e1e2+3e3=23ab5cac+34ab7c=17a5b30c=17OA5OB30OC.10() 已知O,A,B,C,D,F,F,G,H为空间9个点(如图)，并且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=AD+mAB，求证：(1)A,B,C,D四点共面；(2)AC/EG；(3)OG=kOC【证明】(1)AC=AD+mAB，由共面向量基本定理得AC,AD,AB是共面向量，AC,AD,AB有公共点A，A,B,C,D四点共面(2)EG=EH+mEF=OHOE+m(OFOE)=k(ADOA)+km(OBOA)=kAD+kmAB=k(AD+mAB)=kAC，AC/EG(3)由(1)知OG=EGEO=kACkAO=k(ACAO)=kOC，OG=kOC