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1、第5章三角函数【章头语】现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律,这种变化规律称为周期性.例如:地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化,月亮圆缺,潮汐变化,物体做匀速圆周运动时的位置变化,物体做简谐运动时的位移变化,交变电流变化等.这些现象都可以用三角函数刻画.前面我们学习了函数的一般概念,并研究了指数函数、对数函数等,知道了函数的研究内容、过程和方法,以及如何用某类函数刻画相应现实问题的变化规律.本章我们将利用这些经验,学习刻画周期性变化规律的三角函数.三角函数是怎样的函数?它具有哪些特性?如何利用三角函数模型刻画各种周期性变化现象?本章我们就来研究这些问题.5.
2、1任意角和弧度制图5.1-1【节引言】圆周运动是一种常见的周期性变化现象.如图5.1-1,O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转.如何刻画点P的位置变化呢?我们知道,角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.在图5.1-1中,射线的端点是圆心O,它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP,形成一个角,射线OA,OP分别是角的始边和终边.当角确定时,终边OP的位置就确定了.这时,射线OP与O的交点P也就确定了.由此想到,可以借助角的大小变化刻画点P的位置变化.由初中知识可知,射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置,在这个过程中可以得到0360范围内的角.如果继续旋转,那么所得到
3、的角就超出这个范围了.所以,为了借助角的大小变化刻画圆周运动,需要先扩大角的范围.5.1.1任意角现实生活中随处可见超出0360范围的角.例如,体操中有“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称,这里不仅有超出0360范围的角,而且旋转的方向也不相同;又如,图5.1-2是两个齿轮旋转的示意图,被动轮随着主动轮的旋转而旋转,而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向.这样,OA绕点O旋转所成的角与OB绕点O旋转所成的角就会有不同的方向.因此,要准确地描述这些现象,不仅要知道旋转的度数,还要知道旋转的方向,这就需要对角的概念进行推广.我们规定,一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正
4、角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转,就称它形成了一个零角.这样,零角的始边与终边重合.如果是零角,那么=0.图5.1-2为了简单起见,在不引起混淆的前提下,“角”或“”可以简记成.图5.1-3(1)中的角是一个正角,它等于750;图5.1-3(2)中,正角=210,负角=150,=660.正常情况下,如果以零时为起始位置,那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是负角.(1)(2)图5.1-3这样,我们就把角的概念推广到了任意角(anyangle),包括正角、负角和零角.设角由射线OA绕端点O旋转而成,角由射线OA绕端点O旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相
5、等,那么就称=.设,是任意两个角.我们规定,把角的终边旋转角,这时终边所对应的角是+.类似于实数a的相反数是a,我们引人任意角的相反角的概念.如图5.1-4,我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为.于是,像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样,我们有=+().这样,角的减法可以转化为角的加法.(1)(2)图5.1-4图5.1-5我们通常在直角坐标系内讨论角.为了方便,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.例如,图5.1-5中的30角、120角分别是第一你能说说在直角坐标
6、系内讨论角的好处吗?象限角和第三象限角.如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.【探究】将角按照上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系内任意一条射线OB(图5.1-6),以它为终边的角是否唯一?如果不唯一,那么终边相同的角有什么关系?图5.1-6不难发现,在图5.1-6中,如果32角的终边是OB,那么328,392,角的终边都是OB,并且与32角终边相同的这些角都可以表示成32的角与k个(kZ)周角的和,如328=32+360(这里k=392=32360(这里k=),设S=32+k360,kZ,则328,392角都是S的元素
7、,32角也是S的元素(此时k=).因此,所有与32角终边相同的角,连同32角在内,都是集合S的元素;反过来,集合S的任一元素显然与32角的终边相同.一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S=+k360,kZ,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.在直角坐标系中,角的终边绕原点旋转360后回到原来的位置.因此,在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律.例1在0360范围内,找出与95012角终边相同的角,并判定它是第几象限角.解：95012=129483360,所以在0360范围内,与95012角终边相同的角是12948,它是第二象
8、限角.例2写出终边在y轴上的角的集合.解:在0360范围内,终边在y轴上的角有两个,即90,270角(图5.1-7).因此,所有与90角终边相同的角构成集合S1=90+k360,kZ,图5.1-7而所有与270角终边相同的角构成集合S2=270+k360,kZ,于是,终边在y轴上的角的集合S=S1S2=90+2k180,kZ=90+180+2k180,kZ=90+2k180,kZ=90+(2k+1)180,kZ=90+n180,nZ.例3写出终边在直线y=x上的角的集合S.S中满足不等式360720的元素有哪些?解:如图5.1-8,在直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴的夹角是45,在
9、0360范围内,终边在直线y=x上的角有两个:45,225.因此,终边在直线y=x上的角的集合S=45+k360,kZ=225+k360,kZ=45+n180,nZ.图5.1-8S中适合不等式360720的元素有452180=315,451180=135,45+0180=45,45+1180=225,45+2180=405,45+3180=585.【练习】1.(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.2.(口答)今天是星期三,那么7k(kZ天后的那一天是星期几?7k(kZ天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?3.已知角的顶点与直角坐标系的
10、原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,作出下列各角,并指出它们是第几象限角:(1)420;(2)75;(3)855;(4)510.4.在0360范围内,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是第几象限角:(1)5418;(2)3958;(3)119030.5.写出与下列各角终边相同的角的集合,并找出集合中适合不等式720360的元素:(1)130318;(2)225.5.1.2弧度制度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制,度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢?能否像度量长度那样,用十进制的实数来度量角的大小呢?我们知道,角可以
11、用度为单位进行度量,1度的角等于周角的1360.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制一一弧度制.如图5.1-9,射线OA绕端点O旋转到OB形成角.在旋转过程中,射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧,这条圆弧对应于圆心角.设=n,OP=r,点P所形成的圆弧PP的长为l.由初中所学知识可知l=nr180,图5.1-9于是lr=n180.【探究】如图5.1-10,在射线OA上任取一点Q(不同于点O),OQ=r1.在旋转过程中,点Q所形成的圆弧QQ1的长为l1.l1与r1的比值是多少?你能得出什么结论?图5.1-10可以发
12、现,圆心角所对的弧长与半径的比值,只与的大小有关.也就是说,这个比值随的确定而唯一确定.这就启发我们,可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角.我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角,弧度单位用符号rad表示,读作弧度.我们把半径为1的圆叫做单位圆.如图5.1-11,在单位圆O中,AB的长等于1,AOB就是1弧度的角.根据上述规定,在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对图5.1-11的圆心角为rad,那么|=lr.其中,的正负由角的终边的旋转方向决定,即逆时针旋转为正,顺时针旋转为负.当角的终边旋转一周后继续旋转,就可以得到弧度数大于2或小于2的角.这样就可以得到弧
13、度为任意大小的角.一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.【探究】角度制、弧度制都是角的度量制,它们之间应该可以换算.如何换算呢?用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但量数相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角,单位不同,量数也不同.因为周角的弧度数是2,而在角度制下的度数是360,所以360=2rad,180=rad,1=180rad0.01745rad.反过来有1rad=18057.30=5718.一般地,只需根据就可以进行弧度与角度的换算了.例4按照下列要求,把6730化成弧度:(1)精确值;(2)精确到0.001的近似值.解：(1)因为673
14、0=1352,所以6730=1352180rad=38rad.公元6世纪,印度人在制作正弦表时,曾用同一单位度量半径和圆周,孕育着最早的弧度制概念.欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年,在他的一部划时代著作无穷小分析概论中,提出把圆的半径作为弧长的度量单位,使一个圆周角等于2弧度,1弧度等于周角的12.这一思想将线段与弧的度量统一起来,大大简化了三角公式及计算.(2)利用计算器有因此,67301.178rad.例5将3.14rad换算成角度(用度数表示,精确到0.001).解：利用计算器有2e179.9087477因此,3.14rad179.909.今后用弧度制表示角时,“弧度”二字或
15、“rad”通常略去不写,而只写该角所对应的弧度数.例如,角=2就表示是2rad的角;sin3就表示3rad的角的正弦,即sin3=sin60=32.填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表:度03045120135150360弧度3232角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应(图5.1-12).图5.1-12例6利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l=R;(2)S=12R2(3)S=12lR.其中R是圆的半径,(02)为圆心角,l是
16、扇形的弧长,S是扇形的面积.证明:由公式|=lr可得l=R下面证明(2)(3).半径为R,圆心角为n的扇形的弧长公式和面积公式分别是l=nR180,S=nR2360将n转换为弧度,得=n180,于是,S=12R2.将l=R代入上式,即得S=12lR显然,弧度制下的弧长公式和扇形面积公式形式简单了.在今后的学习中,我们还将进一步看到弧度制带来的便利.【练习】1.把下列角度化成弧度:(1)2230;(2)210;(3)1200.2.把下列弧度化成角度:(1)12;(2)43;(3)310.3.用弧度表示:(1)终边在x轴上的角的集合;(2)终边在y轴上的角的集合.4.利用计算工具比较下列各对值的大
17、小:(1)cos0.75和cos0.75;(2)tan1.2和tan1.2.5.分别用角度制、弧度制下的弧长公式,计算半径为1m的圆中,60的圆心角所对的弧的长度(可用计算工具).6.已知半径为120mm的圆上,有一条弧的长是144mm,求该弧所对的圆心角(正角)的弧度数.习题5.1【复习巩固】1.在0360范围内,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是哪个象限的角:(1)265;(2)1000;(3)84310;(4)3900.2.写出与下列各角终边相同的角的集合,并找出集合中适合不等式360360的元素:(1)60;(2)75;(3)82430;(4)475;(5)90;(6)270;(
18、7)180;(8)0.3.分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合.4.一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角等于1弧度吗?为什么?5.把下列角度化成弧度:(1)36;(2)150;(3)1095;(4)1440.6.把下列弧度化成角度(第(3)(4)题精确到0.01:(1)76;(2)103;(3)1.4;(4)23.【综合运用】7.选择题(1)已知是锐角,那么2是(.(A)第一象限角(B)第二象限角(C)小于180的正角(D)第一或第二象限角(2)已知是第一象限角,那么2是().(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第一或第二象限角(D)第一或第三象限角8.要在半径OA=100cm
19、的圆形金属板上截取一块扇形板,使其弧AB的长为112cm,那么圆心角AOB是多少度(可用计算工具,精确到1)?9.已知弧长50cm的弧所对圆心角为200,求这条弧所在的圆的半径(可用计算工具,精确到1cm.【拓广探索】10.每人准备一把扇形的扇子,然后与本小组其他同学的对比,从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子,并用计算工具算出它的面积S1.(1)假设这把扇子是从一个圆面中剪下的,而剩余部分的面积为S2,求S1与S2的比值;(2)要使S1与S2的比值为0.618,则扇子的圆心角应为几度(精确到1)?11.(1)时间经过4h(时),时针、分针各转了多少度?各等于多少弧度?(2)有人说,钟的
20、时针和分针一天内会重合24次.你认为这种说法是否正确?请说明理由.(提示:从午夜零时算起,假设分针走了tmin会与时针重合,一天内分针和时针会重合n次,建立t关于n的函数解析式,并画出其图象,然后求出每次重合的时间.)12.已知相互啮合的两个齿轮,大轮有48齿,小轮有20齿.(1)当大轮转动一周时,求小轮转动的角度;(2)如果大轮的转速为180r/min(转/分),小轮的半径为10.5cm,那么小轮周上一点每1s转过的弧长是多少?5.2三角函数的概念图5.2-1【节引言】在弧度制下,我们已经将角的范围扩展到全体实数.下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题.不失一般性,先研究单位圆上点的运动.
21、现在的任务是:如图5.2-1,单位圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转,建立一个数学模型,刻画点P的位置变化情况.5.2.1三角函数的概念根据研究函数的经验,我们利用直角坐标系来研究上述问题.如图5.2-2,以单位圆的圆心O为原点,以射线OA为x轴的非负半轴,建立直角坐标系,点A的坐标为(1,0),点P的坐标为(x,y).射线OA从x轴的非负半轴开始,绕点O按逆时针方向旋转角,终止位置为OP.图5.2-2【探究】当=6时,点P的坐标是什么?当=2或23时,点P的坐标又是什么?它们是唯一确定的吗?一般地,任意给定一个角,它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗?利用勾股定理可以发现,当=6
22、时,点P的坐标是32,12；当=2或23时,点P的坐标分别是(0,1)和12,32.它们都是唯一确定的.一般地,任意给定一个角R,它的终边OP与单位圆交点P的坐标,无论是横坐标x还是纵坐标y,都是唯一确定的.所以,点P的横坐标x、纵坐标y都是角的函数.下面给出这些函数的定义.设是一个任意角,R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).y=sin;(2)把点P的横坐标x叫做的余弦函数(cosinefunction),记作cos,即x=cos;(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做的正切,记作tan,即yx=tan(x0).可以看出,当=2+k(kZ)时,的终边在y轴上,这时点P的横坐标x等
23、于0,所以yx=tan无意义.除此之外,对于确定的角,yx的值也是唯一确定的.所以,yx=tan(x0)也是以角为自变量,以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数,称为正切函数(tangentfunction).我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数(trigonometricfunction),通常将它们记为:正弦函数y=sinx,xR;余弦函数y=cosx,xR;正切函数y=tanx,x2+k(kZ).【探究】在初中我们学了锐角三角函数,知道它们都是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.设x0,2,把按锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为z1,并把按本节三角函数定义求得
24、的x的正弦记为y1.z1与y1相等吗?对于余弦、正切也有相同的结论吗?例1求53的正弦、余弦和正切值.解：在直角坐标系中,作AOB=53(图5.2-3).易知AOB的终边与单位圆的交点坐标为12,32.所以,sin53=32,图5.2-3cos53=12tan53=3例2如图5.2-4,设是一个任意角,它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y),点P与原点的距离为r.求证:sin=yr,cos=xr,tan=yx.分析:观察图5.2-5,由OMPOM0P0,根据三角函数的定义可以得到证明.证明：如图5.2-5,设角的终边与单位圆交于点P0x0,y0.分别过点P,P0作x轴的垂线P
25、M,P0M0,垂足分别为M,图5.2-4M0,则P0M0=y0,|PM|=|y|,OM0=x0,|OM|=|x|,OMPOM0P0于是P0M01=|PM|r,即y0=|y|r.图5.2-5因为y0与y同号,所以y0=yr,即sin=yr.同理可得cos=xr,tan=yx.根据勾股定理,r=x2+y2.由例2可知,只要知道角终边上任意一点P的坐标,就可以求得角的各个三角函数值,并且这些函数值不会随P点位置的改变而改变.【练习】1.利用三角函数定义,求0,2,32的三个三角函数值.2.利用三角函数定义,求76的三个三角函数值.2.已知角的终边过点P(12,5),求角的三角函数值.3.已知点P在半
26、径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动,角速度为1rad/s.求2s时点P所在的位置.学习了三角函数的定义,接下来研究它们的一些性质.【探究】根据任意角的三角函数定义,先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入表5.2-1,再将这三种函数的值在各象限的符号填入图5.2-6中的括号.表5.2-1三角函数定义域sincostansincostan图5.2-6例3求证:角为第三象限角的充要条件是sin0.证明：先证充分性,即如果(1)(2)式都成立,那么为第三象限角.因为(1)式sin0成立,所以角的终边可能位于第一或第三象限.因为(1)(2)式都成立,所以角的终边只能位于第三象限.于是角为第三
27、象限角.必要性请同学们自己证明.由三角函数的定义,可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此得到一组公式(公式一):sin(+k2)=sin,cos(+k2)=costan(+k2)=tan,其中kZ.由公式一可知,三角函数值有“周而复始”的变化规律,即角的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现.利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求02(或0360)角的三角函数值.例4确定下列三角函数值的符号,然后用计算工具验证:(1)cos250;(2)sin4(3)tan672;(4)tan3.解：(1)因为250是第三象限角,所以cos2500;(2)因为4是第四象限角,所以sin4
28、0(4)因为tan3=tan(+2)=tan,而的终边在x轴上,所以tan=0.请同学们自己完成用计算工具验证.例5求下列三角函数值:(1)sin148010(精确到0.001);(2)cos94(3)tan116.可以直接利用计算工具求三角函数的值.用计算工具求值时要注意设置角的适当的度量制.解:(1)sin148010=sin4010+4360=sin40100.645;(2)cos94=cos4+2=cos4=22;(3)tan116=tan62=tan6=33.1.填表:213643154sincostan2.(口答)设是三角形的一个内角,在sin,cos,tan,tan2中,哪些有可
29、能取负值?3.确定下列三角函数值的符号:(1)sin156;(2)cos165;(3)cos450;(4)tan178;(5)sin43;(6)tan556.4.对于(1)sin0,(2)sin0,(4)cos0与(6)tan0,选择恰当的关系式序号填空:(1)角为第一象限角的充要条件是(2)角为第二象限角的充要条件是(3)角为第三象限角的充要条件是(4)角为第四象限角的充要条件是5.求下列三角函数值(可用计算工具,第(1)题精确到0.0001):(1)cos1109;(2)tan193;(3)sin1050;(4)tan3145.2.2同角三角函数的基本关系【探究】公式一表明终边相同的角的同
30、一三角函数值相等,那么,终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢?因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的,所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系.由公式一可知,我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系.如图5.2-7,设点P(x,y)是角的终边与单位圆的交点.过P作x轴的垂线,交x轴于M,则OMP是直角三角形,而且OP=1.由勾股定理有OM2+MP2=1.因此,x2+y2=1,即sin2+cos2=1.显然,当的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立.根据三角函数的定义,当k+2(kZ)时,有sincos=tan.这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于
31、1,图5.2-7商等于角的正切.例6已知sin=35,求cos,tan的值.解：因为sin0,sin1,所以是第三或第四象限角.由sin2+cos2=1得cos2=1sin2=1352=1625.如果是第三象限角,那么cos0.于是cos=1625=45,从而tan=sincos=3554=34.如果是第四象限角,那么cos=45,tan=34.例7求证cosx1sinx=1+sinxcosx.证法1:由cosx0,知sinx1,所以1+sinx0,于是左边=cosx(1+sinx)(1sinx)(1+sinx)=cosx(1+sinx)1sin2x=cosx(1+sinx)cos2x=1+s
32、inxcosx=右边.今后,除特殊注明外,我们假定三角恒等式是在使两边都有意义的情况下的恒等式.所以,原式成立.证法2：因为(1sinx)(1+sinx)=1sin2x=cos2x=cosxcosx,且1sinx0,cosx0,所以cosx1sinx=1+sinxcosx.【练习】1.已知cos=45,且为第三象限角,求sin,tan的值.2.已知tan=3,求sin,cos的值.3.已知sin=0.35,求cos,tan的值(精确到0.01).4.化简:(1)costan;(2)2cos2112sin2;(3)1+tan2cos2.5.求证：sin4+sin2cos2+cos2=1.习题5.
33、2【复习巩固】1.用定义法、公式一求下列角的三个三角函数值(可用计算工具)：(1)173;(2)214;(3)236(4)1500.2.已知角的终边上有一点P的坐标是(3a,4a),其中a0,求sin,cos,tan的值.3.计算:(1)6sin90+3sin08sin270+12cos180;(2)10cos270+4sin0+9tan0+15cos360;(3)2cos2tan4+34tan26sin6+cos26+sin32;(4)sin23+cos432tan23.4.化简:(1)asin0+bcos90+ctan180;(2)p2cos180+q2sin902pqcos0;(3)a2
34、cos2b2sin32+abcosabsin2;(4)mtan0+ncos12psinqcos32rsin2.5.确定下列三角函数值的符号:(1)sin186;(2)tan505;(3)sin7.6;(4)tan234;(5)cos940(6)cos59176.(1)已知sin=32,且为第四象限角,求cos,tan的值;(2)已知cos=513,且为第二象限角,求sin,tan的值;(3)已知tan=34,求sin,cos的值;(4)已知cos=0.68,求sin,tan的值(精确到0.01).【综合运用】7.根据下列条件求函数f(x)=sinx+4+2sinx44cos2x+3cosx+3
35、4的值:(1)x=4;(2)x=34.8.确定下列式子的符号:(1)tan125sin273;(2)tan108cos305(3)sin54cos45tan116;(4)cos56tan116sin23.9.求下列三角函数值(可用计算工具,第(1)(3)(4)题精确到0.0001):(1)sin6712;(2)tan154;(3)cos39813;(4)tan76615.10.求证:(1)角为第二或第三象限角的充要条件是sintan0;(2)角为第三或第四象限角的充要条件是costan0;(4)角为第一或第三象限角的充要条件是sincos0.11.已知sinx=13,求cosx,tanx的值.
36、12.已知tan=3,32,求cossin的值.13.已知角的终边不在坐标轴上,(1)用cos表示sin,tan;(2)用sin表示cos,tan.14.求证:(1)12sinxcosxcos2xsin2x=1tanx1+tanx;(2)tan2sin2=tan2sin2;(3)(cos1)2+sin2=22cos;(4)sin4x+cos4x=12sin2xcos2x.15.已知tan=2,求sin+cossincos的值.【拓广探索】16.化简1+sin1sin1sin1+sin,其中为第二象限角.17.从本节的例7可以看出,cosx1sinx=1+sinxcosx就是sin2x+cos2
37、x=1的一个变形.你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗?18.(1)分别计算sin43cos43和sin23cos23的值,你有什么发现?(2)任取一个的值,分别计算sin4cos4,sin2cos2,你又有什么发现?(3)证明:xR,sin2xcos2x=sin4xcos4x.【阅读与思考】三角学与天文学三角学的起源、发展与天文学密不可分,它是天文观察结果推算的一种方法.在1450年以前的三角学主要是球面三角,这不但是因为航海、历法推算以及天文观测等人类实践活动的需要,而且也因为宇宙的奥秘对人类的巨大吸引力,这种“量天的学问”确实太诱人了.后来,由于间接测量、测绘工作的需要而出
38、现了平面三角.在欧洲,最早将三角学从天文学中独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯(J.Regiomontanus,1436-1476).他在1464年完成的5卷本的著作论各种三角形,是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作,这部著作首次对三角学做出了完整、独立的阐述.前2卷论述平面三角学,后3卷讨论球面三角学.前2卷中,他采用印度人的正弦,即弧的半弦,明确使用了正弦函数,讨论了一般三角形的正弦定理,提出了求三角形边长的代数解法;后3卷中,给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理.他的工作为三角学在平面与球面几何中的应用奠定了牢固基础,对16世纪的数学家产生了极大影响,也对哥白尼等一批天文学家产生
39、了很大影响.由于雷格蒙塔努斯仅仅采用正弦函数和余弦函数,而且函数值也限定在正数范围内,因而不能推出应有的三角公式,导致计算的困难.后来,哥白尼的学生雷提库斯(G.J.Rheticus,1514-1576)将传统的弧与弦的关系改进为角的三角函数关系,把三角函数定义为直角三角形的边长之比,从而使平面三角学从球面三角学中独立出来.他还采用了六个函数(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割),制定了更为精确的正弦、正切、正割表.这些工作都极大推进了三角学的发展.实际上,由于天文学研究的需要,制定更加精确的三角函数表一直是数学家奋斗的目标,这大大推动了三角学的发展.法国数学家韦达(F.Viete,1540-
40、1603)所做的平面三角与球面三角系统化工作,使得三角学得到进一步发展.他总结了前人的三角学研究成果,将解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起,还补充了自已发现的新公式,如正切公式、和差化积公式等.他将解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题.对球面直角三角形,他给出了计算的方法和一套完整的公式及其记忆法则,并将这套公式表示成了代数形式,这是非常重要的工作.16世纪,三角学从天文学中分离出来,成为数学的一个独立分支.后来,在微积分、物理学的研究和应用(如对振动、声音传播等的研究)中,三角学又找到了新的用武之地.5.3诱导公式【节引言】前面利用圆的几何性质,得到了同角三角函数之间的基本关系.
41、我们知道,圆的最重要的性质是对称性,而对称性(如奇偶性)也是函数的重要性质.由此想到,可以利用圆的对称性,研究三角函数的对称性.【探究1】如图5.3-1,在直角坐标系内,设任意角的终边与单位圆交于点P1.(1)作P1关于原点的对称点P2,以OP2为终边的角与角有什么关系?角,的三角函数值之间有什么关系?(2)如果作P1关于x轴(或y轴)的对称点P3(或P4),那么又可以得到什么结论?下面,借助单位圆的对称性进行探究.如图5.3-2,以OP2为终边的角都是与角+终边相同的角,即=2k+(+)(kZ).因此,只要探究角+与的三角函数值之间的关系即可.设P1x1,y1,P2x2,y2.因为P2是点P1关于原点的对称点,所以x2=x1,y2=y1.根据三角函数的定义,得sin=y1,cos=x1,tan=y1x1;sin(+)=y2,cos(+)=x2,tan(+)=y2x2.从而得图5.3-1图5.3-2sin(+)=sin,cos(+)=cos,tan(+)=tan.如图5.3-3,作P1关于x轴的对称点P3,则以OP3为终边的角为,并且有公式三sin()=sincos()=cos,tan(