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1、 第二章直线和圆的方程2.2直线的方程2.2.1直线的点斜式方程例1直线l经过点且倾斜角，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.解：直线l经过点，斜率，代入点斜式方程得.画图时，只需再找出直线l上的另一点，例如，取，则，得点的坐标为，过，两点的直线即为所求，如图.例2已知直线，试讨论：（1）的条件是什么？（2）的条件是什么？分析：回顾前面用斜率判断两条直线平行垂直的结论，可以发现或时，与，应满足的关系.解：（1）若，则，此时，与y轴的交点不同，即；反之，若，且，则.（2）若，则；反之，若，则.由例2我们得到，对于直线，且；.练习1. 写出下列直线的点斜式方程.（1）经过点，斜率是；（2）经过点，
2、倾斜角是；（3）经过点，倾斜角是；（4）经过点倾斜角是【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；【解析】【分析】根据直线的点斜式方程解题即可.【详解】（1）因为直线经过点，斜率是，所以直线的点斜式方程为；（2）因为直线经过点，倾斜角是，所以斜率为所以直线的点斜式方程为；（3）经过点，倾斜角是，所以斜率为所以直线的点斜式方程为；（4）经过点，倾斜角是，所以斜率为所以直线的点斜式方程为；2. （1）已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是_，倾斜角是_；（2）已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是_，倾斜角是_.【答案】 . . # . . 【解析】【分析】（1）根据直线的点斜式方程可得出直线
3、的斜率以及倾斜角；（2）根据直线的点斜式方程可得出直线的斜率以及倾斜角.【详解】（1）已知直线的点斜式方程是，则该直线的斜率为，倾斜角为；（2）已知直线的点斜式方程是，则该直线的斜率为，倾斜角为.故答案为：（1）；（2）；.3. 写出下列直线的斜截式方程.（1）斜率是，在y轴上的截距是；（2）斜率是，在y轴上的截距是4【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】由直线的斜截式方程求解即可.【详解】(1) 因为直线斜率是，在y轴上的截距是，所以直线的斜截式方程为；（2）因为直线斜率是，在y轴上的截距是4，所以直线的斜截式方程为；4. 判断下列各对直线是否平行或垂直.（1），； （2），【答案】（1）
4、，（2）【解析】【分析】根据两直线（斜率都存在）平行则斜率相等且纵截距不相等，两直线（斜率都存在）垂直则斜率互为负倒数，判断即可；【详解】解：（1）因为，；所以，因为且，所以；（2）因为，所以，因为，所以.2.2.2直线的两点式方程例3如图，已知直线l与x轴的交点为，与y轴的交点为，其中，.求直线l的方程.解：将两点，坐标代入两点式，得，即.例4已知的三个顶点，求边所在直线的方程，以及这条边上的中线所在直线的方程.解：如图，过，的两点式方程为，整理得.这就是边所在直线的方程.边上的中线是顶点A与边中点M所连线段，由中点坐标公式，可得点M的坐标为，即.过，两点的直线方程为，整理可得.这就是边上中
5、线所在直线的方程.练习5. 求经过下列两点的直线的两点式方程.（1），； （2），【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】根据直线的两点式方程求解即可.【详解】因为直线的两点式方程为：，因为，所以直线的两点式方程：；因为，所以直线的两点式方程：；6. 根据下列条件求直线的截距式方程，并画出图形.（1）在x轴、y轴上的截距分别是2，3；（2）在x轴、y轴上的截距分别是，6【答案】（1）（图见解析）（2）（图见解析）【解析】【分析】由截距式直接写出答案即可.【详解】（1）由截距式得：.（2）由截距式得：.7. 根据下列条件，求直线的方程.（1）过点，且在两坐标轴上的截距之和为2；（2）过点，且在两
6、坐标轴上的截距之差为2【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据题意求出直线在轴上的截距，再利用截距式即可写出答案.（2）根据题意求出直线在轴上的截距，再利用截距式即可写出答案.【详解】（1）因为直线在轴上的截距为5，则在轴上的截距为.则直线为.（2）因为直线在轴上的截距为5，则在轴上的截距为或.则直线为或.所以直线为或2.2.3直线的一般式方程例5已知直线经过点，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.解：经过点，斜率为的直线的点斜式方程是，化为一般式，得.例6把直线l一般式方程化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.分析：求直线l在x轴上的截距，即求直线l与x
7、轴交点的横坐标，只要在直线l的方程中令即可得x的值.解：把直线l的一般式方程化为斜截式.因此，直线l的斜率，它在y轴上的截距是3.在直线l的方程中，令，得，即直线l在x轴上的截距是.由上面可得直线l与x轴y轴的交点分别为，过A，B两点作直线，就得直线l练习8. 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式.（1）经过点，斜率是； （2）经过点，平行于x轴；（3）经过点，； （4）在x轴、y轴上的截距分别是，【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】（1）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；（2）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；（3）由两点式写出直线方程，并化为一般式；（4）由
8、截距式写出直线方程，并化为一般式；【详解】（1）由点斜式写出直线方程，其一般式为；（2）由点斜式写出直线方程，其一般式为；（3）由两点式写出直线方程，其一般式为；（4）由截距写出直线方程，其一般式为；9. 求下列直线的斜率以及在y轴上的截距，并画出图形.（1）； （2）；（3）； （4）【答案】（1）-3,5；（2），；（3），0；（4），.【解析】【分析】直线 的斜率为 ，在y轴上的截距为b，故将直线的一般式变为斜截式，即可得到斜率和在y轴上的截距.【详解】（1）即，斜率为 ，在 轴上的截距为 ；（2），即 ，斜率为 ，在 轴上的截距为；（3），即 ，斜率为 ，在 轴上的截距为0；（4），即
9、 ，斜率为 ，在 轴上的截距为 .10. 已知直线l的方程是（1）当时，直线l的斜率是多少？当时呢？（2）系数A，B，C取什么值时，方程表示经过原点的直线？【答案】（1）时，斜率；当时，直线l的斜率不存在；（2）且不同时为0.【解析】【分析】（1）当时，直接由直线方程求出斜率；当时，直线l的斜率不存在；（2）由直线过原点可得，再由不同时为0即可得解.【详解】（1）当时，直线l的斜率是；当时，直线l的斜率不存在；（2）因为直线过原点，所以，所以当且不同时为0时，方程表示经过原点的直线.习题2.2复习巩固11. 写出满足下列条件的直线的方程.（1）经过点，斜率是；（2）经过点，且与x轴垂直；（3）
10、斜率是，在y轴上的截距是7；（4）经过，两点；（5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行；（6）在x轴、y轴上的截距分别是4，【答案】（1）（2）（3）（4）（5）；（6）【解析】【分析】（1）利用点斜式求出直线方程；（2）依题意直接得到直线方程为；（3）利用斜截式求出直线方程；（4）首先求出斜率，再利用点斜式求出直线方程；（5）依题意可知斜率为，即可得到直线方程；（6）利用截距式求出直线方程；【详解】解：（1）经过点，斜率是；则直线方程为，即（2）经过点，且与x轴垂直；则直线方程为（3）斜率是，在y轴上的截距是7；则直线方程为，即（4）经过，两点；则斜率，所以直线方程为，即（5）在y轴上的截距是
11、2，且与x轴平行；则直线方程为（6）在x轴、y轴上的截距分别是4，则直线方程为，即12. 判断，三点是否共线，并说明理由【答案】A，B，C三点共线；理由见解析【解析】【分析】根据向量共线定理判断即可.【详解】因为，所以, 因为，所以A，B，C三点共线.13. 已知两点，求线段AB的垂直平分线的方程【答案】【解析】【分析】根据中点坐标公式求得线段中点坐标，再求直线的斜率，进而确定垂直平分线的斜率，最后根据点斜式写出直线方程即可.【详解】因为两点，所以线段中点坐标为，所以线段AB的垂直平分线的斜率为，由点斜式可知：线段AB的垂直平分线的方程为：，整理得：.14. 已知的三个顶点，求经过两边AB和A
12、C的中点的直线的方程【答案】【解析】【分析】首先求得中点坐标，再根据直线的两点式方程求解即可.【详解】设AB和AC的中点分别为，因为， 所以所以直线的方程为：，整理得：，经过两边AB和AC的中点的直线的方程为.15. 一根弹簧，挂4 N的物体时，长20 cm在弹性限度内，所挂物体的重量每增加1N，弹簧就伸长cm试写出弹簧的长度l（单位：cm）与所挂物体重量G（单位：N）之间关系的方程【答案】【解析】【分析】根据题意先求出弹簧的原长，再由条件列出弹簧的长度l（单位：cm）与所挂物体重量G（单位：N）的关系方程.【详解】设弹簧的原长是cm，挂4 N的物体时，长20 cm在弹性限度内，所挂物体的重量
13、每增加1N，弹簧就伸长cm，解得cm在弹性限度内，弹簧的长度 l（单位：cm）与所挂物体重量G（单位：N）之间关系的方程：.16. 菱形的两条对角线分别位于x轴和y轴上，其长度分别为8和6，求菱形各边所在直线的方程【答案】；【解析】【分析】根据菱形的结构特征可确定直线经过点，再由点斜式即可求解.【详解】由题意作出菱形图形，如图，直线的方程：，即，直线的方程：，即，直线的方程：，即，直线的方程：，即17. 求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程【答案】或【解析】【分析】讨论截距为不为0,分别求出直线即可.【详解】（1）当截距为0时：直线为。（2）当截距不为0时，设截距为,则直线为，将代
14、入解得，所以直线为.综上所述：直线为或.18. 求满足下列条件的直线的方程.（1）经过点，且与直线平行；（2）经过点，且平行于过和两点的直线；（3）经过点，且与直线垂直【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）两直线平行，斜率相等，从而求得直线方程；（2）求过两点的直线斜率，然后根据两直线平行，斜率相等，从而求得直线方程；（3）两直线垂直，斜率乘积等于-1，求得斜率，从而写出方程；【详解】（1）与直线平行的直线斜率为-4，且经过点则直线为；（2）过和两点的直线斜率为，则与MN平行且过点的直线方程为：；（3）直线的斜率为-2，与之垂直的直线斜率为，则经过点，且与直线垂直的直线方程为；综
15、合运用19. 的三个顶点是，求：（1）边BC上的中线所在直线的方程；（2）边BC上的高所在直线的方程；（3）边BC的垂直平分线的方程【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）求得BC的中点坐标，结合A点坐标，求得中线方程；（2）求得BC的斜率，从而求得其上的高的斜率，且过，求得高的方程；（3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，写出垂直平分线的方程；【详解】（1）BC的中点坐标为则边BC上的中线所在直线的方程为；（2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过，则边BC上的高所在直线的方程为；（3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，则边BC的垂直平分线的方程为
16、.20. 求直线（A，B不同时为0）的系数A，B，C分别满足什么关系时，这条直线有以下性质：（1）与两条坐标轴都相交； （2）只与x轴相交；（3）只与y轴相交； （4）是x轴所在的直线；（5）是y轴所在的直线【答案】（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴相交的性质可得；（2）根据直线只与x轴相交的性质可得；（3）根据直线只与y轴相交的性质可得；（4）由x轴所在的直线方程即可得解；（5）由y轴所在的直线方程即可得解.【详解】（1）直线（A，B不同时为0）与x轴相交时，方程组有唯一解，所以，同理直线（A，B不同时为0）与y轴相交时，方程组有唯一解，
17、所以，所以当，时，直线与两条坐标轴都相交；（2）已知直线只与x轴相交，所以直线与y轴平行或重合，所以当，时，直线只与x轴相交；（3）已知直线只与y轴相交，所以直线与x轴平行或重合，所以当，时，直线只与y轴相交；（4）当，时，直线是x轴所在的直线；（5）当，时，直线是y轴所在的直线；21. 设点在直线上，求证：这条直线的方程还可以与.【答案】证明见解析.【解析】【分析】将点代入直线中，可得与已知直线方程联立即可求证.【详解】因为点在直线上，所以，所以，即，整理可得：.22. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置试求直线l的斜率【答案】【解析】【分析】
18、设直线l的方程为，平移后的方程为，根据截距相同，求得k.【详解】由题知直线斜率存在，故设直线l的方程为，则根据平移过程知，平移后的方程为，该直线与原直线相同，则.则.23. 一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，求入射光线和反射光线所在的直线方程.【答案】入射光线的直线方程为,反射光线的直线的方程为.【解析】【分析】设入射光线的直线方程为，则点在直线方程上，利用待定系数法可得k、b的值，可得入射光线与反射光线关于直线x=2对称，可得反射光线的直线的方程.【详解】解：设入射光线的直线方程为则点在直线方程上，入射光线的直线方程为，入射光线与反射光线关于直线x=2对称，反射光线的斜率为，且经
19、过点反射光线的直线的方程为.【点睛】本题主要考查直线方程的求法-待定系数法，及关于直线对称的直线方程的求法，相对简单，注意运算的准确性.拓广探索24. 已知直线，的方程分别是（，不同时为0），（，不同时为0），且，求证：【答案】见解析【解析】【分析】写出两直线的方向向量，说明两方向向量内积为0即可.【详解】证明：直线的方向向量为,直线的方向向量为,则,即与垂直，即.25. 画出直线，并在直线l外取若干点，将这些点的坐标代入，求它的值；观察有什么规律，并把这个规律表示出来【答案】在直线的左上方的点，坐标代入，值小于；在直线的右下方的点，坐标代入，值大于；在直线上的点，坐标代入，值等于；【解析】【分析】画出直线的图象，分别在直线的两边取点，代入即可判断.【详解】画出直线的图象，如图：取点，把点代入直线方程， 代入分别为与；将代入分别为与；可得如下规律： 在直线的左上方的点，坐标代入，值小于；在直线的右下方的点，坐标代入，值大于；在直线上的点，坐标代入，值等于；