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1、 直线的位置关系 1两直线的位置关系直线方程位置关系 l1:y=k1x+b1l2:y=k2x+b2l1:A1x+B1y+C1=0l2:A2x+B2y+C2=0重合k1=k2且b1=b2A1A2=B1B2=C1C2(A2B2C20)相交k1k2A1A2B1B2(A2B20)平行k1=k2且b1b2A1A2=B1B2C1C2(A2B2C20)垂直k1k2=1A1A2+B1B2=0PS 对于两条不重合的直线l1 , l2，其斜率存在时分别为k1 , k2，则有l1 / l2 k1=k2或l1 , l2的斜率都不存在.有l1 l2k1 k2=1或k1=0且l2的斜率不存在或k2=0且l1的斜率不存在.
2、2 线段的中点坐标公式若点P1 , P2的坐标分别是(x1 , y1) , (x2 , y2) , 则线段P1P2中点坐标为M(x1+x22 ,y1+y22).3 常见的直线系方程平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程Ax+By+C0=0(CC0)；垂直于于直线Ax+By+C=0的直线系方程BxAy+C0=0；过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程A1x+B1y+C1+A2x+B2y+C2=0； (R , 这个直线系下不包括直线l2:A2x+B2y+C2=0，解题时注意检验l2是否满足题意)4 对称性问题(1)点关于点的对称点P(x0 ,
3、 y0)关于A(a , b)的对称点为P(2ax0 , 2by0)；(2)点关于直线的对称设点P(x0 , y0)关于直线l：y=kx+b的对称点为P(x , y)，则有yy0xx0k=1y+y02=kx+x02+b可求出x , y，从而得到点P.(直线l是线段PP的垂直平分线，则kPPk=1，PP的中点(x+x02 , y+y02)在直线l上)(3)直线关于直线的对称(i) 若已知直线l1与对称轴l相交于点P，则与l1对称的直线l2过点P，再求出直线l1上一点P1关于对称轴l的对称点P2，则由点P与P2可求出直线l2的方程；(ii) 若已知直线l1与对称轴l平行，求与已知直线l1关于对称轴l
4、对称的直线l2，利用直线l1、l2到直线l的距离相等便可求.(方法其实多样，大致均可转化为点关于直线对称问题) 【题型一】 直线的位置关系的判断【典题1】 已知l1：x+my+6=0，l2：(m2)x+3y+2m=0，分别求m的值，使得l1和l2：(1)垂直；(2)平行；(3)重合；(4)相交【典题2】 顺次连接A(4 , 3)、B(2 , 5)、C(6 , 3)、D(3 , 0)，所组成的图形是()A平行四边形 B直角梯形 C等腰梯形 D以上都不对【典题3】 已知m1，直线l1：y=mx+1，l2：x=my+1，l1与l2相交于点P，l1交y轴于点A，l2交x轴于点B(1)证明：l1l2；(
5、2)用m表示四边形OAPB的面积S，并求出S的最大值.巩固练习1() 若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为a1 , a2，斜率分别为k1 , k2，则下列命题(1)若l1l2，则斜率k1=k2； (2)若斜率k1=k2，则l1l2；(3)若l1l2，则倾斜角a1=a2；(4)若倾斜角a1=a2，则l1l2；其中正确命题的个数是 . 2() 已知直线l1：x+2ay1=0，与l2：2a1xay1=0平行，则a的值是 . 3() 三条直线l1：xy=0 , l2：x+y2=0 , l3：5xky15=0构成一个三角形，则k的取值范围是 . 4() 已知直线l1：mx+4y2=0与l2
6、：2x5y+n=0互相垂直，其垂足为(1 , p)，则m+np的值为 . 5() 直线l过点A(3 , 4)且与点B(3 , 2)的距离最远，那么l的方程为 . 6() 多选题 已知等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3 , 3)，点A的坐标为(0 , 4)，则点B的坐标为()A(2 , 0)B(6 , 4)C(4 , 6)D(0 , 2) 7() 在ABC中，已知M(1 , 6)是BC边上一点，边AB , AC所在直线的方程分别为2xy+7=0 , xy+6=0(1)若AMBC，求直线BC的方程；(2)若|BM|=|CM|，求直线BC在x轴上的截距【题型二】对称问题【典题1】 已知直线y=2
7、x是ABC中C的平分线所在的直线，若点A、B的坐标分别是(4 , 2)，(3 , 1)，则点C的坐标为 .【典题2】 如图已知A(4 , 0)、B(0 , 4)、O(0 , 0)，若光线L从点P(2 , 0)射出，直线AB反射后到直线OB上，在经直线OB反射回原点P，则光线L所在的直线方程为 . 【典题3】 已知O为坐标原点，倾斜角为23的直线l与x , y轴的正半轴分别相交于点A , B，AOB的面积为83(1)求直线l的方程；(2)直线l：y=33x，点P在l上，求|PA|+|PB|的最小值巩固练习1() 原点关于x2y+1=0的对称点的坐标为 2() 已知点A(1 , 2)、B(3 ,
8、1)，则线段AB的垂直平分线的方程是 3() 入射光线沿直线x2y+3=0射向直线l：y=x，被l反射后的光线所在直线的方程是 4() 已知ABC的顶点A(1 , 2)，AB边上的中线CM所在的直线方程为x+2y1=0，ABC的平分线BH所在直线方程为y=x，则直线BC的方程为 5() 已知A(3 , 0) , B(0 , 3)，从点P(0 , 2)射出的光线经x轴反射到时直线AB上，又经过直线AB反射回到时P点，则光线所经过的路程为 6()已知直线l经过点P(6 , 4)，斜率为k(1)若l的纵截距是横截距的两倍，求直线l的方程；(2)若k=1，一条光线从点M(6 , 0)出发，遇到直线l反射，反射光线遇到y轴再次放射回点M，求光线所经过的路程7() 在直线l：3xy1=0上求一点P，使得：(1)P到A(4 , 1)和B(0 , 4)的距离之差最大；(2)P到A(4 , 1)和C(3 , 4)的距离之和最小