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1、学习必备 欢迎下载【抛物线上的点能否构成等腰三角形】例 1（2013 铜仁地区）如图，已知直线 y=3x3 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，抛物线y=x2+bx+c 经过 A、B 两点，点 C 是抛物线与 x 轴的另一个交点（与 A 点不重合）（1）求抛物线的解析式；（2）求ABC 的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点 M，使ABM 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点 M 的坐标 考点：二次函数综合题 分析：（1）根据直线解析式求出点 A 及点 B 的坐标，然后将点 A 及点 B 的坐标代入抛物线解析式，可得出 b、c 的值，求出抛物线解析式；（2）由（1）求得
2、的抛物线解析式，可求出点 C 的坐标，继而求出 AC 的长度，代入三角形的面积公式即可计算；（3）根据点 M 在抛物线对称轴上，可设点 M 的坐标为（1，m），分三种情况讨论，MA=BA，MB=BA，MB=MA，求出 m 的值后即可得出答案 解答：解：（1）直线 y=3x3 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，可得 A（1，0），B（0，3），把 A、B 两点的坐标分别代入 y=x2+bx+c 得：，解得：抛物线解析式为：y=x2+2x3 （2）令 y=0 得：0=x2+2x3，解得：x1=1，x2=3，则 C 点坐标为：（3，0），AC=4，故可得 SABC=AC OB=4 3=6 （3
3、）抛物线的对称轴为：x=1，假设存在 M（1，m）满足题意：讨论：学习必备 欢迎下载 当 MA=AB 时，解得：，M1（1，），M2（1，）；当 MB=BA 时，解得：M3=0，M4=6，M3（1，0），M4（1，6），当 MB=MA 时，解得：m=1，M5（1，1），答：共存在五个点 M1（1，），M2（1，），M3（1，0），M4（1，6），M5（1，1）使ABM 为等腰三角形 【抛物线上的点能否构成直角三角形】例 2（2013 鞍山）如图，已知一次函数 y=0.5x+2 的图象与 x 轴交于点 A，与二次函数y=ax2+bx+c 的图象交于 y 轴上的一点 B，二次函数 y=ax2+bx
4、+c 的图象与 x 轴只有唯一的交点 C，且 OC=2（1）求二次函数 y=ax2+bx+c 的解析式；（2）设一次函数 y=0.5x+2 的图象与二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的另一交点为 D，已知 P为 x 轴上的一个动点，且PBD 为直角三角形，求点 P 的坐标 考点：二次函数综合题 分析：（1）根据 y=0.5x+2 交 x 轴于点 A，与 y 轴交于点 B，即可得出 A，B 两点坐标，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴只有唯一的交点 C，且 OC=2得出可设二次函数y=ax2+bx+c=a（x2）2，进而求出即可；（2）根据当 B 为直角顶点，当 D 为直角顶点
5、，以及当 P 为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可 解答：解：（1）y=0.5x+2 交 x 轴于点 A，0=0.5x+2，x=4，与 y 轴交于点 B，x=0，y=2 B 点坐标为：（0，2），A（4，0），B（0，2），点是抛物线与轴的另一个交点与点不重合求抛物线的解析式求的面积在抛物线的对称轴上是否存在点使为等腰三角形若不存在请说明理由若存在求出点的坐标考点二次函数综合题分析根据直线解析式求出点及点的坐标然后将点及点入三角形的面积公式即可计算根据点在抛物线对称轴上可设点的坐标为分三种情况讨论求出的值后即可得出答案解答解直线分别交轴轴于两点可得把两点的坐标分别代入得解得抛物
6、线解析式为令得解得则点坐标为故可得抛物线的对线上的点能否构成直角三角形例鞍山如图已知一次函数的图象与轴交于点与二次函数的图象交于轴上的一点二次函数的图象与轴只有唯一的交点且求二次函数的解析式设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为已知为轴上的学习必备 欢迎下载 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴只有唯一的交点 C，且 OC=2 可设二次函数 y=a（x2）2，把 B（0，2）代入得：a=0.5 二次函数的解析式：y=0.5x22x+2；（2）（）当 B 为直角顶点时，过 B 作 BP1AD 交 x 轴于 P1点由RtAOBRtBOP1=，=，得：OP1=1，P1（1，0），（
7、）作 P2DBD，连接 BP2，将 y=0.5x+2 与 y=0.5x22x+2 联立求出两函数交点坐标：D 点坐标为：（5，4.5），则 AD=，当 D 为直角顶点时 DAP2=BAO，BOA=ADP2，ABOAP2D，=，=，解得：AP2=11.25，则 OP2=11.254=7.25，故 P2点坐标为（7.25，0）；（）当 P 为直角顶点时，过点 D 作 DEx 轴于点 E，设 P3（a，0）则由 RtOBP3RtEP3D 得：，方程无解，点 P3不存在，点 P 的坐标为：P1（1，0）和 P2（7.25，0）点是抛物线与轴的另一个交点与点不重合求抛物线的解析式求的面积在抛物线的对称轴
8、上是否存在点使为等腰三角形若不存在请说明理由若存在求出点的坐标考点二次函数综合题分析根据直线解析式求出点及点的坐标然后将点及点入三角形的面积公式即可计算根据点在抛物线对称轴上可设点的坐标为分三种情况讨论求出的值后即可得出答案解答解直线分别交轴轴于两点可得把两点的坐标分别代入得解得抛物线解析式为令得解得则点坐标为故可得抛物线的对线上的点能否构成直角三角形例鞍山如图已知一次函数的图象与轴交于点与二次函数的图象交于轴上的一点二次函数的图象与轴只有唯一的交点且求二次函数的解析式设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为已知为轴上的学习必备 欢迎下载 点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐
9、标轴交点和相似三角形的与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出所有结果，注意不要漏解 【抛物线上的点能否构成相似三角形】例 3（2013 恩施州）如图所示，直线 l：y=3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B 把AOB沿 y 轴翻折，点 A 落到点 C，抛物线过点 B、C 和 D（3，0）（1）求直线 BD 和抛物线的解析式（2）若 BD 与抛物线的对称轴交于点 M，点 N 在坐标轴上，以点 N、B、D 为顶点的三角形与MCD 相似，求所有满足条件的点 N 的坐标（3）在抛物线上是否存在点 P，使 SPBD=6？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 点是抛物线与轴的另一个
10、交点与点不重合求抛物线的解析式求的面积在抛物线的对称轴上是否存在点使为等腰三角形若不存在请说明理由若存在求出点的坐标考点二次函数综合题分析根据直线解析式求出点及点的坐标然后将点及点入三角形的面积公式即可计算根据点在抛物线对称轴上可设点的坐标为分三种情况讨论求出的值后即可得出答案解答解直线分别交轴轴于两点可得把两点的坐标分别代入得解得抛物线解析式为令得解得则点坐标为故可得抛物线的对线上的点能否构成直角三角形例鞍山如图已知一次函数的图象与轴交于点与二次函数的图象交于轴上的一点二次函数的图象与轴只有唯一的交点且求二次函数的解析式设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为已知为轴上的学习必备 欢迎下
11、载 析：（1）由待定系数法求出直线 BD 和抛物线的解析式；（2）首先确定MCD 为等腰直角三角形，因为BND 与MCD 相似，所以BND 也是等腰直角三角形如答图 1 所示，符合条件的点 N 有 3 个；（3）如答图 2、答图 3 所示，解题关键是求出PBD 面积的表达式，然后根据 SPBD=6 的已知条件，列出一元二次方程求解 解答：解：（1）直线 l：y=3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，A（1，0），B（0，3）；把AOB 沿 y 轴翻折，点 A 落到点 C，C（1，0）设直线 BD 的解析式为：y=kx+b，点 B（0，3），D（3，0）在直线 BD 上，解得 k
12、=1，b=3，直线 BD 的解析式为：y=x+3 设抛物线的解析式为：y=a（x1）（x3），点 B（0，3）在抛物线上，3=a（1）（3），解得：a=1，抛物线的解析式为：y=（x1）（x3）=x24x+3 （2）抛物线的解析式为：y=x24x+3=（x2）21，抛物线的对称轴为直线 x=2，顶点坐标为（2，1）直线 BD：y=x+3 与抛物线的对称轴交于点 M，令 x=2，得 y=1，M（2，1）设对称轴与 x 轴交点为点 F，则 CF=FD=MN=1，MCD 为等腰直角三角形 以点 N、B、D 为顶点的三角形与MCD 相似，BND 为等腰直角三角形 如答图 1 所示：（I）若 BD 为斜
13、边，则易知此时直角顶点为原点 O，N1（0，0）；（II）若 BD 为直角边，B 为直角顶点，则点 N 在 x 轴负半轴上，OB=OD=ON2=3，N2（3，0）；（III）若 BD 为直角边，D 为直角顶点，则点 N 在 y 轴负半轴上，OB=OD=ON3=3，N3（0，3）满足条件的点 N 坐标为：（0，0），（3，0）或（0，3）（3）假设存在点 P，使 SPBD=6，设点 P 坐标为（m，n）（I）当点 P 位于直线 BD 上方时，如答图 2 所示：过点 P 作 PEx 轴于点 E，则 PE=n，DE=m3 SPBD=S梯形PEOBSBODSPDE=（3+n）m 3 3（m3）n=6，
14、点是抛物线与轴的另一个交点与点不重合求抛物线的解析式求的面积在抛物线的对称轴上是否存在点使为等腰三角形若不存在请说明理由若存在求出点的坐标考点二次函数综合题分析根据直线解析式求出点及点的坐标然后将点及点入三角形的面积公式即可计算根据点在抛物线对称轴上可设点的坐标为分三种情况讨论求出的值后即可得出答案解答解直线分别交轴轴于两点可得把两点的坐标分别代入得解得抛物线解析式为令得解得则点坐标为故可得抛物线的对线上的点能否构成直角三角形例鞍山如图已知一次函数的图象与轴交于点与二次函数的图象交于轴上的一点二次函数的图象与轴只有唯一的交点且求二次函数的解析式设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为已知为
15、轴上的学习必备 欢迎下载 化简得：m+n=7 ，P（m，n）在抛物线上，n=m24m+3，代入 式整理得：m23m4=0，解得：m1=4，m2=1，n1=3，n2=8，P1（4，3），P2（1，8）；（II）当点 P 位于直线 BD 下方时，如答图 3 所示：过点 P 作 PEy 轴于点 E，则 PE=m，OE=n，BE=3n SPBD=S梯形PEOD+SBODSPBE=（3+m）（n）+3 3（3n）m=6，化简得：m+n=1 ，P（m，n）在抛物线上，n=m24m+3，代入 式整理得：m23m+4=0，=70，此方程无解 故此时点 P 不存在 综上所述，在抛物线上存在点 P，使 SPBD=
16、6，点 P 的坐标为（4，3）或（1，8）例 4（2013 湘西州）如图，已知抛物线 y=x2+bx+4 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，若已知 A 点的坐标为 A（2，0）（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点 C 的坐标，连接 AC、BC 并求线段 BC 所在直线的解析式；（3）试判断AOC 与COB 是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使ACQ 为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由 点是抛物线与轴的另一个交点与点不重合求抛物线的解析式求的面积在抛物线的对称轴上是否存在点使为等腰三角形若不存在
17、请说明理由若存在求出点的坐标考点二次函数综合题分析根据直线解析式求出点及点的坐标然后将点及点入三角形的面积公式即可计算根据点在抛物线对称轴上可设点的坐标为分三种情况讨论求出的值后即可得出答案解答解直线分别交轴轴于两点可得把两点的坐标分别代入得解得抛物线解析式为令得解得则点坐标为故可得抛物线的对线上的点能否构成直角三角形例鞍山如图已知一次函数的图象与轴交于点与二次函数的图象交于轴上的一点二次函数的图象与轴只有唯一的交点且求二次函数的解析式设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为已知为轴上的学习必备 欢迎下载 考点：二次函数综合题 分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公
18、式 x=求出对称轴方程；（2）在抛物线解析式中，令 x=0，可求出点 C 坐标；令 y=0，可求出点 B 坐标再利用待定系数法求出直线 BD 的解析式；（3）根据，AOC=BOC=90 ，可以判定AOCCOB；（4）本问为存在型问题若ACQ 为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解 解答：解：（1）抛物线 y=x2+bx+4 的图象经过点 A（2，0），（2）2+b（2）+4=0，解得：b=，抛物线解析式为 y=x2+x+4，又y=x2+x+4=（x3）2+，对称轴方程为：x=3 （2）在 y=x2+x+4 中，令 x=0，得 y=4，C（0，4）；令 y=0，即 x
19、2+x+4=0，整理得 x26x16=0，解得：x=8 或 x=2，A（2，0），B（8，0）设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，把 B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，点是抛物线与轴的另一个交点与点不重合求抛物线的解析式求的面积在抛物线的对称轴上是否存在点使为等腰三角形若不存在请说明理由若存在求出点的坐标考点二次函数综合题分析根据直线解析式求出点及点的坐标然后将点及点入三角形的面积公式即可计算根据点在抛物线对称轴上可设点的坐标为分三种情况讨论求出的值后即可得出答案解答解直线分别交轴轴于两点可得把两点的坐标分别代入得解得抛物线解析式为令得解得则点坐标为故可得抛物线的对线上
20、的点能否构成直角三角形例鞍山如图已知一次函数的图象与轴交于点与二次函数的图象交于轴上的一点二次函数的图象与轴只有唯一的交点且求二次函数的解析式设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为已知为轴上的学习必备 欢迎下载 解得 k=，b=4，直线 BC 的解析式为：y=x+4 （3）可判定AOCCOB 成立 理由如下：在AOC 与COB 中，OA=2，OC=4，OB=8，又AOC=BOC=90 ，AOCCOB （4）抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点 Q（3，t），则可求得：AC=，AQ=，CQ=i）当 AQ=CQ 时，有=，25+t2=t28t+16+9，解得 t=0，Q1（3，0）；ii）当
21、 AC=AQ 时，有=，t2=5，此方程无实数根，此时ACQ 不能构成等腰三角形；iii）当 AC=CQ 时，有=，整理得：t28t+5=0，解得：t=4，点 Q 坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4）综上所述，存在点 Q，使ACQ 为等腰三角形，点 Q 的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4）点是抛物线与轴的另一个交点与点不重合求抛物线的解析式求的面积在抛物线的对称轴上是否存在点使为等腰三角形若不存在请说明理由若存在求出点的坐标考点二次函数综合题分析根据直线解析式求出点及点的坐标然后将点及点入三角形的面积公式即可计算根据点在抛物线对称轴上可设点的坐标为分三种情况讨论求出的
22、值后即可得出答案解答解直线分别交轴轴于两点可得把两点的坐标分别代入得解得抛物线解析式为令得解得则点坐标为故可得抛物线的对线上的点能否构成直角三角形例鞍山如图已知一次函数的图象与轴交于点与二次函数的图象交于轴上的一点二次函数的图象与轴只有唯一的交点且求二次函数的解析式设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为已知为轴上的学习必备 欢迎下载 5、如图，抛物线212222yxx 与x轴交于AB、两点，与y轴交于C点（1）求A BC、三点的坐标；（2）证明ABC为直角三角形；（3）在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使ABP是直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由 考点：
23、二次函数综合题 点是抛物线与轴的另一个交点与点不重合求抛物线的解析式求的面积在抛物线的对称轴上是否存在点使为等腰三角形若不存在请说明理由若存在求出点的坐标考点二次函数综合题分析根据直线解析式求出点及点的坐标然后将点及点入三角形的面积公式即可计算根据点在抛物线对称轴上可设点的坐标为分三种情况讨论求出的值后即可得出答案解答解直线分别交轴轴于两点可得把两点的坐标分别代入得解得抛物线解析式为令得解得则点坐标为故可得抛物线的对线上的点能否构成直角三角形例鞍山如图已知一次函数的图象与轴交于点与二次函数的图象交于轴上的一点二次函数的图象与轴只有唯一的交点且求二次函数的解析式设一次函数的图象与二次函数的图象的
24、另一交点为已知为轴上的学习必备 欢迎下载 点是抛物线与轴的另一个交点与点不重合求抛物线的解析式求的面积在抛物线的对称轴上是否存在点使为等腰三角形若不存在请说明理由若存在求出点的坐标考点二次函数综合题分析根据直线解析式求出点及点的坐标然后将点及点入三角形的面积公式即可计算根据点在抛物线对称轴上可设点的坐标为分三种情况讨论求出的值后即可得出答案解答解直线分别交轴轴于两点可得把两点的坐标分别代入得解得抛物线解析式为令得解得则点坐标为故可得抛物线的对线上的点能否构成直角三角形例鞍山如图已知一次函数的图象与轴交于点与二次函数的图象交于轴上的一点二次函数的图象与轴只有唯一的交点且求二次函数的解析式设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为已知为轴上的