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1、 .下载可编辑 .二次函数综合（动点）问题三角形存在问题（二）适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 全国新课标 课时时长（分钟）120 分钟 知识点 1、利用待定系数法求抛物线解析式 2、抛物线上两点的关系 3、三角形面积最大、周长最小时点的坐标 4、两个三角形面积存在倍数关系、三角形面积为固定值时点的坐标 学习目标 一、知识与技能 1、会用待定系数法通过设二次函数不同形式求抛物线解析式；.下载可编辑 .2、会运用抛物线上两点间的关系求作未知点的坐标，或者两点间的距离；3、根据题意，会求三角形面积最大、周长最小时点的坐标，两个三角形面积存在倍数关系、三角形面积为固定值时点的坐标。
2、二、过程与方法 1、创设情境，让学生用不同方法求二次函数解析式；2、在图像上清晰明了的研究两点间的坐标关系、距离关系，再将这种关系应用于二次函数的具体题目中；3、先由浅入深、由简单到复杂，然后再通过例题精讲精练，最后课堂训练；让学生掌握三角形面积最大、周长最小时点的坐标的求法、两个三角形面积存在倍数关系、三 .下载可编辑 .角形面积为固定值时点的坐标的求法；4、充分运用数学结合、转化、方程等数学思想来帮助解题。三、情感、态度与价值观 1、培养学生的处理图像综合运用的能力；2、让学生养成从特殊到一般，从简单到复杂的学习方法；3、形成对图形的处理能力，形成解题技巧，树立对解决此类问题的信心。学习重
3、点 是否存在一点使得一个三角形面积是另一个三角形面积的几倍（三角形周长最小、面积最大、三角形面积为固定值），如果存在求出点的坐标。学习难点 是否存在一点使得一个三角形面积是另一个三角形面积的几倍（三角形周长最小、面积最 .下载可编辑 .大、三角形面积为固定值），如果存在求出点的坐标。学习过程 一、复习预习（一）三角形的性质和判定：.下载可编辑 .1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。判定：有一个角是直
4、角的三角形是直角三角形。3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于 45。判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形 .下载可编辑 .4、等边三角形 性质：三边相等，三个角相等且等于 60，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。判定：三边相等，三个角相等，有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。（二）求作等腰三角形、直角三角形的方法：图一 两圆一线图解 图二 两线一圆图解 .下载可编辑 .总结：（1）通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与 A、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上 （2）通过“两线一圆”
5、可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与 A、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径 AB 垂直的直线上。（三）等腰三角形、直角三角形可能的情况：(1)当所求三角形是等腰三角形时，可以是三角形任意两边相等，即：AB=AC、AB=BC、AC=BC 如图；(2)当所求三角形是直角三角形时，可以是三角形任意的内角为直角,即：A=90、B=90、C=90，如图所示；A B C .下载可编辑 .（四）二次函数中三角形的存在性问题解题思路：（1）先分类，罗列线段的长度，如果是等腰三角形则分别令三边两两相等去求解；如果是直角三角形则分别令每个内角等腰 90去分类讨论；（2）再画图；（3）后计算。二、知
6、识讲解 考点/易错点 1 A B C .下载可编辑 ._ Q _ G _ P_ O 利用待定系数法求抛物线解析式的三种常用形式：（1）【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为 ，然后解三元方程组求解；（2）【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为 求解；（3）【交点式】已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为 。考点/易错点 2 抛物线上两个点 A（x1，y），B（x2，y）之间的关系：(1)如果两点关于对称轴对称，则有对称轴2x21xx；.下载可编辑 .(2)两点之间距离公式：已知两点 2211y,xQ,y,xP，则由勾股定理可得：221221)()(yy
7、xxPQ 练一练：已知 A（0，5）和 B（2，3），则 AB 。(3)中点公式：已知两点 2211y,xQ,y,xP，则线段PQ的中点M为222121yy,xx。练一练：已知 A（0，5）和 B（2，3），则线段 AB 的中点坐标是 (4)如图：PGX 轴，QGY 轴，P 点的横坐标为，G 点的横坐标为，纵坐标为，Q 点的纵坐标为，则线段 PG=，QG=。考点/易错点 3 求三角形的面积：.下载可编辑 .（1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法；如图，过ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC 的“水平宽”（a），中间的这条直线在ABC
8、内部线段的长度叫ABC 的“铅垂高”（h）我们可得出一种计算三角形面积的新方法：SABC=12ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。考点/易错点 4 二次函数中三角形面积、周长的存在性问题解题思路：B C 铅垂高 水平宽 h a A .下载可编辑 .（1）如果是一个三角形面积为一个三角形面积的多少倍，则分别表示出每个三角形的面积去求解；如果是一个三角形面积为固定值，则用含有未知数的式子去表示面积去求解；如果是三角形周长最小，则做对称点去求解；如果是三角形面积最大，则划归为二次函数最值问题去求解。（2）再画图；（3）后计算。.下载可编辑 .三、例题精析【例题 1】【题干】（孝感）如图，
9、已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线 y=x+1 与二次函数的图象交于A，B 两点，其中点 A 在 y 轴上（1）二次函数的解析式为；（2）证明：点（-m，2m-1）不在（1）中所求的二次函数的图象上；（3）若 C 为线段 AB 的中点，过 C 点作 CEx 轴于 E 点，CE 与二次函数的图象交于 D 点 y 轴上存在点 K，使以 K，A，D，C 为顶点的四边形是平行四边形，则 K 点的坐标是；二次函数的图象上是否存在点 p，使得 S三角形 POE=2S三角形 ABD？求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由 .下载可编辑 .【答案】(1)y=x2-x+1；(2)见解析；(3)K（0，
10、-3）或（0，5）；P（-6，16）和 P（10，16）.【解析】（1）解：顶点坐标为（2，0），可设解析式为：y=a（x-2）2（a0），把 x=0 代入 y=x+1 得 y=1，则 A（0，1）再代入 y=a（x-2）2得：1=4a，则 a=故二次函数的解析式为：y=（x-2）2=x2-x+1（2）证明：设点（-m，2m-1）在二次函数 y=x2-x+1 的图象上，则有：2m-1=m2+m+1，整理得 m2-4m+8=0，.下载可编辑 .=（-4）2-48=-160 原方程无解，点（-m，2m-1）不在二次函数 y=x2-x+1 的图象上（3）解：K（0，-3）或（0，5）；二次函数的图象
11、上存在点 P，使得 SPOE=2SABD，如图，过点 B 作 BFx 轴于 F，则 BFCEAO，又 C 为 AB 中点，OE=EF，由于 y=x2-x+1 和 y=x+1 可求得点 B（8，9）E（4，0），D（4，1），C（4，5），ADx 轴，.下载可编辑 .SABD=2SACD=244=16 设 P（x，x2-x+1），由题意有：SPOE=4（x2-x+1）=x2-2x+2，SPOE=2SABD x2-2x+2=32 解得 x=-6 或 x=10，当 x=-6 时，y=36+6+1=16，当 x=10 时，y=100-10+1=16，存在点 P（-6，16）和 P（10，16），使得
12、SPOE=2SABD .下载可编辑 .【例题 2】【题干】（衡水一模）如图，已知二次函数yx2+bx+c的图象经过 A（2，0）、B（0，-6）两点 （1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与 x 轴交于点 C，连接 BA、BC，求ABC 的面积；.下载可编辑 .（3）若抛物线的顶点为 D，在 y 轴上是否存在一点 P，使得PAD 的周长最小？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)y=-x2+4x-6；(2)6；(3)存在，点 P 的坐标为（0，）【解析】解：（1）将点 A（2，0）、B（0，-6）代入得：，解得：，.下载可编辑 .故这个二次函数的解
13、析式为：y=-x2+4x-6.（2）二次函数的解析式为：y=-x2+4x-6，二次函数的对称轴为 x=4，即 OC=4，AC=2，故 SABC=ACBO=6（3）存在，点 P 的坐标为（0，）AD 长度固定，只需找到点 P 使 AP+PD 最小即可，找到点 A 关于 y 轴的对称点 A，连接AD，则 AD 与 y 轴的交点即是点 P 的位置，点 A与点 A 关于 y 轴对称，.下载可编辑 .点 A的坐标为（-2，0），又顶点 D 的坐标为（4，2），直线 AD 的解析式为：y=x+，令 x=0，则 y=，即点 P 的坐标为（0，）【例题 3】.下载可编辑 .【题干】（黔东南州）已知二次函数 y
14、=x2+ax+a-2（1）求证：不论 a 为何实数，此函数图象与 x 轴总有两个交点；（2）设 a0，当此函数图象与 x 轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式；（3）若此二次函数图象与 x 轴交于 A、B 两点，在函数图象上是否存在点 P，使得PAB 的面积为 3？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)见解析；(2)y=x2-x-3；(3)P 点坐标是（-2，3），（3，3），（0，-3）或（1，-3）。【解析】解：（1）因为=a2-4（a-2）=（a-2）2+40，所以不论 a 为何实数，此函数图象与 x 轴总有两个交点（2）设 x1、x2是 y=x2+ax+
15、a-2=0 的两个根，则 x1+x2=-a，x1 x2=a-2，因两交点的距离是，所以|x1x2|即：（x1-x2）2=13 变形为：（x1+x2）2-4x1 x2=13 即（-a）2-4（a-2）=13 .下载可编辑 .整理得：（a-5）（a+1）=0 解方程得：a=5 或-1 又a0 a=-1 此二次函数的解析式为 y=x2-x-3（3）设点 P 的坐标为（x0，y0），函数图象与 x 轴的两个交点间的距离等于，AB=SPAB=AB|y0|=即：|y0|=3，则 y0=3 当 y0=3 时，x02-x0-3=3，即（x0-3）（x0+2）=0 解此方程得：x0=-2 或 3 当 y0=-3
16、 时，x02-x0-3=-3，即 x0（x0-1）=0 解此方程得：x0=0 或 1 综上所述，所以存在这样的 P 点，P 点坐标是（-2，3），（3，3），（0，-3）或（1，-3）.下载可编辑 .四、课堂运用【基础】1.（铜仁）已知：直线 y=ax+b 与抛物线 y=ax2-bx+c 的一个交点为 A（0，2），同时这条直线 .下载可编辑 .与 x 轴相交于点 B，且相交所成的角为 45（1）求点 B 的坐标；（2）求抛物线 y=ax2-bx+c 的解析式；（3）判断抛物线 y=ax2-bx+c 与 x 轴是否有交点，并说明理由若有交点设为 M，N（点 M 在点 N 左边），将此抛物线关于
17、 y 轴作轴反射得到 M 的对应点为 E，轴反射后的像与原像相交于点 F，连接 NF，EF 得NEF，在原像上是否存在点 P，使得NEP 的面积与NEF 的面积相等？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2.（上海）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（-1，0）.下载可编辑 .和点 B，与 y 轴交于点 C（0，-2）（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点 E 为该抛物线的对称轴与 x 轴的交点，点 F 在对称轴上，四边形 ACEF 为梯形，求点F 的坐标；（3）点 D 为该抛物线的顶点，设点 P（t，0），且 t3，如果
18、BDP 和CDP 的面积相等，求 t 的值 .下载可编辑 .【巩固】1.（六盘水）如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象交 x 轴于 A、D 两点，并经过 B 点，已知 A 点坐标是（2，0），B 点的坐标是（8，6）（1）求二次函数的解析式（2）求函数图象的顶点坐标及 D 点的坐标（3）该二次函数的对称轴交 x 轴于 C 点连接 BC，并延长 BC 交抛物线于 E 点，连接 BD，DE，求BDE .下载可编辑 .的面积（4）抛物线上有一个动点 P，与 A，D 两点构成ADP，是否存在 SADP=SBCD？若存在，请求出 P 点的坐标；若不存在请说明理由 2.（昆明）如图，在平面直角坐标系
19、中，抛物线 y=ax2+bx-3（a0）与 x 轴交于点 A（-2，0）、B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点 Q 从 B点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当PBQ 存在时，求运动多少秒使PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当PBQ 的面积最大时，在 BC 下方的抛物线上存在点 K，使 S CBK：S PBQ=5：2，求 K 点坐标 .下载可编辑 .【拔高】1.（黔南州）如图，在平面直角坐标系
20、中，顶点为（4，-1）的抛物线交 y 轴于 A 点，交 x 轴于 B，C两点（点 B 在点 C 的左侧），已知 A 点坐标为（0，3）（1）求此抛物线的解析式（2）过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D，如果以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切，请判断抛物线的对称轴 l 与C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点 P 是抛物线上的一个动点，且位于 A，C 两点之间，问：当点 P 运动到什么位置时，PAC .下载可编辑 .的面积最大？并求出此时 P 点的坐标和PAC 的最大面积 2.（重庆）如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为 B（5，0），另一个交点为 A，且与 y 轴交于点 C（0，5）（1）求直线 BC 与抛物线的解析式；（2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点，过点 M 作 MNy 轴交直线 BC 于点 N，求 MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点 P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点，以 BC 为边作平行四边形 CBPQ，设平行四边形 CBPQ 的面积为 S1，ABN 的面积为 S2，且 S1=6S2，求点 P 的坐标 .下载可编辑 .课程小结